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- 2021-06-07 发布
2017年广州市普通高中毕业班综合测试（二）
文科数学
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
2．若复数满足，则（ ）
A． B． C． D．
3．已知命题：，（），命题：，，则下列命题中为真命题的是（ ）
A． B． C． D．
4．执行如图所示的程序框图，则输出的值为（ ）
A．4 B．3 C． D．
5．函数的大致图象是（ ）
A． B． C． D．
6．在区间上随机地取一个实数，则方程有两个正根的概率为（ ）
A． B． C． D．
7．已知三条直线，，不能构成三角形，则实数的取值集合为（ ）
A． B． C． D．
8．已知两点，，点在曲线上运动，则的最小值为（ ）
A．2 B． C． D．
9．在棱长为2的正方体中，是棱的中点，过，，作正方体的截面，则这个截面的面积为（ ）
A． B． C． D．
10．数列满足，（），为数列的前项和，则（ ）
A．5100 B．2550 C．2500 D．2450
11．已知函数（）的图象在区间上恰有3个最高点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
12．如图，格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的体积为（ ）
A． B． C． D．16
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．已知双曲线（）的离心率为2，则的值为 ．
14．在各项都为正数的等比数列中，已知，，则数列的通项公式 ．
15．《孙子算经》是我国古代重要的数学著作，约成书于四、五世纪，传本的《孙子算经》共三卷，其中下卷“物不知数”中有如下问题：“今有物，不知其数.三三数之，剩二；五五数之，剩三；七七数之，剩二.问：物几何？”其意思为：“现有一堆物品，不知它的数目.3个3个数，剩2个；5个5个数，剩3个；7个7个数，剩2个.问这堆物品共有多少个？”试计算这堆物品至少有 个．
16．已知函数，若，则实数的取值范围为 ．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．的内角，，的对边分别为，，，已知.
（Ⅰ）求角的大小；
（Ⅱ）若边上的高等于，求的值.
18．某中学为了解高中入学新生的身高情况，从高一年级学生中按分层抽样共抽取了50名学生的身高数据，分组统计后得到了这50名学生身高的频数分布表：
（Ⅰ）在答题卡上作出这50名学生身高的频率分布直方图；
（Ⅱ）估计这50名学生身高的方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（Ⅲ）现从身高在这6名学生中随机抽取3名，求至少抽到1名女生的概率.
19．如图，是边长为的正方形，平面，平面，.
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求三棱锥的体积.
20．已知定点，定直线：，动圆过点，且与直线相切.
（Ⅰ）求动圆的圆心轨迹的方程；
（Ⅱ）过点的直线与曲线相交于，两点，分别过点，作曲线的切线，，两条切线相交于点，求外接圆面积的最小值.
21．已知函数.
（Ⅰ）求函数的单调区间；
（Ⅱ）若函数存在极小值点，且，求实数的取值范围.
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．
22．选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，已知直线的普通方程为，曲线的参数方程为
（为参数），设直线与曲线交于，两点.
（Ⅰ）求线段的长；
（Ⅱ）已知点在曲线上运动，当的面积最大时，求点的坐标及的最大面积.
23．选修4-5：不等式选讲
（Ⅰ）已知，证明：；
（Ⅱ）若对任意实数，不等式恒成立，求实数的取值范围.
2017年广州市普通高中毕业班综合测试（二）
文科数学试题答案及评分参考
一、选择题
1-5: CDBAA 6-10:CDDCB 11、12：CB
二、填空题
13． 14． 15．23 16．
三、解答题
17．解：（Ⅰ）因为，
由正弦定理得，
.
因为，
所以.
即.
因为，
所以.
因为，所以.
因为，所以.
（Ⅱ）设边上的高线为，则.
因为，则，.
所以，.
由余弦定理得.
所以的值为.
18．解：（Ⅰ）这50名学生身高的频率分布直方图如下图所示：
（Ⅱ）由题意可估计这50名学生的平均身高为
.
所以估计这50名学生身高的方差为
.
所以估计这50名学生身高的方差为80.
（Ⅲ）记身高在的4名男生为，，，，2名女生为，.
从这6名学生中随机抽取3名学生的情况有：，，，，,,,,,,,,
,,,,,,,共20个基本事件.
其中至少抽到1名女生的情况有：,,,,,
,,,,,,,,
,,共16个基本事件.
所以至少抽到1名女生的概率为.
19．解：（Ⅰ）证明：连接，
因为是正方形，所以.
因为平面，平面，
所以.
因为，所以平面.
因为平面，平面，所以.
所以，，，四点共面.
因为平面，所以.
（Ⅱ）设，连接，.
由（Ⅰ）知，平面，
所以平面.
因为平面将三棱锥分为两个三棱锥和，
所以.
因为正方形的边长为，，
所以，.
取的中点，连接，则.
所以等腰三角形的面积为.
所以
.
所以三棱锥的体积为.
20．解：（Ⅰ）设点到直线的距离为，依题意.
设，则有.
化简得.
所以点的轨迹的方程为.
（Ⅱ）设：，
代入中，得.
设，，
则，.
所以.
因为：，即，所以.
所以直线的斜率为，直线的斜率为.
因为，
所以，即为直角三角形.
所以的外接圆的圆心为线段的中点，线段是直径.
因为，
所以当时线段最短，最短长度为4，此时圆的面积最小，最小面积为.
21．解：（Ⅰ）因为函数，所以其定义域为.
所以.
当时，，函数在区间上单调递减.
当时，.
当时，，函数在区间上单调递减.
当时，，函数在区间上单调递增.
综上可知，当时，函数的单调递减区间为；当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为.
（Ⅱ）因为，
所以（）.
因为函数存在极小值点，所以在上存在两个零点，，且.
即方程的两个根为，，且，
所以，解得.
则.
当或时，，当时，，
所以函数的单调递减区间为与，单调递增区间为.
所以为函数的极小值点.
由，得.
由于等价于.
由，得，所以.
因为，所以有，即.
因为，所以.
解得.
所以实数的取值范围为.
22．解：（Ⅰ）曲线的普通方程为.
将直线代入中消去得，.
解得或.
所以点，，
所以.
（Ⅱ）在曲线上求一点，使的面积最大，则点到直线的距离最大.
设过点且与直线平行的直线方程.
将代入整理得，.
令，解得.
将代入方程，解得.
易知当点的坐标为时，的面积最大.
且点到直线的距离为.
的最大面积为.
23．解：（Ⅰ）证明：因为，
所以.
所以要证明，
即证明.
因为
，
所以.
因为，所以.
所以.
（Ⅱ）设，
则“对任意实数，不等式恒成立”等价于“”.
当时，
此时，
要使恒成立，必须，解得.
当时，不可能恒成立.
当时，
此时，
要使恒成立，必须，解得.
综上可知，实数的取范为.