2019届高三上学期期末考试数学试题分类汇编：25 60页

‎（江西省上饶市重点中学2019届高三六校第一次联考数学（文）试卷）‎ ‎10.在空间四边形中，若，且，分别是的中点，则异面直线所成角为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设空间四边形的边长为2，作AD的中点 并且连接MF、EM，在△EMF中可由余弦定理能求出异面直线所成的角．‎ ‎【详解】在图1中连接DE，EC，因为=，得为等腰三角形，设空间四边形的边长为2，即==2，在中， ,,得=.‎ 在图2取AD的中点M，连接MF、EM，因为E、F分别是AB、CD的中点，∴MF＝1，EM＝1，∠EFM是异面直线AC与EF所成的角．‎ 在△EMF中可由余弦定理得：cos∠EFM＝，∴∠EFM＝45°,‎ 即异面直线所成的角为45°．‎ 故选：B ‎ ‎ 图1 图2‎ ‎【点睛】本题考查异面直线所成角的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养，属于中档题.‎ ‎（山东省菏泽市2019届高三下学期第一次模拟考试数学（文）试题）‎ ‎16.如图，在正四面体中，是棱上靠近点的一个三等分点，则异面直线和 所成角的余弦值为________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 取棱上靠近点的一个三等分点，由已知得，所以是异面直线和所成的角或其补角，求出CE,CF和FE的长，利用余弦定理计算即可.‎ ‎【详解】如图，取棱上靠近点的一个三等分点，又因为是棱上靠近点的一个三等分点，所以，所以是异面直线和所成的角，不妨设正四面体的棱长为3，则，，，在中，由余弦定理，得 ，所以，同理，在中，由余弦定理得，在中，由余弦定理，得.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查异面直线所成的角，求异面直线所成的角先要利用三角形中位线定理以及平行四边形找到异面直线所成的角，然后利用直角三角形的性质及余弦定理求解，如果利用余弦定理求余弦，因为异面直线所成的角是直角或锐角，所以最后结果一定要取绝对值.‎ ‎（河南省九师联盟2019届高三2月质量检测数学文试题）‎ ‎16.如图，已知圆锥的母线长为8，底面圆的圆心为，直径，点是母线 的中点.若点是底面圆周上一点，且直线与所成的角为，在线段上且，则与底面所成角的正弦值为__________．‎ ‎【答案】或 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据题意，求得为异面直线OC与QB所成的角（或补角），再做辅助线，求得角MCD为直线MC与底面所成的角，再然后求角MCD的正弦值.‎ ‎【详解】由题意知QB=PO=，连接MO，则MO//QB，为异面直线OC与QB所成的角（或补角），所以或 过M做于点D，则底面AOC，所以角MCD为直线MC与底面所成的角，PO=，PA=4MA，所以MD=‎ 当时， ‎ 所以 ‎ 当时，‎ 所以 综上：与底面所成角的正弦值为或 ‎【点睛】本题主要考查了立体几何中线面角的求法，解题的关键是在于能否作出线面角，属于中档题.‎ ‎（广西南宁市、玉林市、贵港市等2019届高三毕业班摸底考试数学（文）试题）‎ ‎8.如图，棱长为的正方体中，为中点，这直线与平面所成角的正切值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先作出直线D1M与平面ABCD所成角，然后求解即可 ‎【详解】连接DM，因为几何体是正方体，‎ 所以∠D1MD就是直线D1M与平面ABCD所成角，‎ tan∠D1MD=‎ 故选：C ‎【点睛】求直线和平面所成角的关键是作出这个平面的垂线进而斜线和射影所成角即为所求，有时当垂线较为难找时也可以借助于三棱锥的等体积法求得垂线长，进而用垂线长比上斜线长可求得所成角的正弦值，当空间关系较为复杂时也可以建立空间直角坐标系，利用向量求解.‎ ‎（广东省汕尾市2019届高三普通高中3月教学质量检测理科数学试题）‎ ‎11.如图，三棱锥D-ABC中，，平面DBC⊥平面ABC，M，‎ N分别为DA和DC的中点，则异面直线CM与BN所成角的余弦值为（　　）‎ A. B. C. D. 0‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 取BC中点O，连结OD，OA，则OD⊥BC，OA⊥BC，OD⊥OA，以O为原点，OC为x轴，OA为y轴，OD为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线CM与BN所成角的余弦值．‎ ‎【详解】取BC中点O，连结OD，OA，‎ ‎∵三棱锥D-ABC中， ，‎ 平面DBC⊥平面ABC，M，N分别为DA和DC的中点，‎ ‎∴OD⊥BC，OA⊥BC，OD⊥OA，‎ 以O为原点，OC为x轴，OA为y轴，OD为z轴，建立空间直角坐标系，‎ C（ ，0，0），A（0，，0），D（0，0，），M（0，，），‎ N（，0，），B（-，0，0），‎ ‎ =（-，,），‎ ‎ =（，0，），‎ 设异面直线CM与BN所成角的平面角为θ，‎ 则cosθ=．‎ ‎∴异面直线CM与BN所成角的余弦值为 ．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．‎ ‎（江西省红色七校2019届高三第二次联考数学（理）试题）‎ ‎18.如图，多面体为正三棱柱沿平面切除部分所得，为的中点，且.‎ ‎(1)若为中点,求证；‎ ‎(2)若二面角大小为，求直线与平面所成角的正弦值.‎ ‎【答案】（1）见解析； （2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1) 取中点N，连接MN，证明即可；(2)由（1）得是二面角的平面角，得，建立空间直角坐标系，由线面角的向量公式求解即可.‎ ‎【详解】（1）取中点N，连接MN，则MN为的中位线，‎ ‎, ，又MN=AD,，‎ ‎，‎ ‎， 。‎ ‎(2) 由可得二面角平面角，‎ 由二面角大小为可得，‎ 如图建立空间直角坐标系，则，,,‎ ‎ ‎ 设平面的法向量为 ‎，所以，‎ 所以直线与平面所成角的正弦值为.‎ ‎【点睛】本题考查线面平行的判定，线面角的向量求法，熟记线面平行判定定理，准确计算是关键，是基础题.‎ ‎（陕西省2019届高三第二次教学质量检测数学（理）试题）‎ ‎19.