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- 2021-06-07 发布
【热身训练】
1．若e1，e2是平面内所有向量的一组基底，那么下列结论正确的是________．
(1) 若实数λ1，λ2使得λ1e1＋λ2e2＝，则λ1＝λ2＝0；
(2) 空间任意一个向量a都可以表示为a＝λ1e1＋λ2e2(λ1，λ2∈R)；
(3)对于这一平面内的任意向量，使a＝λ1e1＋λ2e2成立的实数对λ1，λ2有无数对．
2．在△ABC中，若点D，E，F依次是边AB上的四等分点，设＝e1，＝e2，用e1，e2表示，则＝________.
解析：在△ABC中，＝＋＝e1－e2，＝，所以＝＋＝e2＋(e1－e2)＝e1＋e2.
3．设点A，B， C是直线l上不同的三点，点O是直线l外一点，若＝λ＋μ，则λ＋μ的值为________．
解析：因为点A，B，C三点共线，所以＝x，又因为＝＋＝＋x＝＋x(－)＝(1－x)＋x，所以λ＋μ＝1.
4.在△ABC中，D，E分别是边BC上的两个三等分点，点P是线段DE上一点，且＝x＋y(x，y∈R)，则xy的取值范围为________．
解析：因为点P，B，C三点共线，所以x＋y＝1，且≤x≤，xy＝x(1－x)＝－＋，所以xy∈.
【热点追踪】
从这几年的江苏卷 看，平面向量的线性表示考查频繁，如2015年第6题，2017年第12题，主要考查
生对平面向量线性运算的掌握情况，多以中档题呈现．涉及到平面向量的线性表示、平面向量基本定理、向量共线等知识点，考查形式丰富多样，解决问题的方法也灵活多变，这就要求在二轮复习中抓住典型模型，聚焦高频考点进行专题复习.
（一）与系数相关的求值问题
例1. 如图，平面内的两个单位向量、，它们的夹角是60°，向量与向量、的夹角都为30°，且||＝2，若＝λ＋μ，求λ＋μ的值．
则A(1,0)，B，C(3，)，因为＝λ＋μ，所以(3，)＝λ(1,0)＋μ，从而，解得λ＋μ＝4.
变式1 如图，在△ABC中，AH⊥BC于H，M∈AH，AM＝AH，若＝x＋y，求x＋y的值．
解析：建立如图所示的平面直角坐标系，设A(0，a)，B(b,0)，H(0,0)，C(c,0)，M，则＝，＝(b，－a)，＝(c，－a)，故由＝x＋y可得－a＝－xa＋y(－a)，即x＋y＝.
变式2 在△ABC中，AB＝2，AC＝3，角A的平分线与AB边上的中线交于点O，若＝x＋y(x，y∈R)，求x＋y的值．
（二）与系数相关的最值问题
例2. 如图，在扇形OAB中，∠AOB＝60°，C为弧AB上的一个动点，若＝x＋y(x，y∈R)，求x＋4y的取值范围．
解析：建立如图所示的直角坐标系，设此扇形的半径为1，∠AOB＝60°，所以A，B(1,0)，
变式1 设点A，B，C为单位圆上不同的三点，若∠ABC＝，＝m＋n(m，n∈R)，则m＋n的最小值为________．
解析：因为∠ABC＝，所以∠AOC＝，不妨设A(1,0)，C(0,1)，B(cos θ，sin θ)，θ∈，则cos θ＝m，sin θ＝n⇒m＋n＝cos θ＋sin θ＝sin≥－，当且仅当θ＝时取等号．
变式2 如图，在正方形ABCD中，E为AB的中点，P为以A为圆心，AB为半径的圆弧上的任意一点，设向量＝ λ＋μ(λ，μ∈R)，求λ＋μ的最小值．
解析：以A为原点，以AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，
设正方形ABCD的边长为1，则E，C(1,1)，D(0,1)，A(0,0)，设P(cos θ，sin θ)，所以＝(1,1)，又＝λ＋μ.故λ(，－1)＋μ(cos θ，sin θ)＝(1,1)，
（三）向量共线定理的应用
例3. 如图，在△ABC中，点O是BC的中点，过O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若＝m，＝n，求m＋n的值．
解析：＝＋＝＋＝＋(－)＝＋，将＝m，＝n代入可得：＝＋，设＝λ(0<λ<1)，可得＝＋＝＋λ＝＋λ(－)＝(1－λ)＋λ，由平面向量基本定理可得，故＝1，所以m＋n的值为2.
变式1 如图，经过△ABO的重心G的直线与OA，OB交于点P，Q，设＝m，＝n，m，n∈R，则＋的值为________．
⇒＋＝1⇒＋＝3，故＋的值为3.
变式2 已知点O是△ABC的外心，AB＝AC＝2，若＝x＋y(xy≠0)，且x＋2y＝1，则△ABC的面积等于________．
【乘热打铁】
1．设D为△ABC所在平面内一点，＝3，＝m＋n，则n－m＝________.
解析：因为＝3，＝＋＝＋＝＋(＋)＝－＋，所以m＝－，n＝，故n－m＝.
2. 在△ABC中，AB＝2，BC＝3，∠ABC＝60°，AD为BC边上的高，O为AD的中点，若＝λ＋μ，则λ＋μ＝________.
解析：在Rt△ABD中，BD＝ABcos 60°＝1，所以＝，所以＝，因为＝＋＝＋，所以2＝＋，即＝＋，所以λ＝，μ＝，即λ＋μ＝.
3. 如图所示，己知点G是△ABC的重心，过G作直线与AB、AC两边分别交于M、N两点，且AM＝x，＝y ，则的值为________．
解析：设＝m＋n，因为M、G、N三点共线，
则m＋n＝1，因为点G是△ABC的重心，则有＝(＋)，
又＝mx＋ny，根据平面向量基本定理得mx＝ny＝，
即x＝，y＝，代入得＝.
4. 在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAB＝90°，AD＝AB＝4，CD＝1，动点P在边BC上，且满足＝m＋n(m，n>0)，求＋的最小值．[ : ]