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- 2021-06-07 发布
【学习目标】
1.掌握直线与圆锥曲线位置关系的判断方法；
2.掌握直线被圆锥曲线所截弦长及中点弦问题的求解方法；
3.能够综合应用方程思想及圆锥曲线的几何性质解决有关直线与圆锥曲线的综合问题；
4.理解数形结合的思想.
【高考模拟】
一、单选题
1．抛物线与直线交于点二点，过点作轴的平行线与交于点，过点作抛物线的切线，切点为，切线与直线交于点．已知点，则
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
先求出直线MA,ON方程，再求出D(2, ，再求的值.
【详解】
又，
可设切点B的坐标为（）（b≠0），则过点B的抛物线C的切线方程为
2by=
又该切线过A点，故，
两边除以b,有，
所以由题设交点D(2,又，
故
故答案为：B
【点睛】
(1)本题主要考查抛物线的简单几何性质，考查直线和抛物线的位置关系，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)解答本题的关键是求得D(2, .
2．抛物线上有一动弦，中点为，且弦的长度为，则点的纵坐标的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
由题意设，，直线的方程为，代入抛物线方程，写出韦达定理关系式及弦长与点的纵坐标关系式，通过基本不等式确定最小值.
【详解】
由题意设，，，直线的方程为，
联立方程，整理得
，，，
点M的纵坐标，
弦的长度为
，即
，
整理得，即
根据基本不等式，，当且仅当，时取等，即，
，点的纵坐标的最小值为.
故选A.
【点睛】
本题考查直线与抛物线位置关系，考查基本不等式在圆锥曲线综合问题中的应用，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用.
解决直线与圆锥曲线综合问题基本步骤为：
（1）设，即设交点坐标和直线方程，注意考虑直线斜率是否存在;
（2）联，即联立直线方程与圆锥曲线，消元;
（3）判，即直线与圆锥曲线的位置关系可以通过判别式加以判断;
（4）韦，即韦达定理，确定两根与系数的关系.
（5）代，即根据已知条件，将所求问题转换到与两点坐标和直线方程相关的问题，进而求解问题.
3．已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点，为抛物线上的任一点，过点作圆的切线，切点分别为，则四边形的面积最小值为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
设，则，进而得最值.
【详解】
【点睛】
圆中的最值问题，往往转化为到圆心到几何对象（如定直线或定点等）的最值问题．有时也可以转为关于某个变量的函数（变量可为动直线的斜率或点的坐标等），再利用基本不等式或函数的单调性等求其最值．
4．抛物线上有一动弦，中点为，且弦的长度为，则点的纵坐标的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
由题意设，，直线的方程为，代入抛物线方程，写出韦达定理关系式及弦长与点的纵坐标关系式，通过基本不等式确定最小值.
【详解】
由题意设，，，直线的方程为，
联立方程，整理得
，，，
点M的纵坐标，
弦的长度为
，即
，
整理得，即
根据基本不等式，，当且仅当，时取等，即，
，点的纵坐标的最小值为.
故选A.
【点睛】
本题考查直线与抛物线位置关系，考查基本不等式在圆锥曲线综合问题中的应用，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用.
解决直线与圆锥曲线综合问题基本步骤为：
（1）设，即设交点坐标和直线方程，注意考虑直线斜率是否存在;
（2）联，即联立直线方程与圆锥曲线，消元;
（3）判，即直线与圆锥曲线的位置关系可以通过判别式加以判断;
（4）韦，即韦达定理，确定两根与系数的关系.
（5）代，即根据已知条件，将所求问题转换到与两点坐标和直线方程相关的问题，进而求解问题.
5．如图，过抛物线的焦点作直线交抛物线于、两点，以AB为直径的圆与准线l的公共点为M，若，则的大小为（ ）
A． 15° B． 30° C． 45° D． 不确定
【答案】B
【解析】
【分析】
画出图形，利用抛物线的简单几何性质转化求解即可．
【详解】
【点睛】
（1）本题主要考查抛物线的简单几何性质，考查平面几何知识，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)解答本题的关键是证明MC平行于x轴，且MF⊥AB.