如图所示，等腰梯形的底角，直角梯形所在的平面垂直于平面，且，.‎ ‎（1）证明：平面平面；‎ ‎（2）点在线段上，试确定点的位置，使平面与平面所成的锐二面角的余弦值为.‎ ‎【答案】（1）见证明；（2）见证明 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）计算BD，根据勾股定理逆定理得出AB⊥BD，再根据ED⊥平面得出ED⊥AB，故而AB⊥平面，从而平面平面；‎ ‎（2）建立空间直角坐标系，写出各个点的坐标，，求出两个平面的法向量，根据法向量的夹角即可求得λ的值。‎ ‎【详解】（1）证明：平面平面，‎ 平面平面，，‎ 平面，平面，‎ ‎，‎ ‎，，，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，又平面，‎ 平面平面 ‎（2）解：以为坐标原点，以，为轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，‎ 则，，‎ ‎，，‎ 设 ，（），‎ 则 ，‎ 设平面的法向量为，平面的法向量为，则 ‎，，，‎ ‎，‎ 令，得，‎ 令，得，‎ ‎ .‎ 即.‎ 即点为线段的中点时，平面与平面所成的锐二面角的余弦值为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了面面垂直的判定，空间向量求平面与平面夹角的应用，属于中档题。‎ ‎（四川省成都市实验外国语学校2019届高三二诊模拟考试理科数学）‎ ‎17.如图，正四棱柱中，，点在上且. ‎ ‎（1）证明：平面； ‎ ‎（2）求二面角的余弦值.‎ ‎【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)首先可以根据图像建立空间直角坐标系然后写出的坐标以及向量，然后通过以及即可得出 ‎，最后根据线面垂直的相关性质即可得出结果；‎ ‎(2)可以通过求出平面与平面的法向量来求出二面角的余弦值。‎ ‎【详解】以为坐标原点，射线为轴的正半轴，射线为轴的正半轴，射线为轴的正半轴，建立空间直角坐标系，即可得出、、，、、、、。‎ ‎(1)因为,，所以，‎ 因为，所以平面；‎ ‎(2)设向量是平面的法向量，则，，‎ 故，.令，则，‎ 等于二面角的平面角，。‎ ‎【点睛】本题考查了解析几何的相关性质，主要考查了线面垂直的证明以及二面角的余弦值的求法，线面垂直可以通过线线垂直来证明，而二面角的余弦值则可以借助空间向量来证明，考查数形结合思想，考查推理能力，是中档题。‎ ‎18.如图，三棱台的底面是正三角形，平面平面，，.‎ ‎（Ⅰ）求证：；‎ ‎（Ⅱ）若，求直线与平面所成角的正弦值.‎ ‎【答案】（Ⅰ）见证明；（Ⅱ）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）取的中点为，连结，易证四边形为平行四边形，即，由于，为的中点，可得到，从而得到，即可证明平面，从而得到；（Ⅱ）易证，，两两垂直，以，，分别为，，‎ 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面的一个法向量为，设与平面所成角为，则，即可得到答案。‎ ‎【详解】解：（Ⅰ）取的中点为，连结.‎ 由是三棱台得，平面平面，从而.‎ ‎∵，∴，‎ ‎∴四边形为平行四边形，∴.‎ ‎∵，为的中点，‎ ‎∴，∴.‎ ‎∵平面平面，且交线为，平面，‎ ‎∴平面，而平面，‎ ‎∴.‎ ‎（Ⅱ）连结.‎ 由是正三角形，且为中点，则.‎ 由（Ⅰ）知，平面，，‎ ‎∴，，‎ ‎∴，，两两垂直.‎ 以，，分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系.‎ 设，则，，，，‎ ‎∴，，.‎ 设平面的一个法向量为.‎ 由可得，.‎ 令，则，，∴.‎ 设与平面所成角为，则.‎ ‎【点睛】本题考查了空间几何中，面面垂直的性质，线线垂直的证明，及线面角的求法，考查了学生的逻辑推理能力与计算求解能力，属于中档题。‎ ‎（广东省汕尾市2019届高三普通高中3月教学质量检测理科数学试题）‎ ‎18.如图，在四棱锥P-ABCD中，AB⊥DA，DC∥AB，AB=2DC=4，PA=DA=2，平面PAD⊥平面ABCD．‎ ‎（1）证明：平面PCB⊥平面ABP；‎ ‎（2）求二面角D-PC-B的余弦值．‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）设E，F分别为AP，PB的中点，过C向AB引垂线，垂直足为Q，连结CF，DE，EF，FQ，推导出DE⊥AP，CF⊥AP，从而CD⊥平面PAD，CD⊥PD，CQ⊥AB，进而，CQ=AD ,CF⊥PB，CF⊥平面APB，由此能证明平面PCB⊥平面ABP．‎ ‎（2）过P作AD的垂线，垂足为O，以O为原点，OA为x轴，在平面ABCD内过点O作A原垂线为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系O-xyz，利用向量法能求出二面角D-PC-B的余弦值．‎ ‎【详解】（1）如图，设E，F分别为AP，PB的中点，‎ 过C向AB引垂线，垂直足为Q，连结CF，DE，EF，FQ，‎ 得, ，故EF//DC, EF=DC，‎ ‎∴CF∥DE，‎ 又PA=PD=DA，∴DE⊥AP，‎ ‎∴CF⊥AP，‎ 由平面PAD⊥平面ABCD，∴CD⊥平面PAD，∴CD⊥PD，‎ ‎∴PC2=DC2+DP2=8，‎ 又CQ⊥AB，∴CQ//AD，CQ=AD,‎ ‎∴BC2=QC2+QB2=8，‎ ‎∴PC=BC，‎ 又F为PB的中点，∴CF⊥PB，‎ ‎∴CF⊥平面APB，‎ 又CF⊂平面PCB，∴平面PCB⊥平面ABP．‎ ‎（2）如图，过P作AD的垂线，垂足为O，‎ 由（1）知O为AD的中点，故PO⊥AD，‎ 以O为原点，OA为x轴，在平面ABCD内过点O作A原垂线为y轴，‎ OP为z轴，建立空间直角坐标系O-xyz，‎ 则D（-1，0，0），C（-1，2，0），B（1，4，0），P（0，0，），‎ ‎=（1，-2，），=（2，1，0），‎ 设平面PCB的法向量=（x，y，z），‎ 则，即，取x=1，得=（1，-1，-），‎ 设平面PDC的法向量为=（x，y，z），‎ 则，，取z=1，得=（-，0，1），‎ ‎∴cos＜＞==-，‎ ‎∴二面角D-PC-B的余弦值为-．‎ ‎【点睛】本题考查面面垂直的证明，考查二面角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．