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- 2021-06-07 发布
湖南省长郡中学2016-2017学年高二上学期第二次模块检测
数学（理科）
一、选择题（本大题共12小题,每小题4分,共48分.）
1.命题“数列前项和是的形式，则数列为等差数列”的逆命题，否命题，逆否命题这三个命题中，真命题的个数为（ ）．
A．1 B．2 C．3 D．0
2.下列说法正确的是（ ）．
A．“”是“”的充分不必要条件
B．命题“，”的否定是“”
C．关于的方程的两实根异号的充要条件是
D．命题“在中，若，则”的逆命题为真命题
3.某工厂生产三种不同型号的产品，其产品的数量之比依次为2:3:5，现用分层抽样的方法抽出样本容量为的样本，样本中型产品有16件，那么样本容量为（ ）．
A．100 B．90 C．80 D．60
4.设函数，曲线在点处的切线方程为，则曲线在点处切线的斜率为（ ）．
A． B．2 C．4 D．
5.在中产生区间上均匀随机数的函数为“”，在用计算机模拟估计函数的图像、直线和轴在区间上部分围成的图形面积时，随机点与该区域内的点的坐标变换公式为（ ）．
A． B．
C． D．
6.甲、乙两名篮球运动员近几场比赛得分统计成茎叶图如图，甲、乙两人的平均数与中位数分别相等，则为（ ）．
A．3:2 B．2:3 C．3:1或5:3 D．3:2或7:5
7.已知命题，；命题，则下列命题中为真命题的是（ ）．
A． B． C． D．
8.已知函数在上是单调函数，且满足对任意，都有，则的值是（ ）．
A．3 B．7 C．9 D．12
9.过双曲线的左焦点作直线交双曲线的两条渐近线与两点，若，则双曲线的离心率为（ ）．
A． B． C．2 D．
10.已知函数设，且函数的零点均在区间内，圆的面积的最小值是（ ）．
A． B． C． D．
11.关于曲线的下列说法：（1）关于直线对称；（2）是封闭图形，面积大于；（3）不是封闭图形，与圆无公共点；（4）原点道曲线的距离的最小值为4；（5）与曲线的四个交点恰为某正方形的四个顶点．其中正确的个数是（ ）．
A．2 B．3 C．4 D．5
12.已知函数，若关于的函数
有8个不同的零点，则实数的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分．）
13.如图所示，在边长为1的正方形中任取一点，则点恰好取自阴影部分的概率为_____________．
14. 双曲线的右焦点为，为坐标原点，以为圆心，为半径的圆与此双曲线的两条渐近线分别交于点（不同于点），则_____________．
15.已知函数，设，函数在上为单调函数时，则的最大值为 _____________．
16.已知椭圆是椭圆的左右顶点，是椭圆上不与重合的一点，的倾斜角分别为，则 _____________．
三、解答题 （本大题共4小题，共36分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.（本小题8分）
设实数满足不等式，函数无极值点．
（1）若“”为假命题，“”为真命题，求实数的取值范围；
（2）已知“”为真命题，并记为，且，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围．
18.（本小题8分）
如图1，在直角梯形中，，且．现以为一边向梯形外作正方形，然后沿边将正方形翻折，使平面与平面互相垂直，如图2．
（1）求证：平面平面；
（2）求平面与平面所成锐二面角的大小．
19.（本小题10分）
双曲线的一条渐近线方程为，其右焦点到该直线的距离等于；点是圆上的动点，作轴于，且．
（1）求点的轨迹的方程；
（2）设直线与轨迹相交于不同的两点，是否存在过点的直线，使得点关于对称，如果存在，求实数的取值范围；如果不存在，请说明理由．
20.（本小题10分）
已知函数．
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）当时，函数图像上的点都在所表示的平面区域内，求实数的取值范围．
（3）求证：（其中，是自然对数的底数）．
参考答案
一、选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
C
D
C
C
D
DC
C
C
C
A
B
D
二、填空题
13. 14. 15．0 16.
三、解答题
17.解：由，得，即，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1分
∵函数无极值点，∴恒成立，
若为真命题，为假命题，则；．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 4分
若为真命题，为假命题，则，
于是，实数的取值范围为．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分
（2）∵“”真命题，∴．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分
又，
∴
∴，
即，从而．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分
∵是的必要不充分条件，即是的充分不必要条件，
∴，解得．．．．．．．．．．．．．．．．．． 8分
18.解析：（1）（法一）因为平面平面，
且平面平面，
又在正方形中，，
所以平面，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 1分
而平面，
所以．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 2分
在直角梯形中，，
所以，
所以．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分
又平面，
所以平面．
而平面, …………………….4分
（法二）同法一，得 ， 以为原点，分别为轴，建立空间直角坐标系，则．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1分
所以，．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 2分
，
，
所以，．．．．．．．．．．．．．．．3分
又不共线，平面，
所以平面，
而平面，
所以平面平面．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分
（2）（法一）因为平面平面，
所以平面，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分
因为平面与平面有公共点，
所以可设平面平面．
因为平面，平面，平面平面，
所以 ，
从而，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 6分
又，且，所以为中点，也为正方形，
易知平面，所以，．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分
所以是平面与平面所成锐二面角的平面角，而，
所以平面与平面所成锐二面角为45°．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分
（法二）由（1）知，平面的一个法向量是，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 5分
设平面的一个法向量为，
因为，
所以取，得，所以．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分
设平面与平面所成锐二面角为，
则 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分
所以平面与平面所成锐二面角为45°．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分
19．【解析】（1）由题知，．．．．．．．．．．．．．．．．．2分
设，则，
又，
所以．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分
（2）由，
消去整理得．．．．．．．．．．．．．．．5分
∴，
整理得：，①
令，则，．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分
设的中点，则，
，
①当时，由题知，．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分
②当时，直线的方程为，
由在直线上，得，
化简得，②
把②式代入①中，可得，解得，
又由②得，解得，所以．．．．．．．．．．．．．．9分
综上，当时， ；当时，．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分
20．解：（1）当时，，
，
由解得，由解得，
故函数的单调递增区间为，单调递减区间为．．．．．．．．．．．．．．．．．2分
（2）因函数图象上的点都在所表示的平面区域内，则当时，不等式恒成立，即恒成立，设，只需即可．
由，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分
①当时，，当时，，函数在上单调递减，故成立．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分
②当时，由，
因为，所以或，
①若，即时，在区间上，，则函数在上单调递增，在上无最大值（或：当时，），此时不满足条件；
②若，即时，函数在上单调递减，在区间上单调递增，同样在上无最大值，不满足条件．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分
③当时，由，
∵，∴，
∴，故函数在上单调递减，
故成立，
综上所述，实数的取值范围是．．．．．．．．．．．．．．．．．7分
（3）据（2）知，当时，在上恒成立（或另证在区间上恒成立），．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分
又，
∵
，
，
∴．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分