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- 2021-06-07 发布
2014·辽宁卷(理科数学)
1．[2014·辽宁卷] 已知全集U＝R，A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥1}，则集合∁U(A∪B)＝( )
A．{x|x≥0} B．{x|x≤1}
C．{x|0≤x≤1} D．{x|0b>c B．a>c>b
C．c>a>b D．c>b>a
3．C [解析] 因为0log＝1，所以c>a>b.
4．[2014·辽宁卷] 已知m，n表示两条不同直线，α表示平面．下列说法正确的是( )
A．若m∥α，n∥α，则m∥n
B．若m⊥α，n⊂α，则m⊥n
C．若m⊥α，m⊥n，则n∥α
D．若m∥α，m⊥n，则n⊥α
4．B [解析] B [解析] 由题可知，若m∥α，n∥α，则m与n平行、相交或异面，所以A错误；若m⊥α，n⊂α，则m⊥n，故B正确；若m⊥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α，故C错误．若m∥α，m⊥n，则n∥α或n⊥α或n与a相交，故D错误．
5．、[2014·辽宁卷] 设a，b，c是非零向量，已知命题p：若a·b＝0，b·c＝0，则a·c＝0，命题q：若a∥b，b∥c，则a∥c，则下列命题中真命题是( )
A．p∨q B．p∧q
C．(綈p)∧(綈q) D．p∨(綈q)
5．A [解析] 由向量数量积的几何意义可知，命题p为假命题；命题q中，当b≠0时，a，c一定共线，故命题q是真命题．故p∨q为真命题．
6．[2014·辽宁卷] 6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为( )
A．144 B．120 C．72 D．24
6．D [解析] 这是一个元素不相邻问题，采用插空法，AC＝24.
7．、[2014·辽宁卷] 某几何体三视图如图11所示，则该几何体的体积为( )
A．8－2π B．8－π C．8－ D．8－
图11
7．B [解析] 根据三视图可知，该几何体是正方体减去两个体积相等的圆柱的一部分后余下的部分，故该几何体体积为2×2×2－2××π×2＝8－π.
8．[2014·辽宁卷] 设等差数列{an}的公差为d.若数列{2a1an}为递减数列，则( )
A．d<0 B．d>0 C．a1d<0 D．a1d>0
8．C [解析] 令bn＝2a1an，因为数列{2a1an}为递减数列，所以＝＝2a1(an＋1－an)＝2a1d<1，所得a1d<0.
9．[2014·辽宁卷] 将函数y＝3sin的图像向右平移个单位长度，所得图像对应的函数( )
A．在区间上单调递减
B．在区间上单调递增
C．在区间上单调递减
D．在区间上单调递增
9．B [解析] 由题可知，将函数y＝3sin的图像向右平移个单位长度得到函数y＝3sin的图像，令－＋2kπ≤2x－π≤＋2kπ，k∈Z，即＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z时，函数单调递增，即函数y＝3sin的单调递增区间为，k∈Z，可知当k＝0时，函数在区间上单调递增．
10．[2014·辽宁卷] 已知点A(－2，3)在抛物线C：y2＝2px的准线上，过点A的直线与C在第一象限相切于点B，记C的焦点为F，则直线BF的斜率为( )
A. B. C. D.
10．D [解析] 因为抛物线C：y2＝2px的准线为x＝－，且点A(－2，3)在准线上，所以p＝4.设直线AB的方程为x＋2＝m(y－3)，与抛物线方程y2＝8x联立得到y2－8my＋24m＋16＝0，由题易知Δ＝0，解得m＝－(舍)或者m＝2，这时B点的坐标为(8，8)，而焦点F的坐标为(2，0)，故直线BF的斜率kBF＝＝.
11．[2014·辽宁卷] 当x∈[－2，1]时，不等式ax3－x2＋4x＋3≥0恒成立，则实数a的取值范围是( )
A．[－5，－3] B.
C．[－6，－2] D．[－4，－3]
11．C [解析] 当－2≤x<0时，不等式转化为a≤，
令f(x)＝(－2≤x<0)，
则f′(x)＝＝，故f(x)在[－2，－1]上单调递减，在(－1，0)
上单调递增，此时有a≤＝－2.当x＝0时，g(x)恒成立．当0时，|f(x)－f(y)|＝|f(x)－f(1)－(f(y)－f(0))|≤|f(x)－f(1)|＋|f(y)－f(0)|<
|x－1|＋|y－0|＝－(x－y)＋<.故kmin＝.
