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- 2021-06-07 发布
2017-2018学年河南省西华县第一高级中学高二下学期期末考试数学（理）试题
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.若复数满足，则的虚部是（ ）
A． B． C． D．
2.设函数，则（ ）
A．是函数的极大值点 B．是函数的极小值点
C．是函数的极大值点 D．是函数的极小值点
3.某教师有相同的语文参考书本，相同的数学参考书本，从中取出本赠送给位学生，每位学生本，则不同的赠送方法共有（ ）
A．种 B．种 C．种 D．种
4.，，，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C. D．
5.抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记事件{两次的点数均为奇数}，{两次的点数之和小于}，则（ ）
A． B． C. D．
6.由曲线，直线，所围成的平面图形的面积为（ ）
A． B． C. D．
7.若，则直线被圆所截得的弦长为（ ）
A． B． C. D．
8.设，由不等式，，，…，类比推广到，则（ ）
A． B． C. D．
9.设随机变量，若，则等于（ ）
A． B． C. D．
10.设随机变量，随机变量，若，则（ ）
A． B． C. D．
11.学生会为了调查学生对年俄罗斯世界杯的关注是否与性别有关，抽样调查人，得到如下数据：
不关注
关注
总计
男生
30
15
45
女生
45
10
55
总计
75
25
100
根据表中数据，通过计算统计量，并参考以下临界数据：
0.50
0.40
0.25
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
0.455
0.708
1.323
2.072
2.706
3.84
5.024
6.635
7.879
10.828
若由此认为“学生对2018年俄罗斯世界杯的关注与性别有关”，则此结论出错的概率不超过（ ）
A． B． C. D．
12.若定义在上的偶函数满足，且时，，则方程的解有（ ）
A．个 B．个 C.个 D．多于个
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.已知函数的图象在点处的切线方程是，则
．
14.已知，则展开式中的系数为 ．
15.已知，则 ．
16.若存在过点的直线与曲线和都相切，则等于 ．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. 已知为等差数列，且，.
（1）求的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
18. 甲乙两个篮球运动员互不影响的同一位置投球，命中率分别为与，且乙投球次均未命中的概率为.
（1）求乙投球的命中率；
（2）若甲投球次，乙投球次，两人共命中的次数为，求的分布列和数学期望.
19. 某公司为了解广告投入对销售收益的影响，在若干地区各投入万元广告费用，并将各地的销售收益（单位：万元）绘制成如图所示的频率分布直方图.由于工作人员操作失误，横轴的数据丢失，但可以确定横轴是从开始计数的.
广告投入/万元
1
2
3
4
5
销售收益/万元
2
3
2
5
7
（Ⅰ）根据频率分布直方图计算图中各小长方形的宽度；
（Ⅱ）该公司按照类似的研究方法，测得另外一些数据，并整理得到上表：
表中的数据显示与之间存在线性相关关系，求关于的回归方程；
（Ⅲ）若广告投入万元时，实际销售收益为万元，求残差.
附：，
20. 如图，在四棱锥中，底面为菱形，，又底面，，为的中点.
（1）求证：；
（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值.
21. 已知.
（Ⅰ）求函数的最小值；
（Ⅱ）求证：对一切，都有成立.
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程；
（Ⅰ）求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；
（Ⅱ）设为曲线上的动点，求点到曲线上的距离的最小值的值并求此时点的坐标.
23.选修4-5：不等式选讲
已知，.
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）若不等式对一切实数，，恒成立，求实数的取值范围.
试卷答案
一、选择题
1-5:BDBAD 6-10:DBDCA 11、12：AC
二、填空题
13. 14. 15. 16.或
三、解答题
17.解：（Ⅰ）由已知条件可得，
解之得，，
所以，.
（Ⅱ）由可得，，设数列的前项和为.
则，
∴，
以上二式相减得
，
所以，.
18.解：（Ⅰ）设“甲投球一次命中”为事件，“乙投球一次命中”为事件，
由题意得，
解得或（舍去），所以乙投球的命中率为.
（Ⅱ）由题设和（Ⅰ）知，，，.
可能的取值为，，，.
又，
，
，
.
的分布列为：
0
1
2
3
的数学期望.
19.解：（Ⅰ）设各小长方形的宽度为，由频率直方图各小长方形的面积总和为，可知
，
故.
（Ⅱ）由题意，可知，，
，，
根据公式，可求得，，
所以关于的回归方程为
.
（Ⅲ）当时，销售收益预测值（万元），又实际销售收益为万元，所以残差
20.解：（Ⅰ）证明：因为底面为菱形，，且为的中点，所以.
又，所以.又底面，所以.
于是平面，进而可得.
（Ⅱ）解：分别以、、为，，轴，设，则
，，，.
显然，平面的法向量为，设平面的法向量为，则
由解得.所以
故平面与平面所成锐二面角的余弦值为.
21.解：（Ⅰ）函数的定义域为，.
当时，，为增函数；当时，，为减函数
所以函数的最小值为.
（Ⅱ）问题等价于证明
由（Ⅰ）可知，的最小值为，当且仅当时取到.
令，，则，
易知，当且仅当取到，所以.
从而对一切，都有成立.
22.解：（Ⅰ）由曲线（为参数），曲线的普通方程为：.
由曲线，展开可得：，化为：.
即：曲线的直角坐标方程为：.
（Ⅱ）椭圆上的点到直线的距离为
∴当时，的最小值为.
23.（Ⅰ）证明：由柯西不等式得，
∴，∴的取值范围是.
（Ⅱ）由柯西不等式得.
若不等式对一切实数，，恒成立，
则，其解集为，
即实数的取值范围为.