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- 2021-06-07 发布
高二理科数学期末考试试题
命题：肖冬璇
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2. 如果命题“且”是假命题，“”也是假命题，则( )
A．命题“或”是假命题 B．命题“或”是假命题
C．命题“且”是真命题 D．命题“且”是真命题
3. 已知数列为等差数列，其前项和为，，则为( ）
A. B. C. D. 不能确定
4. 以抛物线的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的方程为（ ）
A. B.
C. D.
5．“”是 “函数有零点”的 ( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
6.已知是两条不同的直线, 是两个不同的平面,给出下列命题：
①若,,则； ②若,,且,则；
③若,,则； ④若,,且,则．
其中正确命题的序号是（ ）
A．①④ B．②④ C．②③ D．①③
7．我国古代数学典籍《九章算术》第七章“盈不足”中有一问题： “今有蒲生一日，长三尺。莞生一日，长一尺。蒲生日自半。莞生日自倍。问几何日而长等？”（蒲常指一种多年生草本植物，莞指水葱一类的植物）现欲知几日后，莞高超过蒲高一倍．为了解决这个新问题，设计右面的程序框图，输入，．那么在①处应填（ ）
A． B． C． D．
8.过函数图象上一个动点作函数的切线,则切线倾斜角的范围为( )
A. B. C. D.
9．已知定义在上的函数满足： 的图象关于点对称，且当时恒有，当时， ，则 ( )(其中为自然对数的底)
A. B. C. D.
10．已知，点为斜边的中点，，，，则等于（ ）
A. B. C. D.
11.在平面直角坐标系中，不等式组（为常数）表示的平面区域的面积为，若满足上述约束条件，则的最小值为 （ ）
A． B． C. D．
12. 设双曲线的左、右焦点分别为，离心率为，过的直线与双曲线的右支交于两点，若是以为直角顶点的等腰直角三角形，则（ ）
A. B. C. D.
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．
13. 袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为________.
14．已知为锐角，向量、满足，则 ．
15．某三棱锥的三视图如图所示，则其外接球的表面积为______．
16．若实数满足，则的最小值是_________．
三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.
17. （本小题满分10分）在数列中，，.
（1）求证：数列是等差数列；（2）求数列的前项和.
18. （本小题满分12分） 在中，角所对的边分别是，且
.
（1）求角；
（2）若的中线的长为，求的面积的最大值.
19．（本小题满分12分）某基地蔬菜大棚采用水培、无土栽培方式种植各类蔬菜．过去50周的资料显示，该地周光照量（小时）都在30小时以上，其中不足50小时的周数有5周，不低于50小时且不超过70小时的周数有35周，超过70小时的周数有10周．根据统计，该基地的西红柿增加量（百斤）与使用某种液体肥料（千克）之间对应数据为如图所示的折线图．
（1）依据数据的折线图，是否可用线性回归模型拟合与的关系？请计算相关系数并加以说明（精确到0．01）．（若，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合）
（2）蔬菜大棚对光照要求较大，某光照控制仪商家为该基地提供了部分光照控制仪，但每周光照控制仪最多可运行台数受周光照量限制，并有如下关系：
周光照量（单位：小时）
光照控制仪最多可运行台数
3
2
1
若某台光照控制仪运行，则该台光照控制仪周利润为3000元；若某台光照控制仪未运行，则该台光照控制仪周亏损1000元．若商家安装了3台光照控制仪，求商家在过去50周周总利润的平均值．
附：相关系数公式，参考数据，．
20．（本小题满分12分）在五面体中， ,
,平面.
（1）证明:直线平面；
（2）已知为棱上的点，，求二面角的大小.
21. （本小题满分12分）已知椭圆：的右焦点，过点且与坐标轴不垂直的直线与椭圆交于，两点，当直线经过椭圆的一个顶点时其倾斜角恰好为．
（1）求椭圆的方程；
（2）设为坐标原点，线段上是否存在点，使得？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，说明理由．
22.（本小题满分12分）已知函数.
（1）求函数的单调区间；
（2）证明：当时， .
高二数学期末考试试题参考答案
ACBDA CBBAD DC 13. 14． 15. 16.
17.解：（1）的两边同时除以，
得， …………3分
所以数列是首项为4，公差为2的等差数列. …………………4分
（2）由（1），得，…………………5分
所以，故，………………7分
所以，
. ……………10分
18.解：(1)∵ ，
…………4分,
即，又.………………6分
(2) 由
即…………………8分
从而（当且仅当时，等号成立），…………10分
即…………………12分
19．解：（1）由已知数据可得，．………1分
因为 …………………2分
…………………………3分
…………………………4分
所以相关系数．………………5分
因为，所以可用线性回归模型拟合与的关系．……………6分
（2）记商家周总利润为元，由条件可得在过去50周里：
当时，共有10周，此时只有1台光照控制仪运行，
周总利润=1×3000-2×1000=1000元．…………8分
当时，共有35周，此时有2台光照控制仪运行，
周总利润=2×3000-1×1000=5000元． ……………………………9分
当时，共有5周，此时3台光照控制仪都运行，
周总利润=3×3000=9000元．…………………10分
所以过去50周周总利润的平均值元，
所以商家在过去50周周总利润的平均值为4600元． ………………………12分
20．证明：（1）四边形为菱形，
，………1分 又 ∵平面∴………2分
又直线平面.………4分
(2) ， 为正三角形，取的中点，连接，则，又平面，∴两两垂直，以为原点， 所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，………5分
，
，………6分
由（1）知是平面的法向量，………7分
，，
则，………8分
设平面的法向量为，
∴，即，令，则，
∴………10分
∴………11分
∴二面角大小为.………12分
21. 解:（1）由题意知，又，所以，………2分
，所以椭圆的方程为： ；………4分
（2）当时， ，不合题意
设直线的方程为：，代入，
得：，故，则
设，线段的中点为，
则 ，………7分
由 得： ，
所以直线为直线的垂直平分线，………8分
直线的方程为： ， ………10分
令得：点的横坐标，………11分
因为， 所以，所以. ………12分
所以线段上存在点 使得，其中.
22.解：（1）函数的定义域为.
由，得.………1分
①当时， 恒成立， 递增，
∴函数的单调递增区间是 ………2分
②当时，则时，递减，
时， ，递增.
∴函数的单调递减区间是，单调递增区间是.………4分
（2）要证明当时， ，即证明当时， ，………5分
即，令，则，
当时， ；当时， .
所以函数在上单调递减，在上单调递增.
当时， .于是，当时， .①………8分
令，则.
当时， ；当时， .
所以函数在上单调递增，在上单调递减.
当时， .于是，当时， .②………11分
显然，不等式①、②中的等号不能同时成立.故当时， ).………12分