‎ ‎（河南省部分省示范性高中2018-2019学年高三数学试卷（理科）1月份联考试题）‎ ‎19.如图，在直三棱柱中，，，，，为的中点.‎ ‎（1）证明：平面；‎ ‎（2）求直线与平面所成角的正弦值.‎ ‎【答案】（1）见解析 （2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）连接交于点，连接，由矩形的性质，结合三角形中位线定理可得，由线面平行的判定定理可得结果；（2）先证明，分别以，，为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系，求得直线的方向向量，‎ 利用向量垂直数量积为零列方程求得平面的法向量，由空间向量夹角余弦公式可得结果.‎ ‎【详解】（1）连接交于点，连接，因为四边形是矩形，所以点是的中点，‎ 又点为的中点，所以是的中位线，所以.‎ 因为平面，平面，‎ 所以平面.‎ ‎（2）由，，，可得，‎ 分别以，，为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系，‎ 则有，，，，‎ 所以，，，‎ 设直线与平面所成角为，平面的法向量为，‎ 则，即，令，得，‎ 所以 .‎ ‎【点睛】本题主要考查线面平行的判定定理，线面角的向量法，属于中档题. 利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：‎ 第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；‎ 第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；‎ 第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；‎ 第四，破“应用公式关”.‎ ‎（晋冀鲁豫名校2018-2019年度高三上学期期末联考数学(理)试题）‎ ‎18.如图，矩形所在平面垂直于直角梯形所在平面，，‎ 分别是的中点．‎ ‎（1）求证：平面平面；‎ ‎（2）求二面角的正切值．‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由几何关系可知四边形是平行四边形，则． 由线面平行的判定定理可得平面． 由中位线的性质可知，则面 利用面面平行的判定定理即可证得平面平面． ‎ ‎（2）以为坐标原点建立空间直角坐标系，计算可得平面的一个法向量．而平面的一个法向量为．据此可得，然后结合同角三角函数基本关系求解二面角的正切值即可.‎ ‎【详解】（1）因为是的中点，，所以． ‎ 又因为， ，所以，且， ‎ 所以四边形是平行四边形，所以． ‎ 又因为平面平面，所以平面． ‎ 因为分别是的中点，所以． ‎ 又因为平面平面，所以面 ‎ 又因为平面平面，所以平面平面． ‎ ‎（2）以为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系，则，‎ 所以． ‎ 设平面的一个法向量为，则，令，得，‎ 所以． ‎ 易知平面的一个法向量为．‎ 所以．‎ 又因为二面角的平面角为锐角，所以二面角的正切值． ‎ ‎【点睛】本题主要考查面面平行的判定定理，空间向量处理面面角的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎（江西省临川一中，南昌二中，九江一中，新余一中等九校重点中学协作体2019届高三第一次联考数学（理）试题）‎ ‎18.如图，四棱锥的底面为直角梯形，，且 为等边三角形，平面平面；点分别为的中点．‎ ‎（1）证明：平面；‎ ‎（2）求直线与平面所成角的正弦值．‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)求解线面平行，根据题意，连接相应的中位线，根据中位线的关系可得，四边形是平行四边形.‎ ‎(2) 设的中点为， 可证两两垂直，以点为原点，为轴，为轴，为轴建立坐标系，然后求出平面的法向量，最后利用向量的内积关系即可求解出直线与平面所成角的正弦值.‎ ‎【详解】（1）设的中点为，连接，‎ 为的中点，所以为的中位线，‎ 则可得，且；‎ 在梯形中，，且，‎ ‎，‎ 所以四边形是平行四边形，‎ ‎，又平面，平面，‎ 平面． ‎ 法二：设为的中点，连接，‎ 为的中点，‎ 所以是的中位线，所以，‎ 又平面，平面，‎ 平面， ‎ 又在梯形中，，且，‎ 所以四边形是平行四边形，‎ ‎，‎ 又平面，平面，‎ 平面， ‎ 又，‎ 所以平面平面，‎ 又平面，‎ 平面． ‎ ‎（2）设的中点为，又．‎ 因为平面平面，交线为，平面，‎ 平面，‎ 又由，，‎ ‎．‎ 即有两两垂直，如图，以点为原点，为轴，为轴，为轴建立坐标系．‎ ‎ ‎ 已知点，‎ 设平面的法向量为：．‎ 则有 ，可得平面的一个法向量为，‎ ‎， ‎ 可得：，‎ 所以直线与平面所成角的正弦值为．‎ ‎【点睛】本题的第一问是比较常规的证明线面平行的题目，难点在于根据中点连成相应的平行四边形，进而证明出线面平行；第二问是常规的求线面角的正弦值，难点在于建立坐标系，当建立了坐标系后，即可求出平面的法向量，进而求解所求角的正弦值.‎ ‎（河南省濮阳市2019届高三下学期摸底考试数学（理）试题）‎ ‎18.如图，四棱锥的底面是矩形，底面ABCD，P为BC边的中点，SB与平面ABCD所成的角为，且，．‎ ‎1求证：平面SAP；‎ ‎2求二面角的余弦的大小．‎ ‎【答案】(1)见证明；(2)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎1欲证平面SAP，根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证PD与平面SAP内两相交直线垂直，根据题意可知是SB与平面ABCD所成的角，根据勾股定理可知，根据线面垂直的性质可知，而满足定理所需条件；‎ ‎2设Q为AD的中点，连接PQ，根据，，则是二面角的平面角，在中，求出二面角的余弦即可．‎ ‎【详解】1‎ 证明：因为底面ABCD，‎ 所以，是SB与平面ABCD所成的角 由已知，所以易求得，‎ 又因为，所以，所以 因为底面ABCD，平面ABCD，‎ 所以，‎ 由于所以平面 ‎2设Q为AD的中点，连接PQ，‎ 由于底面ABCD，且平面SAD，‎ 则平面平面 ‎，平面SAD，平面SAD，．