7．平行四边形内接于椭圆，直线的斜率，则直线的斜率( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
设直线的方程为，，，利用椭圆与平行四边形的对称性可得：，联立直线与椭圆方程根据韦达定理求得，即可求得结果。
【详解】
【点睛】
本题考查了平行四边形与椭圆的关系，设直线方程和点坐标，结合椭圆的对称性，联立直线方程与椭圆方程来求解，理解并掌握解题方法。
8．如图，椭圆的上顶点、左顶点、左焦点分别为、、，中心为，其离心率为，则
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
将转化为，再根据离心率求比值.
【详解】
由，得
而，所以，故选B．
【点睛】
本题考查椭圆离心率，考查基本求解能力.
9．设为抛物线：的焦点，过作倾斜角为30°的直线交于、两点，则（ ）
A． B． 16 C． 32 D．
【答案】C
【解析】
【分析】
写出直线方程，联立抛物线方程消元，可根据弦长公式求出弦长.
【详解】
由题意知，AB所在直线方程为 ，联立消元得，设，则，所以，故选C.
【点睛】
本题主要考查了直线与抛物线的位置关系，弦长公式，属于中档题.
10．已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点，为抛物线上的任一点，过点作圆的切线，切点分别为，则四边形的面积最小值为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
设，则，进而得最值.
【详解】
【点睛】
圆中的最值问题，往往转化为到圆心到几何对象（如定直线或定点等）的最值问题．有时也可以转为关于某个变量的函数（变量可为动直线的斜率或点的坐标等），再利用基本不等式或函数的单调性等求其最值．
11．已知抛物线y2=4x的焦点为F,A,B为抛物线上两点,若O为坐标原点,则△AOB的面积为( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据抛物线的标准方程及几何性质，求出直线AB的方程，联立方程组，求解的坐标，进而得到，在由点到直线的距离公式，求得三角形的高，即可求解三角形的面积.
【详解】
由抛物线的对称性,不妨设直线AB的斜率为正.如图所示,
设抛物线的准线为l,过点A作AD⊥l,交l于D,过点B作BC⊥l,交l于C,
过点B作BE⊥AD,交AD于E.由已知条件及抛物线的定义,
不难求出,|AB|=2|AE|,所以直线AB的倾斜角为60°.
易知F(1,0),故直线AB的方程为y=(x-1).
联立直线AB的方程与抛物线的方程可求得A(3,2),B,
所以|AB|==.又原点到直线AB的距离d=,
所以S△AOB=××=.故选B.
【点睛】
本题主要考查抛物线的标准方程与几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系的应用问题,解答此类题目，通过联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系，得到“目标函数”的解析式，确定函数的性质进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错漏百出，本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等.
12．已知点O为坐标原点,点M在双曲线C:x2-y2=λ(λ为正常数)上,过点M作双曲线C的某一条渐近线的垂线,垂足为N,则|ON|·|MN|的值为 ( )
A． B． C． λ D． 无法确定
【答案】B
【解析】
【分析】
设M（m，n），即有m2-n2=λ，求出双曲线的渐近线为y=±x，运用点到直线的距离公式，结合勾股定理可得|ON|，化简整理计算即可得到所求值．
【详解】
设M（m，n），即有m2-n2=λ，
双曲线的渐近线为y=±x，
可得 ，
由勾股定理可得 ，
可得 ．
故选：B．
【点睛】
本题考查双曲线的方程和性质，主要考查渐近线方程的运用，注意点满足双曲线的方程，考查运算能力，属于中档题．
13．设倾斜角为45°的直线通过抛物线y2=4x的焦点且与抛物线相交于M,N两点,则弦MN的长为 ( )
A． B． C． 16 D． 8
【答案】D
【解析】
【分析】
先根据题意写出直线的方程，再将直线的方程与抛物线y2=4x的方程组成方程组，消去y得到关于x的二次方程，最后利用根与系数的关系结合抛物线的定义即可求线段AB的长．
【详解】
设A（x1，y1），B（x2，y2），A，B到准线的距离分别为dA，dB，
