高考数学专题复习：课时达标检测（四十五） 椭 圆 6页

课时达标检测（四十五） 椭 圆 ‎[练基础小题——强化运算能力]‎ ‎1．已知椭圆＋＝1(m＞0)的左焦点为F1(－4,0)，则m＝(　　)‎ A．2 B．‎3 ‎‎ C．4 D．9‎ 解析：选B　由左焦点为F1(－4,0)知c＝4.又a＝5，所以25－m2＝16，解得m＝3或－3.又m＞0，故m＝3.‎ ‎2．在平面直角坐标系xOy内，动点P到定点F(－1,0)的距离与P到定直线x＝－4的距离的比值为.则动点P的轨迹C的方程为(　　)‎ A.＋＝1 B.＋＝1‎ C.＋＝1 D.＋＝1‎ 解析：选B　设点P(x，y)，由题意知＝，化简得3x2＋4y2＝12，所以动点P的轨迹C的方程为＋＝1，故选B.‎ ‎3．已知椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在y轴上，离心率为，过点F2的直线交椭圆C于M，N两点，且△MNF1的周长为8，则椭圆C的焦距为(　　)‎ A．4 B．‎2 C．2 D．2 解析：选C　由题意得|MF1|＋|NF1|＋|MN|＝|MF1|＋|NF1|＋|MF2|＋|NF2|＝(|MF1|＋|MF2|)＋(|NF1|＋|NF2|)＝‎2a＋‎2a＝8，解得a＝2，又e＝＝，故c＝，即椭圆C的焦距为2，故选C.‎ ‎4．如图，椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，若|PF1|＝4，∠F1PF2＝120°，则a的值为(　　)‎ A．2 B．‎3 ‎‎ C．4 D．5‎ 解析：选B　由题可知b2＝2，则c＝，故|F‎1F2|＝2，又|PF1|＝4，|PF1|＋|PF2|＝‎2a，则|PF2|＝‎2a－4，由余弦定理得cos 120°＝＝－，化简得‎8a＝24，即a＝3，故选B.‎ ‎5．椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率为，短轴长为4，则椭圆的方程为________．‎ 解析：由题意可知e＝＝，2b＝4，得b＝2，‎ ‎∴解得 ‎∴椭圆的标准方程为＋＝1.‎ 答案：＋＝1‎ ‎[练常考题点——检验高考能力]‎ 一、选择题 ‎1．已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1，0)，离心率等于，则椭圆C的方程是(　　)‎ ‎ A.＋＝1 B.＋＝1‎ C.＋＝1 D.＋＝1‎ 解析：选D　依题意，设椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)，所以解得a2＝9，b2＝8.故椭圆C的方程为＋＝1.‎ ‎2．椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左、右顶点分别为A，B，左、右焦点分别为F1，F2，若|AF1|，|F‎1F2|，|F1B|成等差数列，则此椭圆的离心率为(　　)‎ A. B. ‎ C. D.－2‎ 解析：选A　由题意可得2|F‎1F2|＝|AF1|＋|F1B|，即‎4c＝a－c＋a＋c＝‎2a，故e＝＝.‎ ‎3．已知圆C1：x2＋2cx＋y2＝0，圆C2：x2－2cx＋y2＝0，椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)，若圆C1，C2都在椭圆内，则椭圆离心率的取值范围是(　　)‎ A. B. C. D. 解析：选B　圆C1，C2都在椭圆内等价于圆C2的右顶点(‎2c,0)，上顶点(c，c)在椭圆内部，∴只需又b2＝a2－c2，∴0＜≤.即椭圆离心率的取值范围是 ‎4．已知椭圆＋＝1(a>b>0)上的动点到焦点的距离的最小值为 ‎－1.以原点为圆心、椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x－y＋＝0相切，则椭圆C的方程为(　　)‎ A.＋＝1 B.＋＝1‎ C.＋y2＝1 D.＋＝1‎ 解析：选C　由题意知a－c＝－1，又b＝＝1，由得a2＝2，b2＝1，故c2＝1，椭圆C的方程为＋y2＝1，故选C.‎ ‎5．已知椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线l：3x－4y＝0交椭圆E于A，B两点．若|AF|＋|BF|＝4，点M到直线l的距离不小于，则椭圆E的离心率的取值范围是(　　)‎ A. B. C. D. 解析：选A　根据椭圆的对称性及椭圆的定义可得A，B两点到椭圆左、右焦点的距离和为‎4a＝2(|AF|＋|BF|)＝8，所以a＝2.