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- 2021-06-07 发布
莲塘一中，临川二中2018届高三第一次联考
理科数学试卷
命题：莲塘一中 杨波 审题：莲塘一中 高三理数考研组
一、选择题(60分)
1．已知集合， ，则（ ）
A. B. C. D.
2．设，则“是第一象限角”是“”的 （ ）
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
3．中国古代数学家赵爽设计的弦图是由四个全等的直角三角形拼成，四个全等的直角三角形也可拼成如图所示的菱形，已知弦图中，大正方形的面积为100，小正方形的面积为4，则图中菱形的一个锐角的正弦值为（ ）
A. B. C. D.
4．已知数列中， ，则数列的前
项和为 （ ）
A. B. C. D.
5．已知定义在上的函数满足，且当时，成立，若，，，则的大小关系是（ ）
A． B． C. D．
6．若，函数在处有极值，则的最大值是
A、9 B、6 C、3 D、2
7．已知，，点满足，则的最大值为（ ）
A．-5 B．-1 C. 0 D．1
8．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A. B. C. D.
9．函数在区间上的图象
大致为（ ）
A. B.
C. D.
10．在中，若分别为边上的三等分点，则（ ）
A. B. C. D.
11．设定义在上的函数满足任意都有，且时， ，则的大小关系是（ ）
A. B.
C. D.
12．不等式的解集为，若，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、填空题（20分）
13．设点在圆 上移动，点满足条件，则 的最大值是_____________.
14．已知，数列满足：
，则__________．
15．如图，正方体的棱长为， 为的中点， 为线段上的动点，过点， ， 的平面截该正方体所得的截面为，当时， 的面积为__________．
16．设表示自然对数的底数，函数，
当取最小值时，则实数的值为 .
三、解答题（70分）
17．（10分）已知：对，函数总有意义；函数在上是增函数；若命题“”为真，“”为假，求的取值范围．
18．（12分）已知中，角， ， 的对边分别为， ， ，已知向量， 且．
（1）求角的大小；
（2）若的面积为， ，求．
19．（12分）各项均为正数的数列的前项和为满足.
（1）求数列的通项公式；
（2）令，若数列的前项和为，求（）的最小值.
20．（12分）如图所示，在四棱锥中， 平面， ， 是的中点， ， ， ， .
（1）证明： 平面；
（2）若是上的点，且，求二面角的正弦值.
21．已知圆心在原点的圆被直线截得的弦长为
(1) 求圆的方程；
(2) 设动直线与圆交于两点，问在轴正半轴上是否存在定点，使得直线与直线关于轴对称？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由.
22. (本小题满分12分)已知函数.
（1）在区间上的极小值等于，求；
（2）令，设是函数的两个极值点，若，求的最小值.
参考答案
1-5．B C A D B 6-10. A D C C A 11-12. C B
13． 14．2018 15． 16．
17．【解析】
当为真时，，解得；
当为真时, 在上恒成立，即对恒成立
∴.
①真假：；②假真：.
综上， 或.
18．【解析】（1）∵， ， ，
∴，
∴，
即 ，又∵，∴，
又∵，∴．
（2）∵，∴，
又，即，∴，
故．
19．【解析】（1）
,故
（2），
∵是递增的，∴.
令， ，则，故在时是增函数，
所以是递增的，则有：，
所以， 的最小值是.
20． 【解析】
（1）证明：因为平面，所以.
因为， ，所以.
设，由余弦定理可得：
因为，故.
所以. 因 故平面
（2）以为原点，，
则 所以可得：
设平面的法向量为，则有：
设平面的法向量为，则有：
故：，设二面角的平面角为，
则
21．【解析】（1）圆心到直线的距离，由圆的性质可得，所以，圆的方程为；
（2） 设，
由得， ,
所以
若直线与直线关于轴对称，则，
即
所以当点为时，直线与直线关于轴对称；
22． 【解析】（1）因为,所以在区间上是单调递增函数.
因为，，由题意: 在区间上的极小值,故
所以. 设为在区间上的极小值点,
故,所以.
设， ，则，
所以，即在上单调递减，易得出,故．
代入可得,满足,故．
（2），因为，令，即，两根分别为，则
又因为
．
令，由于，所以． 又因为， ，
即即，
所以，解得或，即．
令，
，
所以在上单调递减，
．
所以的最小值为．