由抛物线的定义可知|AF|=dA=x1+1，|BF|=dB=x2+1，于是|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+2．
由已知得抛物线的焦点为F（1，0），斜率 ，所以直线AB方程为y=x-1．
将y=x-1代入方程y2=4x，得（x-1）2=4x，化简得x2-6x+1=0．
由求根公式得x1+x2=6，于是|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+2=8．
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了抛物线的应用以及直线与圆锥曲线的综合问题和方程的思想，属中档题．
14．已知双曲线方程为x2-=1,过点P(1,0)的直线l与双曲线只有一个公共点,则l的条数为 ( )
A． 4 B． 3 C． 2 D． 1
【答案】B
【解析】
【分析】
由双曲线方程可知其渐近线为y=y=±2x，分别考虑所求直线的情况有①直线的斜率不存在②与渐近线平行
【详解】
【点睛】
本题以双曲线为载体，主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．突出考查了双曲线的几何性质．
15．设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，则|AB|＝( )
A． B． 6 C． 12 D．
【答案】C
【解析】
【分析】
由抛物线方程求出焦点坐标，由直线的倾斜角求出斜率，写出过A，B两点的直线方程，和抛物线方程联立后化为关于x的一元二次方程，由根与系数关系得到A，B两点横坐标的和，代入抛物线过焦点的弦长公式得答案．
【详解】
由y2=3x，得2p=3， ，则 ，
∴过A，B的直线方程为
联立 ，得16x2-168x+9=0．
设A（x1，y1），B（x2，y2），
则 ，
∴ ．
故答案为：12．
【点睛】
本题考查直线与圆锥曲线的关系，考查数学转化思想方法，涉及直线和圆锥曲线关系问题，常采用联立直线和圆锥曲线，然后利用一元二次方程的根与系数关系解题，是中档题．
16．设A，B是抛物线y2＝2x上异于原点的不同两点，则的最小值为( )
A． 1 B． －1 C． －2 D． －4
【答案】B
【解析】
【分析】
设直线AB的方程为x=my+t，代入抛物线方程，消去x，得到y的方程，设，运用韦达定理和判别式大于0，结合向量的数量积的坐标表示，转化为t的函数，由配方即可得到所求最小值．
【详解】
设直线AB的方程为x=my+t，
代入抛物线y2=2x，可得
y2-2my-2t=0，
由题意可得△=4m2+8t＞0，且t≠0，
设
则y1+y2=2m，y1y2=-2t，
可得
当t=1时，取得最小值-1．
故选：B．
【点睛】
本题考查向量的数量积的最值的求法，直线与抛物线方程联立，运用韦达定理和向量数量积的坐标表示，正确设出抛物线上点的坐标，运用二次函数的最值求法是解题的关键．
17．已知抛物线C的顶点为原点，焦点在x轴上，直线y＝x与抛物线C交于A，B两点，若P(2，2)为AB的中点，则抛物线C的方程为( )
A． y2＝4x B． y2＝－4x C． x2＝4y D． y2＝8x
【答案】A
【解析】
【分析】
先根据题意设出抛物线的标准方程，与直线方程联立消去y，利用韦达定理求得xA+xB的表达式，根据AB中点的坐标可求得xA+xB的，继而p的值可得．
【详解】
【点睛】
本题主要考查了抛物线的标准方程，直线与抛物线的关系．考查了考生基础知识的理解和熟练应用．
18．设P为双曲线x2－＝1上的一点，F1，F2是该双曲线的两个焦点，若，则△PF1F2的面积为( )
A． B． C． 12 D． 24
【答案】C
【解析】
【分析】
根据双曲线定义得|PF1|-|PF2|=2a=2，所以| ，再由△PF1F2为直角三角形，可以推导出其面积．
【详解】
【点睛】
本题考查双曲线性质的灵活运用，解题时要注意审题．
19．已知双曲线的左、右焦点分别为，其一条渐近线方程为，点在该双曲线上，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
现求出，设的夹角为，则，利用余弦定理，计算，得，进而得到，利用三角形的面积公式，即可求解答案.
【详解】
因为双曲线的一条渐近线方程为，
所以，所以，所以，
设的夹角为，则，
又由余弦定理得，所以，
因为，所以，所以，所以，
所以，故选D.
【点睛】
本题主要考查了双曲线的标准方程及其简单的几何性质，以及余弦定理和三角形的面积公式的应用，其中熟记双曲线的几何性质和合理应用正弦、余弦定理，列出方程求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力.
