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- 2021-06-07 发布
桂梧高中2017—2018年度第二学期第1次月考
高二理科数学试题
卷面满分：150分 考试时间：120分钟
一、 选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分。每小题只有一个正确答案）
1. 函数f(x)＝2x－sin x在(－∞，＋∞)上( )．
A．增函数 B．减函数 C．有最大值 D．有最小值
2. 把1,3,6,10,15,21，…这些数叫作三角形数，如图所示，则第七个三角形数是（ ）
A．27 B．28 C．29 D．30
3. 用反证法证明命题“三角形的内角中至多有一个钝角”时，反设正确的是( )
A．三个内角中至少有一个钝角
B．三个内角中至少有两个钝角
C．三个内角都不是钝角
D．三个内角都不是钝角或至少有两个钝角
4. 用数学归纳法证明1＋2＋…＋(2n＋1)＝(n＋1)(2n＋1)时，在验证n＝1成立时，左边所得的代数式是( )．
A．1 B．1＋3
C．1＋2＋3 D．1＋2＋3＋4
5. 三角形的面积为S＝(a＋b＋c)r，a、b、c为三角形的边长，r
为三角形内切圆的半径，利用类比推理可以得出四面体的体积为( ) ( )．
A．V＝abc
B．V＝Sh
C．V＝(S1＋S2＋S3＋S4)r，(S1、S2、S3、S4为四个面的面积，r为内切球的半径)
D．V＝(ab＋bc＋ac)h，(h为四面体的高)
6.设数列{an}为等差数列，且a2＝－6，a8＝6，Sn是数列{an}的前n项和，则( )．
A．S4＜S5 B．S4＝S5 C．S6＜S5 D．S6＝S5
7. 设f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N＋)，那么f(n＋1)－f(n)等于( )．
A. B.＋
C.＋ D.＋＋
8. 由曲线和围成图形的面积S表示为( )
A．∫exdx B．2ln2－∫exdx
C．∫(2＋ex)dx D．以上都不对
9. 某汽车作变速直线运动，在时刻t(单位：h)时的速度为v(t)＝t2＋2t(单位：km/h)，那么它在3≤t≤4这段时间内行驶的路程s(单位：km)可表示为( )
A． B．
C. D．
10. 抛物线在点处的切线与其平行直线的距离是（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
11. 曲线y＝与x轴围成的平面图形绕x轴旋转一周，所得球的体积是( )．
A.π B．10π
C.π D．11π
12. 函数y＝的最大值为 ( )
A．e－1 B．e C．e2 D.
一、 填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分。）
13. 函数y＝lg x在x＝1处的切线方程为_______________________
14. 某汽车启动阶段的路程函数s(t)＝2t3－5t2，则t＝2时，汽车的瞬时速度是________．
15. 函数f(x)＝ax3＋bx在x＝1处有极值－2，则a+b等于
16. 已知函数y＝xf′(x)的图像如图所示(其中f′(x)是函数f(x)的导函数)，给出以下说法：
①函数f(x)在区间(1，＋∞)上是增函数；
②函数f(x)在区间(－1,1)上无单调性；
③函数f(x)在x＝－处取得极大值；
④函数f(x)在x＝1处取得极小值．
其中正确的说法有________．
三、解答题 （本大题共6小题，17题10分，其余5题每题12分，共70分。解答应有文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 求曲线y＝x2－1(x≥0), 直线x＝0，x＝2及x轴围成的封闭图形的面积．
18.设函数y＝－x5＋x3－20x，当x∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)时的极大值为p，极小值为q，求p和q。
19. 用数学归纳法证明：对任何正整数n有 ＋＋＋＋…
＋＝
.
20.已知椭圆C的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为，且椭圆C上的一点P到椭圆C的两个焦点的距离之和为8．
⑴求椭圆C的方程；
⑵求以椭圆C内的点M（1,1）为中点的弦所在的直线方程．
21. 在边长为2的正方体ABCD—A1B1C1D1中，E是BC的中点，F是DD1的中点．
（1）求证：CF∥平面A1DE；
（2）求二面角E—A1D—A的余弦值．
22.已知函数f(x)＝(x－k)ex.
(1)求f(x)的单调区间；
(2)求f(x)在区间[0,1]上的最小值．
桂梧高中2017—2018年度第二学期第1次月考
高二理科数学答案
一、选择题
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
A
B
B
C
C
B
D
B
A
C
C
A
二、填空题
13． 14.4 15.-2 16.
17. 如图所示，所求面积：
S＝ʃ|x2－1|dx
＝－ʃ(x2－1)dx＋ʃ(x2－1)dx
＝－(x3－x)|10＋(x3－x)|21
＝1－＋－2－＋1＝2.
18. 解 y′＝－5x4＋25x2－20＝－5(x－1)(x＋1)(x－2)(x＋2)．
当x变化时，y′、y的变化情况如下表：
x
(－∞，－2)
－2
(－2，－1)
(1,2)
2
(2，＋∞)
y′
－
0
＋
＋
0
－
y
极小值
·
·
极大值－
由表可知p= ，q=—
19. 证明 ①当n＝1时，左边＝，右边＝＝
，故左边＝右边，等式成立．
②假设当n＝k(k≥1，k∈N＋)时等式成立，即
＋＋＋＋…＋＝.
那么当n＝k＋1时，利用归纳假设有：
＋＋＋＋…＋＋
＝＋
＝＋
＝
＝
＝
＝.
这就是说，当n＝k＋1时等式也成立．
由①和②知，等式对任何正整数都成立．
20. 解：⑴设椭圆C的方程为（a＞b＞0），则
b2＝a2－c2＝4 ∴椭圆C的方程为
⑵设以椭圆C内的点M（1,1）为中点的弦为AB，A（x1,y1）、B（x2,y2），则
2（x1－x2）＋4×2（y1－y2）＝0
∴直线AB的方程为y－1＝－（x－1） 即x＋4y－5＝0
21. （1）分别以DA,DC,DD1为x轴，y轴，z轴
建立空间直角坐标系，则A1（2, 0,2）,
E(1,2,0),D(0,0,0), C(0,2,0), F(0,0,1),
则
设平面A1DE的法向量是则，取
又, , 所以，CF∥平面A1DE
(也可取A1D中点M，连接MF、ME，证明FC∥ME即可)
（2）是面AA1D的法向量，
二面角的平面角大小的余弦值为．
22(1)f′(x)＝(x－k＋1)ex.
令f′(x)＝0，得x＝k－1，
f(x)与f′(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，k－1)
k－1
(k－1，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
f(x)
－ek－1
所以f(x)的单调递减区间是(－∞，k－1)；单调递增区间是(k－1，＋∞)．
(2)当k－1≤0，即k≤1时，函数f(x)在[0,1]上单调递增，
所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(0)＝－k；
当0