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- 2021-06-07 发布
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2017－2018学年第一学期期末考试
高三年级实验班(文科数学)试题卷
2018.01
本试卷共22小题，满分150分.考试用时120分钟.
注意事项：
1．答卷前，考生先检查试卷与答题卷是否整洁无缺损，并用黑色字迹的签字笔在答题卷指定位置填写自己的班级、姓名、学号和座位号。
2．选择题每小题选出答案后，请将答案填写在答题卷上对应的题目序号后，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上。不按要求填涂的，答案无效。
3．非选择题必须用黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内相应位置上，请注意每题答题空间，预先合理安排；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。
4．考生必须保持答题卷的整洁，考试结束后，将答题卷交回。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．
1．某中学有高一学生400人，高二学生300人，高三学生500人，现用分层抽样的方法在这三个年级中抽取120人进行体能测试，则从高三抽取的人数应为
（A）40 (B) 48 (C) 50 (D)80
2．若，其中，是虚数单位，则=
（A） (B) (C) (D)
3．已知,且，则下列不等式中成立的是
（A） (B) (C) (D)
4．已知直线、,平面，则下列命题中假命题是
（A）若，,则 (B)若，,则
(C)若，,则 (D)若，,,,则
5．设是虚数单位，复数为纯虚数，则实数为
（A）2 (B) 2 (C) (D)
6．已知曲线的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为
（A） (B) (C) (D)
7．若,,且函数在处有极值，则的最大值
（A）2 (B) 3 (C) 6 (D)9
8．已知是坐标原点，点，若点为平面区域上的一个动点，则的最大值是
（A） (B) (C) 0 (D)1
9．阅读如图所示程序框图，为使输出的数据为31，则判断框中应填的是
（A） (B) (C) (D)
10．圆心在曲线 上，且与直线
相切的面积最小的圆的方程为（ ）
（A） (B)
(C) (D)
11．一个几何体的三视图如图所示，该几何体外接球的表面积为
(A)
(B)
(C)
(D)
12．已知整数对按如下规律排成一列：（1，1），（1，2），（2，1），（1，3），（2，2），（3，1），
（1，4），（2，3），（3，2），（4，1），……，则第60个数对是
（A）（10，1） (B)（2，10） (C)（5，7） (D)（7，5）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．
13．平面向量与的夹角为，，，则=__________.
14．点为周长等于的圆周上的一个定点，若在该圆周上随机取一点，则劣弧的长度小于的概率为_________．【来源：全,品…中&高*考+网】
15．设、分别为双曲线的左、右焦点．若在双曲线右支上存在点，满足，且到直线的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的离心率为_________．
16．对正整数，设曲线在处的切线与轴交点的纵坐标为，则的前项和是_________．
三、解答题：本大题共6小题，满分70分．
17．（本小题满分10分）
在△中，分别为内角的对边，.
(Ⅰ) 求的大小；
(Ⅱ) 若, , 求△的面积.
18．（本小题满分12分）
已知为公差不为零的等差数列，其中成等比数列，.
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）记，设的前项和为，求最小的正整数，使得.
19．(本小题满分12分)
如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，、分别为、的中点，侧面，且.
(Ⅰ)求证： ∥平面；
(Ⅱ)求三棱锥的体积.
20．(本小题满分12分)
在平面直角坐标系中，已知曲线（为参数），在以原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线的极坐标方程为．
（Ⅰ）求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；
（Ⅱ）过点且与直线平行的直线交于，两点，求点到，两点的距离之积．
21．(本小题满分12分)
某企业为了对生产的一种新产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到以下数据：
单价x（元/件）
60
62
64
66
68
70
销量y（件）
91
84
81
75
70
67
（Ⅰ）通过画散点图可判断销量与单价线性相关，请求关于的回归直线方程；
（Ⅱ）已知该产品的成本是元/件，预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从（Ⅰ）中的关系，为使企业获得最大利润，该产品的单价应定为多少元（精确到元）？
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：
22．(本小题满分12分)
过点作抛物线的两条切线, 切点分别为, .
（Ⅰ） 证明: 为定值;
（Ⅱ） 记的外接圆的圆心为点, 点是抛物线的焦点, 对任意实数, 试判断以为直径的圆是否恒过点? 并说明理由.