‎ 过Q作，垂足为R，连接PR，则面QPR．‎ 又面QPR，，是二面角的平面角 容易证明∽，则．‎ 因为，，，‎ 所以 在中，因为，，‎ 所以 所以二面角的余弦为 ‎【点睛】本题主要考查了线面垂直的判定，以及与二面角有关的立体几何综合题，同时考查了空间想象能力以及转化与划归的思想，属于中档题．‎ ‎（河北省沧州市2019年普通高等学校招生全国统一模拟考试理科数学试题）‎ ‎18.如图，在三棱台中，底面是边长为的等边三角形，上、下底面的面积之比为，侧面底面，并且.‎ ‎（1）平面平面，证明：；‎ ‎（2）求平面与平面所成二面角的正弦值.‎ ‎【答案】（1）见证明；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由题意可知，结合几何关系可证得平面，据此可得题中的结论；‎ ‎（2）以为原点建立空间直角坐标系.由题意求得平面的法向量为，平面的法向量为，据此求解平面与平面所成二面角的正弦值即可.‎ ‎【详解】（1）几何体为棱台，‎ 平面平面 平面，平面平面 ‎（2），则面积之比为相似比的平方，而 过点作交于，由于侧面底面为交线，底面.在中，易求得为线段的四等分点，取的中点，则有，以为原点建立空间直角坐标系.‎ ‎ ‎ 设平面的法向量为 可得 设平面的法向量为 故平面与平面所成二面角的正弦值为.‎ ‎【点睛】本题主要考查空间向量及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎（广东省深圳市2019届高三第一次（2月）调研考试数学理试题）‎ ‎18.如图，在四棱锥中，底面是边长为1的菱形，，，为的中点，为的中点，点在线段上，且.‎ ‎（1）求证：平面 ；‎ ‎（2） 若平面底面，且，求平面与平面所成锐二面角的余弦值．‎ ‎【答案】（1）见解析（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）（法一）如图，设中点为，连接，，，则有，利用线面平行的判定定理，证得平面，进而证得平面，从而证得平面平面，即可求得平面.‎ ‎（法二）连接、、，则有，证得，利用线面平行的判定定理，即可证得平面.‎ ‎（2）以为坐标原点建立空间直角坐标系，求得平面和平面的一个法向量，利用向量的夹角公式，即可求解。‎ ‎【详解】解：（1）证明：（法一）如图，设中点为，连接，，，则有，‎ ‎∵平面，平面，∴平面，‎ 又∵，∴，‎ ‎∵平面，平面，∴平面，‎ 又∵，∴平面平面，∴平面.‎ ‎（法二）如图，设中点为，为线段上一点，且.‎ 连接、、，则有，‎ ‎∵，∴，∴，且，‎ 即为平行四边形，∴，‎ ‎∵平面，平面，∴平面.‎ ‎（2）∵平面底面，且，∴底面，‎ 如图，以为坐标原点建立空间直角坐标系，‎ 则，，，，‎ ‎∴，，‎ 设平面的一个法向量为，‎ 则，∴，‎ 取，可得，‎ 又易知平面的一个法向量，‎ 设平面与平面所成锐二面角为，则，‎ ‎∴平面与平面所成锐二面角的余弦值为.‎ ‎【点睛】本题考查了立体几何中的线面平行判定和平面与平面所成的角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力，解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，通过严密推理。同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.‎ ‎（广东省韶关市2019届高三1月调研考试数学理试题）‎ ‎18.如图，四棱锥中，四边形为菱形，，，平面平面.‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）求二面角的余弦值.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）取中点连结，，先证明平面BOP，即可证明；‎ ‎（2）先证明两两垂直.以为原点，分别以的方向为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系.求出平面与平面的法向量，代入公式即可得到结果.‎ ‎【详解】（1）证明：取中点连结，，‎ ‎，.‎ 又四边形为菱形，，故是正三角形，‎ 又点是的中点，.‎ 又，平面，‎ 平面，又平面.‎ ‎.‎ ‎（2）解：，点是的中点，.‎ 又平面平面.‎ 平面平面，平面，‎ 平面，又平面.‎ ‎，.又，‎ 所以两两垂直.‎ 以为原点，分别以的方向为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系.‎ 设，则各点的坐标分别为，，.‎ 故，，，，‎ 设，分别为平面，平面的一个法向量，‎ 由可得，令，则，，故.‎ 由可得，令，则，，故.‎ ‎.‎ 又由图易知二面角是锐二面角，‎ 所以二面角的余弦值是.‎ ‎【点睛】空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.‎ ‎（广东省江门市2019届高三高考模拟（第一次模拟）考试数学（理科）试题）‎ ‎18.如左图，平面五边形中，，，将△沿折起，得到如右图的四棱锥．‎ ‎（1）证明：；‎ ‎（2）若平面平面，求直线与平面所成角的正弦值．‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2） .‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)通过图中的集合关系得到，进而得到线线垂直；（2）建立空间坐标系得到直线的方向向量和面的法向量得到线面角.‎ ‎【详解】（1）取的中点，连接、。‎ 由已知，左图是正方形，因为正方形的对角线互相垂直平分，所以（即）、,‎ 因为，所以 ,‎ ‎，所以 ,‎ ‎（2）由（1）和平面平面知，平面 ,‎ 从而、、两两互相垂直，以为原点，以、、为单位正交基底建立空间直角坐标系 ,‎ 则、、、 ,‎ 设是平面的一个法向量，则 ,‎ 取，则，故 ,‎ ‎ ,‎ 直线与平面所成角的正弦值为 .‎ ‎【点睛】求线面角，一是可以利用等体积计算出直线的端点到面的距离，除以线段长度就是线面角的正弦值；还可以建系，用空间向量的方法求直线的方向向量和面的法向量，再求线面角即可。‎ ‎（广东省广州市天河区2019届高三毕业班综合测试（二）理科数学试题）‎ ‎18.如图，已知等边中，，分别为，边的中点，为的中点，为边上一点，且，将沿折到的位置，使平面平面.‎ ‎（Ⅰ）求证：平面平面；‎ ‎（Ⅱ）求二面角的余弦值.