13．[2014·辽宁卷] 执行如图12所示的程序框图，若输入x＝9，则输出y＝________．
图12
13. [解析] 当x＝9时，y＝5，则|y－x|＝4；当x＝5时，y＝，则|y－x|＝；当x＝时，y＝，则|y－x|＝<1.故输出y＝.
14．[2014·辽宁卷] 正方形的四个顶点A(－1，－1)，B(1，－1)，C(1，1)，D(－1，1)分别在抛物线y＝－x2和y＝x2上，如图13所示．若将—个质点随机投入正方形ABCD中，则质点落在图中阴影区域的概率是________．
图13
14. [解析] 正方形ABCD的面积S＝2×2＝4，阴影部分的面积S1＝2(1－x2)dx＝2＝，故质点落在阴影区域的概率P＝＝.
15．[2014·辽宁卷] 已知椭圆C：＋＝1，点M与C的焦点不重合．若M关于C的焦点的对称点分别为A，B，线段MN的中点在C上，则|AN|＋|BN|＝______．
15．12 [解析] 取MN的中点为G，点G在椭圆C上．设点M关于C的焦点F1的对称点为A，点M关于C的焦点F2的对称点为B，则有|GF1|＝|AN|，|GF2|＝|BN|，所以|AN|＋|BN|＝2(|GF1|＋|GF2|)＝4a＝12.
16．、[2014·辽宁卷] 对于c>0，当非零实数a，b满足4a2－2ab＋4b2－c＝0且使|2a＋b|最大时，－＋的最小值为________．
16．－2 [解析] 由题知2c＝－(2a＋b)2＋3(4a2＋3b2)．
(4a2＋3b2)≥(2a＋b)2⇔4a2＋3b2≥(2a＋b)2，即2c≥(2a＋b)2，
当且仅当＝，即2a＝3b＝6λ(同号)时，
|2a＋b|取得最大值，此时c＝40λ2.
－＋＝－＝－2≥－2，
当且仅当a＝，b＝，c＝时，－＋取最小值－2.
17．、[2014·辽宁卷] 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a>c.已知·＝2，cos B＝，b＝3.求：
(1)a和c的值；
(2)cos(B－C)的值．
17．解：(1)由·＝2得c·a·cos B＝2，
又cos B＝，所以ac＝6.
由余弦定理，得a2＋c2＝b2＋2accos B，
又b＝3，所以a2＋c2＝9＋2×2＝13.
解得或
因为a＞c，所以a＝3，c＝2.
(2)在△ABC中，sin B＝＝＝.
由正弦定理，得sin C＝sin B＝·＝.
因为a＝b＞c，所以C为锐角，
因此cos C＝＝＝.
所以cos(B－C)＝cos Bcos C＋sin Bsin C＝×＋×＝.
18．、、[2014·辽宁卷] 一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图14所示．
图14
将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立．
(1)求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率；
(2)用X表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X的分布列，期望E(X)及方差D(X)．
18．解：(1)设A1表示事件“日销售量不低于100个”，A2表示事件“日销售量低于50个”，B表示事件“在未来连续3天里有连续2天日销售量不低于100个且另1天销售量低于50个”．因此
P(A1)＝(0.006＋0.004＋0.002)×50＝0.6，
P(A2)＝0.003×50＝0.15，
P(B)＝0.6×0.6×0.15×2＝0.108.
(2)X可能取的值为0，1，2，3，相应的概率分别为
P(X＝0)＝C·(1－0.6)3＝0.064，
P(X＝1)＝C·0.6(1－0.6)2＝0.288，
P(X＝2)＝C·0.62(1－0.6)＝0.432，
P(X＝3)＝C·0.63＝0.216.
X的分布列为
X
0
1
2
3
P
0.064
0.288
0.432
0.216
因为X～B(3，0.6)，所以期望E(X)＝3×0.6＝1.8，方差D(X)＝3×0.6×(1－0.6)＝0.72.
