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- 2021-06-07 发布
2017年广州市普通高中毕业班综合测试（二）
理科数学
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
2．若复数满足，则复数所对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
3．执行如图所示的程序框图，则输出的值为（ ）
A．4 B．3 C． D．
4．从1，2，3，4，5这5个数字中任取3个数字组成没有重复数字的三位数，则这个三位数是偶数的概率为（ ）
A． B． C． D．
5．函数的大致图象是（ ）
A． B． C． D．
6．已知，则（ ）
A． B． C． D．
7．已知点在抛物线（）上，该抛物线的焦点为，过点作该抛物线准线的垂线，垂足为，则的平分线所在的直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
8．在棱长为2的正方体中，是棱的中点，过，，作正方体的截面，则这个截面的面积为（ ）
A． B． C． D．
9．已知，点是直线与圆的公共点，则的最大值为（ ）
A．15 B．9 C．1 D．
10．已知函数（）的图象在区间上恰有3个最高点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
11．如图，格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的体积为（ ）
A． B． C． D．16
12．定义在上的奇函数为减函数，若，满足，则当时，的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．已知点，，，，若点在轴上，则实数 ．
14．《孙子算经》是我国古代重要的数学著作，约成书于四、五世纪，传本的《孙子算经》共三卷，其中下卷“物不知数”中有如下问题：“今有物，不知其数.三三数之，剩二；五五数之，剩三；七七数之，剩二.问：物几何？”其意思为：“现有一堆物品，不知它的数目.3个3个数，剩2个；5个5个数，剩3个；7个7个数，剩2个.问这堆物品共有多少个？”试计算这堆物品至少有 个．
15．设，则 ．
16．在平面四边形中，连接对角线，已知，，，，则对角线的最大值为 ．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．设等比数列的前项和，已知，（）.
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设，求数列的前项和.
18．如图，是边长为的菱形，，平面，平面，.
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值.
19．某商场拟对某商品进行促销，现有两种方案供选择，每种促销方案都需分两个月实施，且每种方案中第一个月与第二个月的销售相互独立.根据以往促销的统计数据，若实施方案1，预计第一个月的销量是促销前的1.2倍和1.5倍的概率分别是0.6和0.4，第二个月的销量是第一个月的1.4倍和1.6倍的概率都是0.5；若实施方案2，预计第一个月的销量是促销前的1.4倍和1.5倍的概率分别是0.7和0.3，第二个月的销量是第一个月的1.2倍和1.6倍的概率分别是0.6和0.4.令表示实施方案的第二个月的销量是促销前销量的倍数.
（Ⅰ）求，的分布列；
（Ⅱ）不管实施哪种方案，与第二个月的利润之间的关系如下表，试比较哪种方案第二个月的利润更大.
20．已知双曲线的焦点是椭圆：（）的顶点，且椭圆与双曲线的离心率互为倒数.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设动点，在椭圆上，且，记直线在轴上的截距为，求的最大值.
21．已知函数在点处的切线方程为.
（Ⅰ）求实数的值；
（Ⅱ）若存在，满足，求实数的取值范围.
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．
22．选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，已知直线的普通方程为，曲线的参数方程为（为参数），设直线与曲线交于，两点.
（Ⅰ）求线段的长；
（Ⅱ）已知点在曲线上运动，当的面积最大时，求点的坐标及的最大面积.
23．选修4-5：不等式选讲
（Ⅰ）已知，证明：；
（Ⅱ）若对任意实数，不等式恒成立，求实数的取值范围.
2017年广州市普通高中毕业班综合测试（二）
理科数学试题答案及评分参考
一、选择题
1-5:ABABA 6-10:CDCBC 11、12：BD
二、填空题
13． 14．23 15． 16．27
三、解答题
17．解：（Ⅰ）因为数列是等比数列，所以.
因为，所以，解得.
因为，
所以，即.
因为，所以.
因为等比数列的公比为，
所以数列的通项公式为.
（Ⅱ）因为等比数列的首项为，公比，
所以.
因为，所以.
所以
.
设.
则.
所以.
因为，
所以.
所以数列的前项和.
18．解：（Ⅰ）证明：连接，
因为是菱形，所以.
因为平面，平面，
所以.
因为，所以平面.
因为平面，平面，所以.
所以，，，四点共面.
因为平面，所以.
（Ⅱ）如图，以为坐标原点，分别以，的方向为轴，轴的正方向，建立空间直角坐标系.
可以求得，，，，
.
所以，.
设平面的法向量为，
则即
不妨取，则平面的一个法向量为.
因为，
所以.
所以直线与平面所成角的正弦值为.
19．解：（Ⅰ）依题意，的所有取值为1.68，1.92，2.1，2.4，
因为，，
，.
所以的分布列为
依题意，的所有取值为1.68，1.8，2.24，2.4，
因为，，
，.
所以的分布列为
（Ⅱ）令表示方案所带来的利润，则
所以，
.
因为，
所以实施方案1，第二个月的利润更大.
20．解：（Ⅰ）双曲线的焦点坐标为，离心率为.
因为双曲线的焦点是椭圆：（）的顶点，且椭圆与双曲线的离心率互为倒数，
所以，且，解得.
故椭圆的方程为.
（Ⅱ）因为，所以直线的斜率存在.
因为直线在轴上的截距为，所以可设直线的方程为.
代入椭圆方程得.
因为，
所以.
设，，
根据根与系数的关系得，.
则.
因为，即.
整理得.
令，则.
所以.
等号成立的条件是，此时，满足，符合题意.
故的最大值为.
21．解：（Ⅰ）函数的定义域为.
因为，所以.
所以函数在点处的切线方程为，即.
已知函数在点处的切线方程为，比较求得.
所以实数的值为.
（Ⅱ）由，即.
所以问题转化为在上有解.
令，
则.
令，
所以当时，有.
所以函数在区间上单调递减.
所以.
所以，即在区间上单调递减.
所以.
所以实数的取值范围为.
22．解：（Ⅰ）曲线的普通方程为.
将直线代入中消去得，.
解得或.
所以点，，
所以.
（Ⅱ）在曲线上求一点，使的面积最大，则点到直线的距离最大.
设过点且与直线平行的直线方程.
将代入整理得，.
令，解得.
将代入方程，解得.
易知当点的坐标为时，的面积最大.
且点到直线的距离为.
的最大面积为.
23．解：（Ⅰ）证明：因为，
所以.
所以要证明，
即证明.
因为
，
所以.
因为，所以.
所以.
（Ⅱ）设，
则“对任意实数，不等式恒成立”等价于“”.
当时，
此时，
要使恒成立，必须，解得.
当时，不可能恒成立.
当时，
此时，
要使恒成立，必须，解得.
综上可知，实数的取范为.