‎ ‎【答案】（I）证明见解析；（II）‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）证明A'M⊥EF，推出A'M⊥平面EFCB，得到A'M⊥BF，证明BF⊥MN．得到BF⊥‎ 平面A'MN．然后证明平面A'MN⊥平面A'BF；‎ ‎（2）设等边的边长为4，取中点，连接，由题设知，由（1）知平面，又平面，所以,如图建立空间直角坐标系，利用两个平面的法向量的夹角即可得出．‎ 试题解析：‎ ‎（I）因为为等边的边的中点，所以是等边三角形，且．因为是的中点，所以.‎ 又由于平面平面,平面，所以平面 又平面，所以.‎ 因为，所以，所以.‎ 在正中知，所以.‎ 而，所以平面.‎ 又因为平面，所以平面平面. ‎ ‎（II）设等边的边长为4，取中点，‎ 连接，由题设知，‎ 由（I）知平面，又平面，所以,如图建立空间直角坐标系，则,,,,. ‎ 设平面的一个法向量为，则由 得令，则.‎ 平面的一个法向量为 ‎ 所以，‎ 显然二面角是锐角，所以二面角的余弦值为.‎ ‎（江西省重点中学盟校2019届高三第一次联考数学（理）试题）‎ ‎18.如图，在四棱锥中，底面是正方形，且，平面 平面，，点为线段的中点，点是线段上的一个动点．‎ ‎（Ⅰ）求证：平面 平面；‎ ‎（Ⅱ）设二面角的平面角为，试判断在线段上是否存在这样的点，使得，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.‎ ‎【答案】（Ⅰ）见证明；（Ⅱ） ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）根据面面垂直的判定定理即可证明结论成立；‎ ‎（Ⅱ）先证明，，两两垂直，再以为原点，以，，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，设，用表示出平面的法向量，进而表示出，由，即可得出结果.‎ ‎【详解】解：（Ⅰ） 四边形是正方形，∴.‎ ‎∵平面 平面平面平面，∴平面.‎ ‎∵平面，∴. ‎ ‎∵，点为线段的中点，∴.‎ 又∵，∴平面.‎ 又∵平面，∴平面 平面. ‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知平面，∵，∴平面.‎ 在平面内过作交于点，‎ ‎∴，故，，两两垂直，以为原点，‎ 以，，所在直线分别为轴，建立如图所示空间直角坐标系.‎ 因为，，∴.‎ ‎∵平面， 则，，‎ 又为的中点，， ‎ 假设在线段上存在这样的点，使得,设，，，‎ 设平面的法向量为， 则 ‎∴，令，则，则 ‎ ‎ 平面，平面的一个法向量,,则 ‎∴.‎ ‎，解得，∴‎ ‎【点睛】本题主要考查面面垂直的判定定理，以由二面角的大小求其它的量，熟记面面垂直的判定定理即可证明结论成立；对于空间角的处理，常用空间向量的方法，属于常考题型.‎ ‎（河北省衡水市第十三中学2019届高三质检（四）理科数学试题）‎ ‎20.如图，在底面为矩形的四棱锥中，.‎ ‎（1）证明：平面平面；‎ ‎（2）若异面直线与所成角为，，，求二面角的大小.‎ ‎【答案】(1)证明见解析；(2) .‎ ‎【解析】‎ 试题分析：‎ ‎(1)由题意结合几何关系可证得平面，结合面面垂直的判断定理即可证得平面平面.‎ ‎(2)建立空间直角坐标系，结合半平面的法向量可得二面角的大小是.‎ 试题解析：‎ ‎（1）证明：由已知四边形为矩形，得，‎ ‎∵，，∴平面.‎ 又，∴平面.‎ ‎∵平面，∴平面平面.‎ ‎（2）解：以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系.‎ 设，，则，，，，‎ 所以，，则，即，‎ 解得（舍去）.‎ 设是平面的法向量，则，即，‎ 可取.‎ 设是平面的法向量，则即，‎ 可取，所以，‎ 由图可知二面角为锐角，所以二面角的大小为.‎ ‎（山东省潍坊市2019届高三上学期期末测试数学（理科）试题）‎ ‎18.如图，正方形所在平面与等腰梯形所在平面互相垂直，已知，，.‎ ‎（1）求证：平面平面；‎ ‎（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值.‎ ‎【答案】（1）见解析（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)分别证明BD垂直DE和AD,结合直线与平面垂直判定,即可.(2)建立坐标系,分别计算两个平面的法向量,结合向量数量积公式,即可.‎ ‎【详解】证明：（1）因为平面平面，平面平面，‎ ‎，所以平面，‎ 所以.‎ 在中，，，‎ 由余弦定理可得，所以，‎ 所以，即，‎ 又因为平面，平面，，‎ 所以平面，‎ 又因为平面，所以平面平面.‎ ‎（2）因为四边形是等腰梯形，，‎ 又由（1）知，所以，所以.‎ 以为坐标原点，分别以，，所在直线作为轴，轴，轴建立如图所示的坐标系，‎ 设，则，可得，，‎ 由，，可得，，‎ 由此可得，，，‎ 设平面的法向量为，则，‎ 可得，‎ 令，则，，所以，‎ 由（1）知，，，所以是平面的一个法向量.‎ ‎ .‎ 所以所求锐二面角的余弦值为.‎ ‎【点睛】本道题考查了直线与平面垂直判定和二面角计算方法,难度中等.‎ ‎（湖北省2019届高三1月联考测试数学（理）试题）‎ ‎18.如图，在四棱锥中，，，，且PC=BC=2AD=2CD=2，.‎ ‎（1）平面；‎ ‎（2）在线段上，是否存在一点，使得二面角的大小为？如果存在，求的值；如果不存在，请说明理由.‎ ‎【答案】(1)见证明 (2)见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）推导出AB⊥AC，AP⊥AC，AB⊥PC，从而AB⊥平面PAC，进而PA⊥AB，由此能证明PA⊥平面ABCD；‎ ‎（2）以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出在线段PD上，存在一点M，使得二面角M﹣AC﹣D的大小为60°，4﹣2．