19．、[2014·辽宁卷] 如图15所示，△ABC和△BCD所在平面互相垂直，且AB＝BC＝BD＝2，∠ABC＝∠DBC＝120°，E，F分别为AC，DC的中点．
(1)求证：EF⊥BC；
(2)求二面角EBFC的正弦值．
图15
19．解：(1)证明：方法一，过点E作EO⊥BC，垂足为O，连接OF.由△ABC≌△DBC可证出△EOC≌△FOC，所以∠EOC＝∠FOC＝，即FO⊥BC.又EO⊥BC，EO∩FO＝O，所以BC⊥平面EFO.又EF⊂平面EFO，所以EF⊥BC.
图1
方法二，由题意，以B为坐标原点，在平面DBC内过B作垂直BC的直线，并将其作为x轴，BC所在直线为y轴，在平面ABC内过B作垂直BC的直线，并将其作为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，易得B(0，0，0)，A(0，－1，)，D(，－1，0)，C(0，2，0)，因而E(0，，)，F(，，0)，所以＝(，0，－)，＝(0，2，0)，因此·＝0，
从而⊥，所以EF⊥BC.
图2
(2)方法一，在图1中，过点O作OG⊥BF，垂足为G，连接EG.因为平面ABC⊥平面BDC，所以EO⊥面BDC，又OG⊥BF，所以由三垂线定理知EG⊥BF，
因此∠EGO为二面角EBFC的平面角．
在△EOC中，EO＝EC＝BC·cos 30°＝.
由△BGO∽△BFC知，OG＝·FC＝，因此tan∠EGO＝＝2，从而得sin∠EGO＝，即二面角EBFC的正弦值为.
方法二，在图2中，平面BFC的一个法向量为n1＝(0，0，1)．
设平面BEF的法向量n2＝(x，y，z)，
又＝(，，0)，＝(0，，)，
所以得其中一个n2＝(1，－，1)．
设二面角EBFC的大小为θ，且由题知θ为锐角，则cos θ＝|cos〈n1，n2〉|＝＝，
因此sin θ＝＝，即所求二面角正弦值为.
20．、[2014·辽宁卷] 圆x2＋y2＝4的切线与x轴正半轴，y轴正半轴围成—个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P(如图16所示)．双曲线C1：－＝1过点P且离心率为.
图16
(1)求C1的方程；
(2)椭圆C2过点P且与C1有相同的焦点，直线l过C2的右焦点且与C2交于A，B两点．若以线段AB为直径的圆过点P，求l的方程．
20．解：(1)设切点坐标为(x0，y0)(x0>0，y0>0)，则切线斜率为－，切线方程为y－y0＝－(x－x0)，即x0x＋y0y＝4，此时两个坐标轴的正半轴与切线的交点分别为，.故其围成的三角形的面积S＝··＝.由x＋y＝4≥2x0y0知，当且仅当x0＝y0＝时x0y0有最大值2，此时S有最小值4，因此点P的坐标为(，)．
由题意知
解得a2＝1，b2＝2，故C1的方程为x2－＝1.
(2)由(1)知C2的焦点坐标为(－，0)，(，0)，由此可设C2的方程为＋＝1，其中b1>0.
由P(，)在C2上，得＋＝1，
解得b＝3，
因此C2的方程为＋＝1.
显然，l不是直线y＝0.
设直线l的方程为x＝my＋，点A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由得(m2＋2)y2＋2 my－3＝0.
又y1，y2是方程的根，因此
②
由x1＝my1＋，x2＝my2＋，得
因为＝(－x1，－y1)，＝(－x2，－y2)，由题意知·＝0，
所以x1x2－(x1＋x2)＋y1y2－(y1＋y2)＋4＝0，⑤
将①②③④代入⑤式整理得
2m2－2 m＋4 －11＝0，
解得m＝－1或m＝－＋1.
因此直线l的方程为
x－(－1)y－＝0或x＋(－1)y－＝0.
21．、[2014·辽宁卷] 已知函数f(x)＝(cos x－x)(π＋2x)－(sin x＋1)，g(x)＝3(x－π)cos x－4(1＋sin x)ln.证明：
(1)存在唯一x0∈，使f(x0)＝0；
(2)存在唯一x1∈，使g(x1)＝0，且对(1)中的x0，有x0＋x1<π.
