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- 2021-06-07 发布
衡水中学四川分校·遂中实验校高2020届第三期第二学段考试
数学科试题（文科）
出题人：何劲涛 审题人：任林涛 考试时间：120分钟 总分：150分
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1．直线经过点（0，2）和点（3，0），则它的斜率为（ ）
A． B． C． D．
2．若两直线l1, l2的倾斜角分别为与，则下列四个命题中正确的是（ ）
A. 若<，则两直线的斜率：k1 < k2 B. 若=，则两直线的斜率：k1= k2
C. 若两直线的斜率：k1 < k2 ，则< D. 若两直线的斜率：k1= k2 ，则=
3．与直线3x﹣4y+5=0关于y轴对称的直线方程是（ ）
A．3x+4y+5=0 B．3x+4y﹣5=0 C．3x﹣4y+5=0 D．3x﹣4y﹣5=0
4．已知平面，点,,直线，则直线与的位置关系是（ ）
A．平行 B．相交 C．异面 D．无法确定
5．平面上有不共线的三点到平面的距离相等，则与的位置关系为（ ）
A．平行 B．相交 C．平行或相交 D．垂直
6．直线被圆截得的弦长为（ ）.
A. B. C. D.
7．若实数，满足，则目标函数的最大值为
A．18 B．17 C．16 D．15
8．已知是两个不同的平面，下列四个条件中能推出的是（ ）
①存在一条直线；
②存在一个平面；
③存在两条平行直线；
④存在两条异面直线．
A．①③ B．②④ C．①④ D．②③
9．若圆与圆外切，则（ ）.
A. B. C. D.
10． 已知一几何体的三视图如图所示，俯视图是一个等腰直角三角形和半圆，则该几何体的体积为
A. B．
C. D．
11．如果圆x2+y2+2m(x+y)+2m2﹣8=0上总存在到点(0,0)的距离为的点，则实数m的取值范围是（ ）
A .[﹣1，1] B.（﹣3，3）
C. （﹣3，﹣1）∪（1，3） D.[﹣3，﹣1]∪[1，3]
12.如图,四边形ABCD中,AD∥BC,AD=AB,∠BCD=45∘,∠BAD=90∘,将△ABD沿BD折起,使平面ABD⊥平面BCD,构成四面体A−BCD,则在四面体ABCD中,下列结论正确的是( )
A. 平面ABD⊥平面ABC
B. 平面ADC⊥平面ABC
C. 平面ABC⊥平面BDC
D. 平面ADC⊥平面BDC
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．如果两个球的体积之比为，则这两个球的表面积之比为 ．
14．．一个水平放置的三角形的斜二侧直观图是等腰直角三角形A′B′O′，若O′B′=1，那么原△ABO的面积是 ．
15.过点作圆的两条切线，切点为则 ．
16．如图所示，在四面体VABC木块中，P为△VAC的重心，这点P作截面EFGH，若截面EFGH是平行四边形，则该截面把木块分成两部分体积之比为 ． （填体积小与体积大之比）
三、解答题（本大题共6小题，第17题10分，其余每题12分，共70分）
17.已知直线l过直线x﹣y﹣1=0与直线2x+y﹣5=0的交点P．
（1）若l与直线x+3y﹣1=0垂直，求l的方程；
（2）点A（﹣1，3）和点B（3，1）到直线l的距离相等，求直线l的方程．
18．如图,已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点,M、N分别是AB、PC的中点.
(1)求证:MN∥平面PAD;
(2)在PB上确定一个点Q,使平面MNQ∥平面PAD.
19.中，顶点，AC边所在直线方程为，AB边上的高所在直线方程为．
（1）求AB边所在直线的方程；
（2）求AC边的中线所在直线的方程．
20.如图，在四棱锥中，底面，为的中点，底面为直角梯形，，，且．
（1）求证：平面；
（2）若与平面所成角的正弦值为，
求四棱锥的体积．
21.已知过点A（0，1）且斜率为k的直线l与圆C：交于点M、N两点．
（1）求k的取值范围；
（2）若，其中O为坐标原点，求|MN|．
22．如图，在四棱锥中，侧面底面，侧棱，底面为直角梯形，其中，，，为中点．
（1）求证：平面；
（2）求点到平面的距离
衡水中学四川分校·遂中实验校高2020届第三期第二学段考试
数学科试题（文科）参考答案
一、选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
C
D
B
D
C
A
C
C
B
A
D
B
二、填空题
13.4:9; 14.; 15.; 16. .
三、解答题
17.解：（1）由，解得P（2，1），
由于l与x+3y﹣1=0垂直，
则l的斜率为3，代入直线的点斜式方程得：y﹣1=3（x﹣2），
即3x﹣y﹣5=0；
（2）由（1）知直线l过P（2，1），
若直线l的斜率不存在，即x=2，此时，A，B的直线l的距离不相等，
故直线l的斜率一定存在，
设直线l的方程为：y=k（x﹣2）+1，即kx﹣y﹣2k+1=0，
由题意得=，解得：k=﹣1或k=﹣，
故所求直线方程是：x+2y﹣4=0或x+y﹣3=0．
18.(1)如图,取PD的中点H,
连接AH、NH.由N是PC的中点,H是PD的中点,知NH∥DC,NH=DC.
由M是AB的中点,知AM∥DC,AM=DC.
∴NH∥AM,NH=AM,所以AMNH为平行四边形.
∴MN∥AH.
由MN⊄平面PAD,AH⊂平面PAD,
知MN∥平面PAD.
(2)若平面MNQ∥平面PAD,则应有MQ∥PA,
∵M是AB中点,∴Q是PB的中点.
即当Q为PB的中点时,平面MNQ∥平面PAD.
19.【解析】据题意，AB边上的高所在直线方程为 所以
AB边所在直线的方程为，即
联立，则AC的中点，
则AC边的中线所在直线的方程为．
20.【解析】证明：（1）设中点分别是，连接，，。。。。。。。。。。。。。。。。1分
则， 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。2分
，∴四边形为平行四边形， 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。3分
， 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。4分
平面，平面，∴平面．。。。。。。。。。。。。。。。。。5分
（2）平面，
，是与平面所成角， 。。。。。6分
。。。。。。。。。。。。。。。。。7分
，
又在中，， 。。。。。。。。8分
∴直角三角形中，，，．。。。。。。9分
又， 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。10分
． 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。12分
21.（本题12分）
（1）由题意可得，直线l的斜率存在，
设过点A（0，1）的直线方程：y=kx+1，即：kx﹣y+1=0．
由已知可得圆C的圆心C的坐标（2，3），半径R=1．
故由＜1，
故当＜k＜，过点A（0，1）的直线与圆C：（x﹣2）2+（y﹣3）2=1相交于M，N两点．
（2）设M（x1，y1）；N（x2，y2），
由题意可得，经过点M、N、A的直线方程为y=kx+1，代入圆C的方程（x﹣2）2+（y﹣3）2=1，
可得 （1+k2）x2﹣4（k+1）x+7=0，
∴x1+x2=，x1•x2=，
∴y1•y2=（kx1+1）（kx2+1）=k2x1x2+k（x1+x2）+1
=•k2+k•+1=，
由•=x1•x2+y1•y2==12，解得 k=1，
故直线l的方程为 y=x+1，即 x﹣y+1=0．
圆心C在直线l上，MN长即为圆的直径．
所以|MN|=2．
22.解:（1）在中，为中点，所以．
又侧面底面，平面平面，平面，
所以平面． （6分）
（2）由（2）得，在中，，
所以，．又
设点到平面的距离，由
得，即，解得． （12分）