20．已知椭圆，若此椭圆上存在不同的两点A，B关于直线y＝4x＋m对称，则实数m的取值范围是( )
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
设椭圆上两点A（x1，y1）、B（x2，y2）关于直线y=4x+m对称，AB中点为M（x0，y0），利用平方差法与直线y=4x+m可求得x0=-m，y0=-3m，点M（x0，y0）在椭圆内部，将其坐标代入椭圆方程即可求得m的取值范围．
【详解】
【点睛】
本题考查直线与圆锥曲线的综合问题，着重考查平方差法的应用，突出化归思想的考查，属于难题．
二、填空题
21．设直线与抛物线相交于、两点，与圆相切于点，且为线段的中点，若这样的直线恰有4条，则的取值范围是_______
【答案】（2，4）
【解析】
设直线的方程为，，
把直线的方程代入抛物线方程，整理可得：
则，，
则
线段的中点
由题意可得直线与直线垂直，且
当时，有
即，整理得
把代入到
可得，即
由于圆心到直线的距离等于半径
即
，此时满足题意且不垂直于轴的直线有两条
当时，这样的直线恰有条，即，
综上所述，若这样的直线恰有条，则的取值范围是
点睛：本题主要考查的知识点是直线与抛物线，圆的位置关系，考查了学生分析解决问题的能力，属于中档题。设直线的方程为，，，把直线的方程代入抛物线方程，根据判别式求得线段的中点的坐标，分别讨论时，时的取值范围，即可得到答案
22．若椭圆的弦被点（4，2）平分，则此弦在直线的斜率为_______
【答案】
【解析】
【分析】
利用点差法求直线的斜率.
【详解】
设弦的端点为则，
所以
所以
所以.
故答案为：
【点睛】
（1）本题主要考查点差法，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2) 如果已知中涉及圆锥曲线的弦的中点，一般利用点差法，可以减少运算，提高解题效率.使用点差法，一般先“设点代点”，再作差，最后化简，最后可以得到中点的坐标和直线的斜率的关系.
23．若椭圆的弦被点（4，2）平分，则此弦在直线的斜率为_______
【答案】
【解析】
【分析】
利用点差法求直线的斜率.
【详解】
设弦的端点为则，
所以
所以
所以.
故答案为：
【点睛】
（1）本题主要考查点差法，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2) 如果已知中涉及圆锥曲线的弦的中点，一般利用点差法，可以减少运算，提高解题效率.使用点差法，一般先“设点代点”，再作差，最后化简，最后可以得到中点的坐标和直线的斜率的关系.
24．已知过抛物线的焦点，且斜率为的直线与抛物线交于、两点，则
__________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据抛物线焦点弦性质得，对照比较与所求式子之间关系，即得结果.
【详解】
【点睛】
本题考查抛物线焦点弦性质，考查基本求解能力.
25．已知椭圆的左、右顶点分别为、，是椭圆上不同于、的一点，直线、的倾斜角分别为、，则________.
【答案】
【解析】
【分析】
利用点在椭圆上可得，也就是，再利用两角和、差的余弦和同角的三角函数的基本关系式得到后代入前者可得所求之值.
【详解】
设，则，
所以，
又，填.
【点睛】
一般地，椭圆的左右顶点分别为，对于椭圆上任意异于的点 ，都有，椭圆中不少定点定值问题都和它有关.
26．已知过抛物线的焦点，且斜率为的直线与抛物线交于、两点，则__________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据抛物线焦点弦性质得，对照比较与所求式子之间关系，即得结果.
【详解】
由知，由焦点弦性质，而
．
【点睛】
本题考查抛物线焦点弦性质，考查基本求解能力.
27．若抛物线在点处的切线也与圆相切，则实数的值为_____.
【答案】
【解析】
【分析】
首先根据抛物线所过的一个点，求得抛物线的方程，从函数的角度去求其切线，对函数求导，代入求得直线的斜率，利用点斜式写出直线的方程，利用圆心到直线的距离等于半径，求得参数的值，得到结果.
【详解】
【点睛】
该题考查的是有关曲线的切线问题，涉及到的知识点有抛物线的方程的求解，利用导数的几何意义求曲线的切线方程，圆与直线的位置关系，点到直线的距离公式，正确应用公式是解题的关键.
28．已知双曲线的上支交抛物线 于两点，双曲线的渐近线在第一象限与抛物线交于点为抛物线的焦点，且，则 ＝_______.
【答案】1
【解析】
【分析】
由抛物线定义可得，求得，联立利用韦达定理可得，从而可得结果.