又d＝≥，所以1≤b＜2，所以e＝＝＝ .因为1≤b＜2，所以0＜e≤.‎ ‎6．已知F1，F2为椭圆C：＋＝1的左、右焦点，点E是椭圆C上的动点， ·的最大值、最小值分别为(　　)‎ A．9,7 B．8,7 ‎ C．9,8 D．17,8‎ 解析：选B　由题意可知椭圆的左、右焦点坐标分别为F1(－1，0)，F2(1,0)，设E(x，y)，则＝(－1－x，－y)，＝(1－x，－y)，·＝x2－1＋y2＝x2－1＋8－x2＝x2＋7(－3≤x≤3)，所以当x＝0时，·有最小值7，当x＝±3时，·有最大值8，故选B.‎ 二、填空题 ‎7．若椭圆的方程为＋＝1，且此椭圆的焦距为4，则实数a＝________.‎ 解析：由题可知c＝2.①当焦点在x轴上时，10－a－(a－2)＝22，解得a＝4.②当焦点在y轴上时，a－2－(10－a)＝22，解得a＝8.故实数a＝4或8.‎ 答案：4或8‎ ‎8．点P是椭圆＋＝1上一点，F1，F2是椭圆的两个焦点，且△PF‎1F2的内切圆半径为1，当P在第一象限时，P点的纵坐标为______．‎ 解析：由题意知，|PF1|＋|PF2|＝10，|F‎1F2|＝6，S△PF‎1F2＝(|PF1|＋|PF2|＋|F‎1F2|)×1＝|F‎1F2|·yP＝3yP＝8，所以yP＝.‎ 答案： ‎9．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率等于，其焦点分别为A，B.C为椭圆上异于长轴端点的任意一点，则在△ABC中，的值等于________．‎ 解析：在△ABC中，由正弦定理得＝，因为点C在椭圆上，所以由椭圆定义知|CA|＋|CB|＝‎2a，而|AB|＝‎2c，所以＝＝＝3.‎ 答案：3‎ ‎10.如图，椭圆的中心在坐标原点O，顶点分别是A1，A2，B1，B2，焦点分别为F1，F2，延长B‎1F2与A2B2交于P点，若∠B1PA2为钝角，则此椭圆的离心率的取值范围为________．‎ ‎ 解析：设椭圆的方程为＋＝1(a＞b＞0)，∠B1PA2为钝角可转化为，所夹的角为钝角，则(a，－b)·(－c，－b)＜0，即b2＜ac，则a2－c2＜ac，故2＋－1＞0，即e2＋e－1＞0，e＞或e＜，又0＜e＜1，所以＜e＜1.‎ 答案： 三、解答题 ‎11．如图，在平面直角坐标系xOy中，F1，F2分别是椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，顶点B的坐标为(0，b)，连接BF2并延长交椭圆于点A，过点A作x轴的垂线交椭圆于另一点C，连接F‎1C.‎ ‎(1)若点C的坐标为，且BF2＝，求椭圆的方程；‎ ‎(2)若F‎1C⊥AB，求椭圆离心率e的值．‎ 解：设椭圆的焦距为‎2c，则F1(－c,0)，F2(c,0)．‎ ‎(1)因为B(0，b)，所以BF2＝＝a.‎ 又BF2＝，故a＝，即a2＝2.‎ 因为点C在椭圆上，所以＋＝1，解得b2＝1.‎ 故所求椭圆的方程为＋y2＝1.‎ ‎(2)因为B(0，b)，F2(c,0)在直线AB上，‎ 所以直线AB的方程为＋＝1.‎ 解方程组得 所以点A的坐标为.‎ 又AC垂直于x轴，由椭圆的对称性，可得点C的坐标为.‎ 因为直线F‎1C的斜率为＝，直线AB的斜率为－，且F‎1C⊥AB，所以·＝－1.结合b2＝a2－c2，整理得a2＝‎5c2.故e2＝.因此e＝(负值舍去)．‎ ‎12.已知椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的半焦距为c，原点O到经过两点(c,0)，(0，b)的直线的距离为c.‎ ‎(1)求椭圆E的离心率；‎ ‎(2)如图，AB是圆M：(x＋2)2＋(y－1)2＝的一条直径，若椭圆E经过A，B两点，求椭圆E的方程．‎ 解：(1)过点(c,0)，(0，b)的直线方程为bx＋cy－bc＝0，‎ 则原点O到该直线的距离d＝＝，‎ 由d＝c，得a＝2b＝2，解得离心率e＝＝.‎ ‎(2)由(1)知，椭圆E的方程为x2＋4y2＝4b2.①‎ 依题意，圆心M(－2,1)是线段AB的中点，且|AB|＝.‎ 易知，AB与x轴不垂直，设其方程为y＝k(x＋2)＋1，代入①得(1＋4k2)x2＋8k(2k＋1)x ‎＋4(2k＋1)2－4b2＝0.‎ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，‎ 则x1＋x2＝－，x1x2＝.‎ 由x1＋x2＝－4，得－＝－4，解得k＝.‎ 从而x1x2＝8－2b2.于是|AB|＝ |x1－x2|‎ ‎＝ ＝ 由|AB|＝，得＝，解得b2＝3.‎ 故椭圆E的方程为x2＋4y2＝12，即＋＝1.‎