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- 2021-06-07 发布
第三章导数及其应用
3.3.2 函数的极值与导数
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2016四川文）已知a为函数的极小值点，则
A．–4 B．–2
C．4 D．2
【答案】D
2．设函数，则
A．x＝1为的极大值点 B．x＝1为的极小值点
C．为的极大值点 D．为的极小值点
【答案】D
【解析】本题考查函数的极值点．由题意得，令，得；令，得，所以在上单调递减，在上单调递增，所以为的极小值点．故选D．
3．设函数在上可导，其导函数为，且函数的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是
A．函数有极大值和极小值 B．函数有极大值和极小值
C．函数有极大值和极小值 D．函数有极大值和极小值
【答案】D
【解析】由函数的图象可知，，，并且当时，；当时，，则函数有极大值．又当时，；当时，，则函数有极小值．故选D．
4．函数在内有极小值，则
A． B．
C． D．
【答案】C
5．设函数，若是函数的极大值点，则实数的取值范围为
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】的定义域为，，由题意可知，即，．①若，由，得，当时，，此时单调递增；当时，，此时单调递减，所以是的极大值点．②若，则由，得或．是函数的极大值点，，解得．综合①②可得，实数的取值范围是．故选B．
6．已知，若在区间上只有一个极值点，则实数的取值范围为
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由题易得，设，则，
当时，在上恒成立，即函数在区间上为增函数，而，，则函数在区间上有且只有一个零点，使，且在上，，在上，故为函数在上唯一的极小值点；
当时，在区间上恒成立，则函数在上为增函数，又此时，所以在区间上为单调递增函数，所以在区间上无极值；
当时，，因为，所以总有成立，即成立，故函数在区间上为单调递增函数，所以函数在区间上无极值．
综上，，故选A．
二、填空题：请将答案填在题中横线上．
7．已知函数有极大值和极小值，则实数的取值范围是______________．
【答案】
8．已知函数，，则函数的极小值为______________．
【答案】
【解析】函数的定义域为，，令，得，所以的单调递增区间是；令，得，所以的单调递减区间是，故函数在处取得极小值，所以．
9．已知函数，其中，是的导函数，则函数的极大值为
______________．
【答案】
【解析】由题可得，则，易得函数在上单调递增；在上单调递减，所以函数的极大值为．
10．若函数在区间内有极大值，则实数的取值范围是______________．
【答案】
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
11．已知函数．
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）求函数的极值．
【答案】（1）；（2）见解析．
【解析】函数的定义域为，．
（1）当时，，，
则，，
故在点处的切线方程为，即．
（2）由可知：
①当时，，函数为上的增函数，函数无极值;
②当时，由，解得．
当时，；当时，．
故在处取得极小值，且极小值为，无极大值．
综上，当时，函数无极值；当时，函数在处取得极小值，无极大值．
12．已知函数（为实数），．
（1）讨论函数的单调区间；
（2）求函数的极值．
【答案】（1）在上单调递增，在上单调递减；（2）极大值为，无极小值．
（2）函数的定义域为，，
由可得；由，可得．
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
故函数在处取得极大值，为，无极小值．
13．（2016山东文）设．
（1）令，求的单调区间；
（2）已知在处取得极大值，求实数a的取值范围．
【答案】（1）见解析；（2）．
【解析】（1）由可得，
则，
当时，时，，函数单调递增；
当时，时，，函数单调递增，时，，函数单调递减．
所以当时，的单调递增区间为；
当时，的单调递增区间为，单调递减区间为．
（2）由（1）知，．
①当时，单调递增．
所以当时，，单调递减．
当时，，单调递增．
所以在x=1处取得极小值，不合题意．
②当时， ，由(1)知在内单调递增，
可得当时，，时，，
所以在(0，1)内单调递减，在内单调递增，
所以在处取得极小值，不合题意．
③当时，，在(0，1)内单调递增，在内单调递减，
所以当时，，单调递减，不合题意．
④当时，，当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以在处取得极大值，合题意．
综上可知，实数的取值范围为．