‎ ‎【详解】（1）∵在底面中，，‎ 且 ‎∴，∴‎ 又∵，，平面，平面 ‎∴平面 又∵平面 ∴‎ ‎∵， ∴‎ 又∵，，平面，平面 ‎∴平面 ‎（2）方法一：在线段上取点，使 则 又由（1）得平面 ∴平面 又∵平面 ∴ 作于 又∵，平面，平面 ‎∴平面 又∵平面 ∴‎ 又∵ ∴是二面角的一个平面角 设 则，‎ 这样，二面角的大小为 即 ‎ 即 ‎∴满足要求的点存在，且 方法二：取的中点，则、、三条直线两两垂直 ‎∴可以分别以直线、、为、、轴建立空间直角坐标系 且由（1）知是平面的一个法向量 设 则，‎ ‎∴，‎ 设是平面的一个法向量 则 ∴‎ 令，则，它背向二面角 又∵平面的法向量，它指向二面角 这样，二面角的大小为 即 ‎ 即 ‎∴满足要求的点存在，且 ‎【点睛】本题考查线面垂直的证明，考查满足二面角的点是否存在的判断与求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．‎ ‎（福建省宁德市 2019届高三第一学期期末质量检测数学理科试题）‎ ‎19.如图，在梯形中，，，，现将沿翻折成直二面角.‎ ‎（Ⅰ）证明：；‎ ‎（Ⅱ）若异面直线与所成角的余弦值为，求二面角余弦值的大小.‎ ‎【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（I）证明，结合直线与平面垂直性质，即可。（II）建立坐标系，用a分别表示，结合已知条件，计算a，计算平面PAC的法向量，即可。‎ ‎【详解】解法一：（Ⅰ）取的中点，连结.‎ ‎∵，，‎ ‎∴，，‎ ‎∴四边形是平行四边形，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴，即.‎ 又平面平面，且两平面的交线为，‎ ‎∴平面，‎ 又平面，‎ ‎∴.‎ ‎（Ⅱ）取的中点，连结，则.‎ ‎∴，且，‎ ‎∴，，两两互相垂直.‎ 以为原点，，，为，，轴的正方向建立空间直角坐标系.‎ 设，则，，，，‎ ‎∴，.‎ 由异面直线与所成角的余弦值为，‎ 得，‎ 解得.‎ 易得平面的一个法向量为，‎ ‎∴设平面的一个法向量为，‎ 又，，‎ 由，得，‎ 取，得，，‎ 故，‎ ‎，‎ ‎∴二面角的余弦值.‎ 解法二：（Ⅰ）取的中点，连结.‎ ‎∵，，‎ ‎∴，，‎ ‎∴四边形是平行四边形，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴，即.‎ 取的中点，连结.‎ ‎∵，‎ ‎∴.‎ 又平面平面，且两平面的交线为，‎ ‎∴平面.‎ 又平面，‎ ‎∴.‎ 又，‎ ‎∴平面，‎ 又平面，‎ ‎∴.‎ ‎（Ⅱ）同解法一.‎ ‎【点睛】本小题主要考查空间直线与直线、直线与平面的位置关系及平面所成的角等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想等.‎ ‎（福建省龙岩市2019届高三第一学期期末教学质量检查数学（理科）试题）‎ ‎19.如图，四边形是边长为2的正方形，平面平面，且.‎ ‎（1）证明：平面平面；‎ ‎（2）当，且与平面所成角的正切值为时，求二面角的正弦值.‎ ‎【答案】（1）见证明；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)由已知条件和面面垂直性质定理可以证得平面，有，再运用面面垂直的判定定理证明平面平面 ‎(2)以为坐标原点，的方向为轴正方向建立直角坐标系，分别求出平面和平面的法向量，运用公式求出二面角夹角的余弦值，继而求出正弦值 ‎【详解】（1）由题设知，平面平面，交线为.‎ 因为，平面，所以平面，‎ 因此，又，，所以平面.‎ 而平面，所以平面平面.‎ ‎（2）以为坐标原点，的方向为轴正方向建立如图所示的直角坐标系，‎ 则有， ‎ 过点作于，设，则.‎ 因为，所以，，‎ 由题设可得，即，‎ 解得或，‎ 因为，所以，所以，.‎ 由，知是平面的法向量，‎ ‎，.‎ 设平面的法向量为，‎ 则取得，‎ 设二面角为，‎ 则，‎ 因为，‎ ‎.‎ 综上，二面角的正弦值为.‎ ‎【点睛】本题考查了面面垂直和二面角平面角的正弦值，运用面面垂直的判定定理即可证明面面垂直，建立空间直角坐标系来求解二面角的平面角余弦值，继而得到其正弦值，需要掌握此类题目的解题方法。‎ ‎（安徽省黄山市2019届高三第一次质量检测（一模）数学（理）试题）‎ ‎19.如图，平面四边形中，,,,，将三角形 沿翻折到三角形的位置，平面平面，为中点.‎ ‎（Ⅰ）求证：；‎ ‎（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值.‎ ‎【答案】(Ⅰ)详见解析(Ⅱ) ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）由题意为等边三角形，可以证明及，由平面平面，可知平面，从而，进而可以得到平面，即可证明；(Ⅱ)以为坐标原点，分别为轴，轴建立空间直角坐标系，分别求出和平面的法向量，由可以得到答案。‎ ‎【详解】（Ⅰ）由题意为等边三角形，则，‎ 在三角形中，,，由余弦定理可求得，‎ ‎，即 又平面平面，平面平面，平面 平面 ‎ 等边三角形中，为中点，则，且 平面， ‎ ‎（Ⅱ）以为坐标原点，分别为轴，轴建立空间直角坐标系，‎ 则，，，，‎ ‎， ‎ 设是平面的法向量，则，‎ ‎ 取 ‎ 所以直线与平面所成角的正弦值为.‎ ‎【点睛】本题考查了直线、平面垂直的判定及其性质，考查了直线与平面所成角的求法，属于中档题。‎ ‎（湖南师范大学附属中学2019届高三上学期月考（四）数学（理）试题）‎ ‎18.如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，，平面平面，点为棱的中点．‎ ‎（Ⅰ）在棱上是否存在一点，使得平面，并说明理由；‎ ‎（Ⅱ）当二面角的余弦值为时，求直线与平面所成的角．‎ ‎【答案】（1）见解析（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）取的中点，连结、，得到故且，进而得到，利用线面平行的判定定理，即可证得平面.‎ ‎（Ⅱ）以为坐标原点建立如图空间直角坐标系，设，求得平面的法向量为，和平面的法向量，利用向量的夹角公式，求得，进而得到为直线与平面所成的角，即可求解.‎ ‎【详解】（Ⅰ）在棱上存在点，使得平面，点为棱的中点．‎ 理由如下：取的中点，连结、，由题意，且，‎ 且，故且.所以，四边形为平行四边形.‎ 所以，，又平面，平面，所以，平面.‎ ‎（Ⅱ）由题意知为正三角形，所以，亦即，‎ 又，所以，且平面平面，平面平面，‎ 所以平面，故以为坐标原点建立如图空间直角坐标系，‎ 设，则由题意知，，，，‎ ‎，，‎ 设平面的法向量为，‎ 则由得，令，则，，‎ 所以取，显然可取平面的法向量，‎ 由题意：，所以.‎ 由于平面，所以在平面内的射影为，‎ 所以为直线与平面所成的角，‎ 易知在中，，从而，‎ 所以直线与平面所成的角为.