【详解】
【点睛】
本题主要考查抛物线的定义和双曲线的几何性质，属于难题.与焦点、准线有关的问题一般情况下都与拋物线的定义有关，解决这类问题一定要注意点到点的距离与点到直线的距离的转化：（1）将抛线上的点到准线距离转化为该点到焦点的距离；(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，使问题得到解决.
29．过点作抛物线的两条切线，切点分别为，，，分别交轴于，两点，为坐标原点，则与的面积之比为___________．
【答案】.
【解析】
【分析】
先求得切点弦的方程为，再求得，,再求出，
，即得与的面积之比.
【详解】
设，，由题得切点弦方程为（过焦点），
因为过的切线方程为，令则，同理,
所以，
又因为，
所以与的面积之比为.
【点睛】
本题主要考查抛物线的几何性质，考查切线方程的求法，考查面积的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.
30．已知动点 (其中)到x轴的距离比它到点F(0,1)的距离少1，则动点P的轨迹方程为__________.
【答案】
【解析】
【分析】
由定义，判断出该曲线为抛物线；根据抛物线定义求得准线方程，进而求出动点的轨迹方程。
【详解】
因为动点到x轴的距离比它到点F(0,1)的距离少1
所以动点到 的距离与它到点F(0,1)的距离相等，根据定义可知动点P的轨迹为抛物线，且F(0,1)为焦点
则 ，所以动点P的轨迹方程为
【点睛】
本题考查了抛物线定义的简单应用，关键是要把距离进行转化，属于中档题。
31．直线与曲线的公共点的个数为__________．
【答案】2.
【解析】分析：先分类讨论化简曲线的方程，再数形结合分析得到公共点的个数.
点睛：本题主要考查直线与曲线的位置关系，意在考查学生对这些知识的掌握水平和数形结合的思想方法.
32．在平面直角坐标系中，已知点是椭圆：上第一象限的点，为坐标原点，，分别为椭圆的右顶点和上顶点，则四边形的面积的最大值为__________．
【答案】
【解析】分析：的面积的最大值当到直线距离最远的时候取得。
详解：，当到直线距离最远的时候取得的最大值，设直线，所以，故的最大值为。
点睛：分析题意，找到面积随到直线距离的改变而改变，建立面积与到直线距离的函数表达式，利用椭圆的参数方程求解距离的最值。本题还可以用几何法分析与直线平行的直线与椭圆相切时，为切点，到直线距离最大。
33．已知椭圆是该椭圆的左、右焦点，点，是椭圆上的一个动点，当的周长取最大值时，的面积为__________．
【答案】
【解析】分析：先利用椭圆的定义将椭圆上的点到左焦点的距离转化为到右焦点的距离，再利用平面几何知识进行求解．
详解：连接，
由椭圆方程，
得，
则的周长为
（当且仅当在射线上时取等号），
在椭圆方程中，
令，得，
则，.
．
点睛：处理椭圆或双曲线上的点到焦点的距离时，往往利用椭圆或双曲线的定义合理转化，如本题中利用椭圆的定义将转化为，再利用平面几何知识（三点共线时取到最值）进行求解．
34．如果双曲线的渐近线与抛物线相切，则该双曲线的离心率为___________.
【答案】
【解析】分析：先求出渐近线方程，代入抛物线方程，根据判别式等于0，找到a和b的关系，从而推断出a和c的关系，答案即可得到.
解析：已知双曲线的一条渐近线方程为，
代入抛物线方程整理得，
因渐近线与抛物线相切，
，即.
故答案为：.
点睛：双曲线离心率或离心率范围的两种方法：一种是直接建立e的关系式求e或e的范围；另一种是建立a，b，c的齐次关系式，将b用a，e表示，令两边同除以a或a2化为e的关系式，进而求解．
35．点到抛物线准线的距离为，为抛物线的焦点，点，当点在直线上运动时，的最小值为__________．
【答案】.
【解析】分析：先求出抛物线的方程，设AP=t，则AN=，AF=2，PN=，PF=，再表示
，利用换元法，即可得出结论．
点睛：（1）本题主要考查抛物线的方程及其性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力. (2)解答本题的关键有两点，其一是设AP=t求出AN=，AF=2，PN=，PF=，其二是求=的最小值.
