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- 2021-06-07 发布
2018-2019学年度第一学期江苏省淮海中学高三第二阶段测试
数 学 试 题 2018.10
试卷满分：160分 考试时长：120分钟
一．填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分，把答案填在答题卡的相应位置．
1. 设集合，集合，若，则 ▲ .
2.已知，则＝ ▲ .
3.在平面直角坐标系中，点在角的终边上，且，则点的坐
标为 ▲ ．
4.已知： ▲ .
5.已知幂函数的图象过点，则＝ ▲ .
6.函数的定义域为 ▲ .
7.已知，，，则从小到大排列是__▲__．（用“”连接）
8．与直线垂直的直线的倾斜角为 ▲ ．
9．已知，，，，则的值为 ▲ ．
10. 若曲线在处的切线与直线垂直，则实数等于 ▲ .
11.函数，当时，恒成立，则实数的取值范围是 ▲ .
12. 已知函数和函数的图象交于三点，则的面积为 ▲ .
13. 已知三次函数，对于任意，均有
，且存在唯一，满足，则 ▲ .
14. 若方程有且仅有6个不相等的实数根，则实数的取值范围是 ▲ ．
二．解答题：本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分14分）
在中，角的对边分别为a，b，c，已知，．
（1）求的值；
（2）若△ABC的面积，求a的值．
16.（本小题满分14分）
已知函数f(x)＝4sin x·cos(x＋)＋.
(1) f(x)在区间上的最大值和最小值及取得最值时x的值；
(2) 若方程f(x)－t＝0在x∈上有唯一解，求实数t的取值范围．
17．（本题满分14分）
已知函数，其中．
（1）当时，求函数在上的值域；
（2）若函数在上的最小值为3，求实数k的取值范围．
18．（本题满分16分）
如图，某大型水上乐园内有一块矩形场地，米 ，米，以为直径的半圆和半圆（半圆在矩形内部）为两个半圆形水上主题乐 园，都建有围墙，游客只能从线段处进出该主题乐园．为了进一步提高经济效益，水上乐园管理部门决定沿着、修建不锈钢护栏，沿着线段修建该主题乐园大门并设置检票口，其中分别为上的动点，，且线段与线段在圆心
和连线的同侧．已知弧线部分的修建费用为200元/米，直线部分的平均修建费用为400元/米．
（1）若米，则检票等候区域（图中阴影部分）面积为多少平方米？
（2）试确定点的位置，使得修建费用最低．
19. （本小题满分16分）
已知函数的图象过点，且在处取得极值．
(1) 求实数的值；
(2) 求在上的最大值.
20. （本小题满分16分）
已知函数f（x） = (ax2+x)ex,其中e是自然对数的底数，.
(1)若是函数的导函数，当a>0时，解关于x的不等式>ex；
(2)若在[-1,1]上是单调增函数，求a的取值范围；
(3)当a = 0时，求整数k的所有值，使方程在[k,k+1]上有解.
2018-2019学年度第一学期江苏省淮海中学高三第二阶段测试
数学 参考答案
一．填空题：
1.1 2. 3 3． 4. 5.2 6. (1，3] 7.
8． 9．-3 10. 11. 12. 13. -3 14．
二．解答题：
15．（本小题满分14分）
．解：（1） ∵==，
∴． …………………………………2分
∵，， ∴．
∵，∴==．…………7分
（2）∵， ∴，．
∴． …………10分
又∵S=， ∴， ∴． ……14分
16（本小题满分14分）
解：(1) f(x)＝4sin x＋
＝2sin xcos x－2sin2x＋
＝sin 2x＋cos 2x＝2sin. 4分
因为－≤x≤，所以－≤2x＋≤，
所以－≤sin≤1，所以－1≤f(x)≤2，
当2x＋＝－，即x＝－时，f(x)min＝－1；
当2x＋＝，即x＝时，f(x)max＝2. 7分
(2) 因为－≤x≤时，－≤2x＋≤，
所以－1≤2sin≤2，且单调递增；
≤x≤时，≤2x＋≤，
所以－≤2sin≤2，且单调递减，
所以f(x)＝t有唯一解时对应t的范围是t∈[－，－1)或t＝2. 14分
17．（本小题满分14分）
解：（1）当 时，，，
令得，列表：
x
0
1
3
5
+
0
0
+
1
↗
极大值5
↘
极小值1
↗
21
由上表知，函数的值域为．……………………6分
（2），
① 当时，，函数在区间单调递增，
所以，即（舍）．………8分
② 当时，，函数在区间单调递减，
所以，符合题意．……10分
③ 当时,
当时，区间在单调递减；
当时，区间在单调递增．
所以，不符合题意．
综上所述：实数取值范围为．……………………………………14分
18.（本小题满分16分）
解析：（1）如图，米，米，梯形的面积为平方米．
矩形的面积为4800平方米．
，扇形和扇形的面积均为平方米，
所以阴影部分面积为平方米． ………7分
答：检票等候区域（图中阴影部分）面积为平方米．………8分
（2）设，则，
，
修建费用………11分
，令，则，
所以，当时，即，修建费用最低． ………15分
答：当为时，修建费用最低． ………16分
19. （本小题满分16分）
解：（1）当时，， …………………2分
由题意得：，即， …………………………………4分
解得：。 ……………………6分
（2）由（1）知：
①当时，，
解得；解得或
∴在和上单减，在上单增，
由得：或， …………………………8分
∵ ，
∴在上的最大值为. …………………………………10分
②当时，，
当时，；当时，在单调递增；
∴在上的最大值为。 …………………………………………12分
∴当时，在上的最大值为； ……………………………14分
当时，在上的最大值为. …………………………16分
20. （本小题满分16分）
20. 解：（1）f′（x）=[ax2+（2a+1）x+1]ex>ex，
又∵ex>0,,a＞0，所以不等式可化为ax2+（2a+1）x+1>1，
∴x>0或x<- ……………4分
（2）f′（x）=[ax2+（2a+1）x+1]ex，
①当a=0时，f′（x）=（x+1）ex，f′（x）≥0在[-1，1]上恒成立，当且仅当x=-1时取等号，故a=0符合要求； ……………5分
②当a≠0时，令g（x）=ax2+（2a+1）x+1，
因为△=（2a+1）2-4a=4a2+1＞0，所以g（x）=0有两个不相等的实数根x1，x2，
不妨设x1＞x2，因此f（x）有极大值又有极小值．
若a＞0，因为g（-1）g（0）=-a＜0，所以f（x）在（-1，1）内有极值点，故f（x）在[-1，1]上不单调． ……………7分
若a＜0，可知x1＞0＞x2，因为g（x）的图象开口向下，要使f（x）在[-1，1]上单调，
因为g（0）=1＞0，所以必须满足g(1)≥0,g(−1)≥0;即3a+2≥0，−a≥0
，所以−≤a≤0． 综上可知，a的取值范围是[−，0]．
（3）当a=0时，方程即为xex=x+2，由于ex＞0，所以x=0不是方程的解，所以原方程等价于ex--1=0， ……………12分
令h（x）=ex--1，因为h′（x）=ex+＞0对于x≠0恒成立，
所以h（x）在（-∞，0）和（0，+∞）内是单调增函数，
又h（1）=e-3＜0，h（2）=e2-2＞0，h（-3）=e-3-＜0，h（-2）=e-2＞0，
所以方程f（x）=x+2有且只有两个实数根，且分别在区间[1，2]和[-3，-2]上，所以整数t的所有值为{-3，1}．……………16分