‎ ‎【点睛】本题考查了立体几何中的面面垂直的判定和直线与平面所成角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力；解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，通过严密推理，明确角的构成，着重考查了分析问题和解答问题的能力.‎ ‎（福建省泉州市2019届高三1月单科质检数学理试题）‎ ‎19.如图所示，平面平面，四边形是边长为4的正方形，，，‎ 分别是，的中点.‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）若直线与平面所成角等于，求二面角的余弦值.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用平行四边形判定法则，证明CN平行ME，然后结合直线与平面平行判定，即可。（2）建立直角坐标系，分别计算两平面的法向量，然后结合向量数量积，即可。‎ ‎【详解】（1）取线段中点，连结，，因为，分别是、的中点，所以 且，‎ 正方形中，是的中点.所以且，‎ 所以且，‎ 故四边形为平行四边形，‎ 从而，‎ 又因为平面，平面，所以平面.‎ ‎（2）过作于，‎ 因为平面平面，平面平面，平面，‎ 所以平面，‎ 又平面，从而为直线在平面内的射影，‎ 故为直线与平面所成角，所以.‎ 如图，以为坐标原点，分别以过点且平行于的直线、，所在的直线 为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，‎ 则，，，，‎ ‎，，.‎ 设，分别为平面和的法向量，‎ 则，即，‎ 令得，‎ ‎，即，令得，‎ ‎ ，‎ 所以二面角的余弦值为.‎ ‎【点睛】本道题考查了直线与平面平行的判定和二面角计算方法，难度较大。‎ ‎（福建省厦门市2019届高三第一学期期末质检理科数学试题）‎ ‎19.如图，在四棱锥中，平面，四边形为平行四边形，且，.‎ ‎（1）证明：平面；‎ ‎（2）当直线与平面所成角的正切值为时，求二面角的余弦值.‎ ‎【答案】（1）见证明；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由已知，在中，利用勾股定理，证得，又由线面垂直的性质，得到，再利用线面垂直的判定定理，即可证得平面 ‎（2）以点为坐标原点，建立如图空间直角坐标系，求得平面和平面的法向量，利用向量的夹角公式，即可求解.‎ ‎【详解】（1）证明：由已知，得，‎ 在中，，‎ ‎∴，即，‎ ‎∵平面，平面，‎ ‎∴，‎ 又∵，平面，平面，‎ ‎∴平面 ‎（2）∵平面，‎ ‎∴为直线与平面所成角，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ 在中，，‎ 取的中点，连结，则，‎ ‎∵平面，平面，‎ ‎∴，‎ 又∵，平面，平面，‎ ‎∴平面，‎ 以点为坐标原点，建立如图空间直角坐标系，‎ 则，，，，‎ ‎∴，，‎ 设平面的法向量为，‎ 则，取，解得，‎ 又平面的法向量为，‎ ‎∴.‎ ‎∴二面角的余弦值为.‎ ‎【点睛】本题考查了立体几何中的线面垂直判定和二面角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力；解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，通过严密推理.同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.‎ ‎（广东省揭阳市2018-2019学年高中毕业班学业水平考试理科数学试题）‎ ‎18.如图，在三棱锥P-ABC中，正三角形PAC所在平面与等腰三角形ABC所在平面互相垂直，AB＝BC，O是AC中点，OH⊥PC于H.‎ ‎（1）证明：PC⊥平面BOH；‎ ‎（2）若，求二面角A-BH-O的余弦值．‎ ‎【答案】（1）详见解析（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先证明平面，得到，结合已知，证得平面.（2）以为空间坐标原点建立空间直角坐标系，利用平面和平面 的法向量，计算出二面角的余弦值.‎ ‎【详解】解：（1）∵AB＝BC，O是AC中点，‎ ‎∴ BO⊥AC，‎ 又平面PAC⊥平面ABC，‎ 且平面ABC，平面PAC∩平面ABC＝AC，‎ ‎∴ BO⊥平面PAC，‎ ‎∴ BO⊥PC，又OH⊥PC，BO∩OH＝O，‎ ‎∴ PC⊥平面BOH；‎ ‎（2）易知PO⊥AC，又BO⊥平面PAC，‎ 如图，以O为原点，OB所在的直线为x轴，建立空间直角 坐标系O - xyz，由易知，OC＝2，‎ ‎，，‎ ‎∴ ，，，， ‎ ‎，，， ‎ 设平面ABH的法向量为，‎ 则， ∴，取x=2，得，‎ 由（1）知是平面BHO的法向量，易知，‎ 设二面角A-BH-O的大小为，显然为锐角，‎ 则 ，‎ ‎∴ 二面角A-BH-O的余弦值为．‎ ‎【点睛】本小题主要考查空间线面垂直的证明，考查利用空间向量法求二面角余弦值的方法，属于中档题.‎ ‎（广东省清远市2019届高三上学期期末考试数学（理）试题）‎ ‎19.如图，三棱柱中，侧面是菱形，.‎ ‎（I）证明：；‎ ‎（II）若，求直线与平面所成角的余弦值.‎ ‎【答案】（I）见解析； （II） .‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（I）连接交于点，连接，通过证明以及，证得平面，由此证得，根据垂直平分线的性质可知.（II）先证得平面，由此以为原点建立空间直角坐标系，通过计算直线的方向向量以及平面的法向量，由此求得线面角的正弦值，进而求得余弦值.‎ ‎【详解】（I）证明：连接交于点，连接，‎ 因为四边形为菱形，所以且为中点,‎ 所以平面，‎ 平面， ‎ 为中点，为的垂直平分线， ‎ ‎（II）已知，，故 由（I）知则，‎ 又 ‎ 又平面 ‎ 故以为原点，、、所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系 ‎ 则、、、‎ 设平面的一个法向量为，则 ‎ ‎，设 ‎ 设直线与平面所成角为 则 ‎ 故直线与平面所成角的余弦值为 ‎ ‎【点睛】本小题主要考查线面垂直关系的证明，考查利用空间向量计算直线和平面所成角的余弦值，属于中档题.在利用空间向量来求得线面角的过程中，首先要证明可以建立坐标系的条件，即共起点的三条线要两两垂直.