36．设抛物线的焦点为，过的直线交抛物线于两点，过的中点作轴的垂线与抛物线在第一象限内交于点，若，则直线的方程为__________．
【答案】
【解析】分析：求出抛物线焦点为，准线为，设，直线方程为，由与抛物线方程消去得关于的一元二次方程，利用根与系数的关系算出的坐标，根据
，利用两点间的距离公式解出，进而得到结论.
详解：
设点的坐标为，可得，
，
，
得到，可得，
，，解之得，
所以，直线方程为，即,
故答案为.
点睛：本题主要考查抛物线的标准方程与简单性质，以及抛物线与直线的位置关系，属于难题.解答直线与抛物线位置关系的问题，其常规思路是先把直线方程与抛物线方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．
37．在平面直角坐标系中，已知圆和点，过点作直线交圆于两点，则的取值范围是__________.
【答案】
【解析】分析：设，设直线l的方程为，代入圆，再由韦达定理和向量的模的公式，结合分式函数的值域求法：判别式法，计算即可.
解析：设，
则，
直线l的方程为，代入圆可得：，
恒成立
.
则，
由可得.
当时，；
当时，，解得.
则的取值范围时.
故答案为：.
点睛：本题考查直线和圆的位置关系，注意联立方程组，运用韦达定理，同时考查分式函数的值域求法，注意运用判别式法，考查化简整理的运算能力.
38．已知点P(0，1)，椭圆+y2=m(m>1)上两点A，B满足=2，则当m=___________时，点B横坐标的绝对值最大．
【答案】5
【解析】分析:先根据条件得到A,B坐标间的关系，代入椭圆方程解得B的纵坐标，即得B的横坐标关于m的函数关系，最后根据二次函数性质确定最值取法.
点睛：解析几何中的最值是高考的热点，在圆锥曲线的综合问题中经常出现，求解此类问题的一般思路为在深刻认识运动变化的过程之中，抓住函数关系，将目标量表示为一个(或者多个)变量的函数，然后借助于函数最值的探求来使问题得以解决.
39．若直线平分圆，则的值为________.
【答案】1
【解析】
【分析】
把圆的一般式方程化为标准方程得到圆心，根据直线过圆心，把圆心的坐标代入到直线的方程，得到关于的方程，解方程即可
【详解】
圆的标准方程为，
则圆心为
直线过圆心
解得
故答案为
【点睛】
本题考查的是直线与圆的位置关系，解题的关键是求出圆心的坐标，属于基础题
40．（2018年全国卷Ⅲ文）已知点和抛物线，过的焦点且斜率为的直线与交于，两点．若，则________．
【答案】2
【解析】分析：利用点差法进行计算即可。
详解：设
则
所以
所以
取AB中点,分别过点A,B作准线的垂线，垂足分别为
因为,
因为M’为AB中点，
所以MM’平行于x轴
因为M(-1,1)
所以，则即
故答案为2.
点睛：本题主要考查直线与抛物线的位置关系，考查了抛物线的性质，设，利用点差法得到，取AB中点, 分别过点A,B作准线的垂线，垂足分别为，由抛物线的性质得到，进而得到斜率。
三、解答题
41．已知椭圆，是其左右焦点，为其左右顶点，为其上下顶点，若，
(1)求椭圆的方程；
(2)过分别作轴的垂线，椭圆的一条切线，与交于二点，求证：．
【答案】（1）；（2）见解析
【解析】
【分析】
(1)解方程组即得椭圆的方程.(2)先证明，所以同理可得，所以 .
【详解】
(1)由题设知解得，，
椭圆的方程为
【点睛】
(1)本题主要考查椭圆方程的求法，考查直线椭圆的位置关系，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2)解答本题的关键是证明，所以
42．设常数．在平面直角坐标系中，已知点，直线：，曲线：．与轴交于点、与交于点．、分别是曲线与线段上的动点．
（1）用表示点到点距离；
（2）设，，线段的中点在直线，求的面积；
（3）设，是否存在以、为邻边的矩形，使得点在上？若存在，求点的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】（1）；（2）；（3）见解析.