2017—2018学年第一学期期末考试
高三年级实验班(文科数学)试题
参考答案
一、选择题：本大题每小题5分，满分60分．
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
C
C
D
C
A
A
D
D
B
A
B
C
二、填空题：本大题每小题5分；满分20分．
13．. 14．. 15．．16．．
三、解答题：
17．（本小题满分10分）
在△中，分别为内角的对边，.
(Ⅰ) 求的大小；
(Ⅱ) 若, , 求△的面积.
（17）(Ⅰ)解: ∵,
由正弦定理得，， ……………………………………1分
化简得，. ……………………………………………………2分
∴. …………………………………………………4分
∵，
∴. ……………………………………………………5分
(Ⅱ)∵, ∴. …………………………………6分
∴. …………8分
由正弦定理得，， ……………………………………………………9分
∵，，
∴. ………………………………………………………10分
∴△的面积. ………12分
18．（本小题满分12分）
已知为公差不为零的等差数列，其中成等比数列，.
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）记，设的前项和为，求最小的正整数，使得.
解:(Ⅰ)设等差数列的公差为，依题意有
，即，
因为，所以解得，
从而的通项公式为.……………………………………………………6分
(Ⅱ)因为，
所以，
令，解得，故取.…………………………………………12分
19．(本小题满分12分)
如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，、分别为、的中点，侧面，且.
(Ⅰ)求证：∥平面；
(Ⅱ)求三棱锥的体积.
解:(1)连结，则是的中点，为的中点
故在△中， ，………………………………3分
且平面PAD，平面PAD，
∴平面PAD……………………………………6分
(Ⅱ)取的中点N,连结,,∴ ……………………8分
又平面⊥平面，平面∩平面=,
, ………………………10分
………………………12分
20．(本小题满分12分)
在平面直角坐标系中，已知曲线（为参数），在以原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线的极坐标方程为．
（Ⅰ）求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；
（Ⅱ）过点且与直线平行的直线交于，两点，求点到，两点的距离之积．
解:（Ⅰ）曲线化为普通方程为：，…………………………………………2分
由，得，
所以直线的直角坐标方程为．……………………………………………………5分
（Ⅱ）直线的参数方程为（为参数），……………………………………8分
代入化简，得，
设，两点所对应的参数分别为，则，
∴．……………………………………………………12分
21．(本小题满分12分)
某企业为了对生产的一种新产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到以下数据：
单价x（元/件）
60
62
64
66
68
70
销量y（件）
91
84
81
75
70
67
（Ⅰ）通过画散点图可判断销量与单价线性相关，请求关于的回归直线方程；
（Ⅱ）已知该产品的成本是元/件，预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从（Ⅰ）中的关系，为使企业获得最大利润，该产品的单价应定为多少元（精确到元）？
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：
解:（I）散点图如图 ……………2分
由图得销量与单价线性相关
…………3分
…………4分
……6分
回归直线方程为 ……………8分
（II）利润 ……………10分
当时，利润最大，这时
故定价约为元时，企业获得最大利润. ……………12分
22．(本小题满分12分)
过点作抛物线的两条切线, 切点分别为, .
（Ⅰ） 证明: 为定值;
（Ⅱ） 记的外接圆的圆心为点, 点是抛物线的焦点, 对任意实数, 试判断以为直径的圆是否恒过点? 并说明理由.
解：(1) 法1:由,得,所以. 所以直线的斜率为.
因为点和在抛物线上, 所以,.
所以直线的方程为. …………………………………1分
因为点在直线上,
所以,即. ………………………………2分
同理, . …………………………………………3分
所以是方程的两个根.
所以. …………………………………………4分
又, …………………………………………5分
所以为定值. …………………………………………6分
法2:设过点且与抛物线相切的切线方程为, ………………1分
由消去得,
由, 化简得. ……………………………2分
所以. …………………………………………………………………3分
由,得,所以.
所以直线的斜率为,直线的斜率为.
所以, 即. …………………………………………4分
又, …………………………………………5分
所以为定值. …………………………………………6分
(2) 直线的垂直平分线方程为, ……………7分
由于,,
所以直线的垂直平分线方程为. ① …………8分
同理直线的垂直平分线方程为. ② ……………9分
由①②解得, ,
所以点. ……………………………………………………10分
抛物线的焦点为 则
由于，……………………………………………………11分
所以
所以以为直径的圆恒过点 …………………………………………………12分
另法: 以为直径的圆的方程为 ……11分
把点代入上方程,知点的坐标是方程的解.
所以以为直径的圆恒过点 …………………………………………………12分