21．证明：(1)当x∈时，f′(x)＝－(1＋sin x)·(π＋2x)－2x－cos x<0，函数f(x)在上为减函数．又f(0)＝π－>0，f＝－π2－<0，所以存在唯一x0∈，使f(x0)＝0.
(2)记函数h(x)＝－4ln，x∈.
令t＝π－x，则当x∈时，t∈.
记u(t)＝h(π－t)＝－4 ln，则u′(t)＝.
由(1)得，当t∈(0，x0)时，u′(t)>0，
当t∈时，u′(t)<0.
故在(0，x0)上u(t)是增函数，又u(0)＝0，从而可知当t∈(0，x0]时，u(t)>0，所以u(t)在(0，x0]上无零点．
在上u(t)为减函数，由u(x0)>0，u＝－4ln 2<0，知存在唯一t1∈，使u(t1)＝0，
故存在唯一的t1∈，使u(t1)＝0.
因此存在唯一的x1＝π－t1∈，使h(x1)＝h(π－t1)＝u(t1)＝0.
因为当x∈时，1＋sin x>0，故g(x)＝(1＋sin x)h(x)与h(x)有相同的零点，所以存在唯一的x1∈，使g(x1)＝0.
因为x1＝π－t1，t1>x0，所以x0＋x1<π.
22．[2014·辽宁卷] 选修41：几何证明选讲
如图17所示，EP交圆于E，C两点，PD切圆于D，G为CE上—点且PG＝PD，连接DG并延长交圆于点A，作弦AB垂直EP，垂足为F.
(1)求证：AB为圆的直径；
(2)若AC＝BD，求证：AB＝ED.
图17
22．证明：(1)因为PD＝PG，所以∠PDG＝∠PGD.
由于PD为切线，故∠PDA＝∠DBA，
又因为∠PGD＝∠EGA，所以∠DBA＝∠EGA，
所以∠DBA＋∠BAD＝∠EGA＋∠BAD，
从而∠BDA＝∠PFA.
又AF⊥EP，所以∠PFA＝90°，所以∠BDA＝90°，故AB为圆的直径．
(2)连接BC，DC.
由于AB是直径，故∠BDA＝∠ACB＝90°.
在Rt△BDA与Rt△ACB中，AB＝BA，AC＝BD，从而得Rt△BDA≌Rt△ACB，
于是∠DAB＝∠CBA.
又因为∠DCB＝∠DAB，所以∠DCB＝∠CBA，故DC∥AB.
因为AB⊥EP，所以DC⊥EP，∠DCE为直角，
所以ED为直径，又由(1)知AB为圆的直径，所以ED＝AB.
23．[2014·辽宁卷] 选修44：坐标系与参数方程
将圆x2＋y2＝1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C.
(1)写出C的参数方程；
(2)设直线l：2x＋y－2＝0与C的交点为P1，P2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程．
23．解：(1)设(x1，y1)为圆上的点，在已知变换下变为C上点(x，y)，依题意，得由
x＋y＝1得x2＋＝1，即曲线C的方程为x2＋＝1.
故C的参数方程为(t为参数)．
(2)由解得或
不妨设P1(1，0)，P2(0，2)，则线段P1P2的中点坐标为，所求直线的斜率k＝，于是所求直线方程为y－1＝，
化为极坐标方程，并整理得
2ρcos θ－4ρsin θ＝－3，即ρ＝.
24．[2014·辽宁卷] 选修45：不等式选讲
设函数f(x)＝2|x－1|＋x－1，g(x)＝16x2－8x＋1.记f(x)≤1的解集为M，g(x)≤4的解集为N.
(1)求M；
(2)当x∈M∩N时，证明：x2f(x)＋x[f(x)]2≤.
24．解：(1)f(x)＝
当x≥1时，由f(x)＝3x－3≤1得x≤，故1≤x≤；
当x<1时，由f(x)＝1－x≤1得x≥0，故0≤x<1.
所以f(x)≤1的解集M＝.
(2)由g(x)＝16x2－8x＋1≤4得16≤4，解得－≤x≤，
因此N＝，
故M∩N＝.
当x∈M∩N时，f(x)＝1－x，于是
x2f(x)＋x·[f(x)]2＝xf(x)[x＋f(x)]＝xf(x)＝x(1－x)＝－≤.
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