【解析】
【分析】
（1）方法一：设B点坐标，根据两点之间的距离公式，即可求得|BF|；
方法二：根据抛物线的定义，即可求得|BF|；
（2）根据抛物线的性质，求得Q点坐标，即可求得OD的中点坐标，即可求得直线PF的方程，代入抛物线方程，即可求得P点坐标，即可求得△AQP的面积；
（3）设P及E点坐标，根据直线kPF•kFQ=﹣1，求得直线QF的方程，求得Q点坐标，根据+=，求得E点坐标，则（）2=8（+6），即可求得P点坐标．
【详解】
（2），，，则，
∴，∴，设的中点，
，
，则直线方程：，
联立，整理得：，
解得：，（舍去），
∴的面积；
（3）存在，设，，则，，
直线方程为，∴，，
根据，则，
∴，解得：，
∴存在以、为邻边的矩形，使得点在上，且．
【点睛】
本题考查抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，考查转化思想，计算能力，属于中档题．
43．已知圆与定点，动圆过点且与圆相切．
（1）求动圆圆心的轨迹的方程；
（2）若过定点的直线交轨迹于不同的两点、，求弦长的最大值．
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】
（1）由题设可知，动圆与定圆相内切，结合椭圆的定义，即可求得动圆圆心的轨迹方程；
（2）弦长问题采用代入法，直线斜率不存在弦长为，直线斜率存在时，设坐标，直线方程，联立椭圆与直线方程，通过和韦达定理表示出，最后运用换元法和函数的性质，确定最大值.
【详解】
解：（1）设圆的半径为，题意可知，点满足：
，，
所以，，
由椭圆定义知点的轨迹为以 为焦点的椭圆，且
进而，故轨迹方程为：．
【点睛】
本题考查确定曲线轨迹方程的定义法，考查椭圆的定义、圆与圆的位置关系、直线与椭圆的位置关系的应用，考查了分类讨论思想、等价转化思想，是综合题.
44．已知点在椭圆上，设分别为椭圆的左顶点、下顶点，原点到直线的距离为．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设为椭圆在第一象限内一点，直线分别交轴、轴于两点，求四边形的面积．
【答案】（1）椭圆的方程为；（2）四边形的面积为.
【解析】
【分析】
（1）根据条件可得，，从而可解得椭圆方程；
（2）设点，从而有，得，所以四边形的面积为，从而可得解.
【详解】
（2）设点，则，即．
直线，令，得．
从而有，同理，可得．
所以四边形的面积为
．所以四边形的面积为．
【点睛】
本题主要考查了椭圆的方程及直线与椭圆的位置关系，需要较大的运算量，属于难题.
45．已知圆与定点，动圆过点且与圆相切．
（1）求动圆圆心的轨迹的方程；
（2）若过定点的直线交轨迹于不同的两点、，求弦长的最大值．
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】
（1）由题设可知，动圆与定圆相内切，结合椭圆的定义，即可求得动圆圆心的轨迹方程；
（2）弦长问题采用代入法，直线斜率不存在弦长为，直线斜率存在时，设坐标，直线方程，联立椭圆与直线方程，通过和韦达定理表示出，最后运用换元法和函数的性质，确定最大值.
【详解】
解：（1）设圆的半径为，题意可知，点满足：
，，
所以，，
由椭圆定义知点的轨迹为以 为焦点的椭圆，且
进而，故轨迹方程为：．
（2）当直线斜率不存在时，，或，，
此时弦长．
当直线斜率存在时，设的方程为：，
由 消去得：，
由△ 得，
设、，可得：
，，
，
令，则，
，，
当时，此时，．
综上，弦长的最大值为．
【点睛】
本题考查确定曲线轨迹方程的定义法，考查椭圆的定义、圆与圆的位置关系、直线与椭圆的位置关系的应用，考查了分类讨论思想、等价转化思想，是综合题.
46．已知曲线
（1）若，求经过点且与曲线只有一个公共点的直线方程：
（2）若，请在直角坐标平面内找出纵坐标不同的两个点，此两点满足条件：无论如何变化，这两个点都不在曲线上；
（3）若曲线与线段有公共点，求的最小值。
【答案】（1）或（2）16
【解析】
【分析】
(1)由题得曲线为，设直线，联立得，再根据即得m的值和直线的方程.(2)由题得曲线为，当，，当，无论如何变化，曲线都不可能为，所以两点可以是和，，.(3)
联立得，当，，
当，对分类讨论得到的最小值.