要注意的是，利用公式计算出来的是线面角的正弦值，还需要通过同角三角函数的基本关系式转化为余弦值.‎ ‎（湖北省宜昌市2019届高三元月调研考试理科数学试题）‎ ‎19.如图，在四棱锥中，，，，，.‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）若，求二面角的余弦值.‎ ‎【答案】（1）见解析（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）因为所以要证平面，即证平面，转证（2）以点为坐标原点，，，分别为轴，轴，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.分别求出平面与平面的法向量，代入公式，即可得到二面角的余弦值.‎ ‎【详解】（1）证明：取的中点，连接，所以. ‎ 因为，所以四边形为平行四边形， ‎ 所以，且.又，，‎ 所以，‎ 所以，所以. ‎ 又因为，，所以平面. ‎ 又因为，所以平面. ‎ ‎（2）由（1）知平面，过点作交于点，‎ 故以点为坐标原点，，，分别为轴，轴，轴的正方向，‎ 建立如图所示的空间直角坐标系. ‎ 则,，，，‎ 所以，，.， ‎ 设平面的法向量为，‎ 由，得，‎ 取，得平面的一个法向量为. ‎ 设平面的法向量为，‎ 由，得，‎ 取，得平面的一个法向量为， ‎ 所以. ‎ 因为二面角是一个锐二面角，所以余弦值为.‎ ‎【点睛】空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.‎ ‎（湖南省长沙市2019届上学期高三统一检测理科数学试题）‎ ‎18.已知三棱锥（如图一）的平面展开图（如图二）中，四边形为边长等于的正方形，和均为正三角形，在三棱锥中：‎ ‎（I）证明：平面平面；‎ ‎（Ⅱ）若点在棱上运动，当直线与平面所成的角最大时，求二面角 的余弦值.‎ ‎ ‎ 图一 图二 ‎【答案】（1）见解析（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)证明PO垂直AC,OB,结合平面与平面垂直判定,即可.(2)建立直角坐标系,分别计算两相交平面的法向量,结合向量的数量积公式,计算夹角,即可.‎ ‎【详解】（Ⅰ）设的中点为，连接，.‎ 由题意，得，‎ ‎，.‎ 因为在中，，为的中点，‎ 所以，‎ 因为在中，，，，‎ ‎，所以.‎ 因为，平面，所以平面，‎ 因为平面，所以平面平面.‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，，平面，‎ 所以是直线与平面所成的角，‎ 且，‎ 所以当最短时，即是的中点时，最大.‎ 由平面，，所以，，于是以 ‎，，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图示空间直角坐标系，‎ 则，，，，，，‎ ‎，，.‎ 设平面的法向量为，则 由得：.‎ 令，得，，即.‎ 设平面的法向量为，‎ 由得：，‎ 令，得，，即.‎ ‎.‎ 由图可知，二面角的余弦值为.‎ ‎【点睛】本道题考查了二面角计算以及平面与平面垂直的判定,难度较大.‎ ‎（江西省新余市2019届高三上学期期末考试数学（理）试题）‎ ‎19.在四棱锥中，底面是边长为的菱形，，.‎ ‎（I）证明：平面；‎ ‎（II）若，求二面角的余弦值.‎ ‎【答案】(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ).‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）连接，取中点，连接，然后根据等腰三角形的性质得出，，从而推出平面，进而利用线面垂直的性质定理结合判定定理可使问题得证；（2）以为原点，建立空间直角坐标系，然后求得相关点的坐标与向量，由此求得平面与平面的法向量，从而利用空间夹角公式求解.‎ 试题解析：连接AC，则△ABC和△ACD都是正三角形，取BC中点E，连接AE，PE，‎ 因为E为BC的中点，所以在△ABC中，，‎ 因为PB＝PC，所以BC⊥PE，‎ 又因为PE∩AE＝E，所以BC⊥平面PAE，‎ 又PAÌ平面PAE，所以BC⊥PA.‎ 同理CD⊥PA，‎ 又因为BC∩CD＝C，所以PA⊥平面ABCD. …6‎ ‎（2）如图，以A为原点，建立空间直角坐标系A-xyz，‎ 则B(，－1，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)，＝(0，2，－2)，＝(－，3，0)，‎ 设平面PBD的法向量为m＝(x，y，z)，则即 取平面PBD的法向量m＝(，1，1)， …9分 取平面PAD的法向量n＝(1，0，0)，则cosám，nñ＝＝，‎ 所以二面角A-PD-B的余弦值是. …12分 考点：1、线面垂直的判定；2、二面角；3、空间向量的应用.‎ ‎【思想点睛】垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型，（1）证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行；（2）证明线面垂直，需转化为证明线线垂直；（3）证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.‎ ‎（广西桂林、贺州、崇左三市2018届高三第二次联合调研考试数学（理）试题）‎ ‎19.如图，四棱锥中，底面为边长是2的方形,，分别是，的中点，，，且二面角的大小为.‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）求二面角的余弦值.‎ ‎【答案】（1）见解析.（2）.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）作于点连接，可证，，又，‎ ‎∴平面，即可证明；‎ ‎（2）以点为原点，,,所在直线为轴，建立如图所示空间直角坐标系，‎ 利用空间向量可求二面角的余弦值.‎ 试题解析：（1）证明：作于点连接，‎ ‎∵，，，‎ ‎∴，∴，‎ 即，，又，‎ ‎∴平面，又平面，‎ ‎∴.‎ ‎（2）∵平面平面，平面平面，‎ ‎，∴平面.‎ 以点为原点，,,所在直线为轴，‎ 建立如图所示空间直角坐标系，‎ ‎∵,‎ ‎∴.‎ ‎∴，即.‎ ‎∴，，，.‎ ‎∴,，‎ 设平面的法向量，‎ 由，得 令，得 易知为平面的一个法向量.‎ 设二面角为，为锐角 则.‎