【详解】
（2）曲线为，当，，当，。，
∴无论如何变化，曲线都不可能为，∴两点可以是和，，
（3）联立得，当，，
当，①，，，数形结合可得
②，且只一个共公点，，，，
数形结合可得，
③，，且有两个公共点，，，，
，，，数形结合可得
④，，且有两个公共点，，，，
，，，不符，舍去
综上所述，的最小值为16
【点睛】
(1)本题主要考查直线方程的求法，考查直线和曲线的位置关系，考查函数的最值问题，意在考查学生对这些知识的掌握水平和数形结合分析推理能力.(2)第3问的解答关键是对分类讨论，利用数形结合分析得到的最小值.
47．已知椭圆，四点、、、中恰有三点在椭圆上。
（1）求的方程：
（2）椭圆上是否存在不同的两点、关于直线对称？若存在，请求出直线的方程，若不存在，请说明理由；
（3）设直线不经过点且与相交于、两点，若直线与直线的斜率的和为1，求证：过定点。
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】
(1) 结合椭圆几何特征，可得、、在椭圆上，解方程即得椭圆的方程.(2) 设直线为，线段中点为，利用椭圆的中点弦性质求得中点，即得m=-.(3) 设，根据已知得到所以直线，即得直线经过的定点坐标.
【详解】
（1）结合椭圆几何特征，可得、、在椭圆上，所以b=1,,
解得方程为.
（2）设直线为，线段中点为，根据椭圆中点弦性质，，联立解得中点，
【点睛】
(1)本题主要考查椭圆方程的求法，直线方程的求法和直线的定点问题，考查直线和椭圆的位置关系，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 对满足一定条件曲线上两点连结所得直线过定点或满足一定条件的曲线过定点问题，证明直线过定点，一般有两种方法.①特殊探求，一般证明：即可以先考虑动直线或曲线的特殊情况，找出定点的位置，然后证明该定点在该直线或该曲线上（定点的坐标直线或曲线的方程后等式恒成立）.②分离参数法：一般可以根据需要选定参数
，结合已知条件求出直线或曲线的方程，分离参数得到等式，（一般地，为关于的二元一次关系式）由上述原理可得方程组，从而求得该定点.
48．已知双曲线。
（1）求与双曲线有共同的渐近线，且实轴长为20的双曲线的标准方程；
（2）为双曲线右支上一动点，点的坐标是（4，0），求的最小值。
【答案】（1）或（2）
【解析】
【分析】
（1）设，再分m＞0和m＜0讨论，求出双曲线的标准方程.(2) 设，求出，利用二次函数求出的最小值.
【详解】
【点睛】
(1)本题主要考查双曲线的标准方程的求法，考查函数的最值，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2)求双曲线的标准方程一般利用待定系数法，先定位，后定量，如果双曲线的位置关系不确定要分类讨论.
49．已知抛物线与直线交于、两点
（1）若直线的方程为，求弦的长度；
（2）为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且面积为，求直线的方程。
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】
(1) 联立方程求出、,即得弦长AB.(2) 设直线方程，先根据面积为得到，再利用韦达定理求出和m的值.
【详解】
（1）联立方程，求出、，∴
（2）设直线方程，根据题意，所以，
所以，
联立直线和抛物线的方程得，
∴，，
∴，
∴，
所以直线的方程为.
【点睛】
(1)本题主要考查直线和抛物线的位置关系，考查直线方程的求法，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2)解答本题的关键通过面积分析推理得到.
50．已知曲线
（1）若，求经过点且与曲线只有一个公共点的直线方程：
（2）若，请在直角坐标平面内找出纵坐标不同的两个点，此两点满足条件：无论如何变化，这两个点都不在曲线上；
（3）若曲线与线段有公共点，求的最小值。
【答案】（1）或（2）16
【解析】
【分析】
(1)由题得曲线为，设直线，联立得，再根据即得m的值和直线的方程.(2)由题得曲线为，当，，当，无论如何变化，曲线都不可能为
，所以两点可以是和，，.(3)
联立得，当，，
当，对分类讨论得到的最小值.
【详解】
（1）曲线为，设直线，联立得，
∴所求直线方程为或
（2）曲线为，当，，当，。，
∴无论如何变化，曲线都不可能为，∴两点可以是和，，
【点睛】
(1)本题主要考查直线方程的求法，考查直线和曲线的位置关系，考查函数的最值问题，意在考查学生对这些知识的掌握水平和数形结合分析推理能力.(2)第3问的解答关键是对分类讨论，利用数形结合分析得到的最小值.