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- 2021-06-05 发布
吉林省蛟河市第一中学校2018－2019学年第二学期期中考试
高二数学（理）
（考试时间：100分钟。试卷满分：120分。）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的学校、班级、姓名和准考证号填写在答题卡上。
2．将答案填在相应的答题卡内，在试题卷上作答无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题4分，共48分。每题只有一个选项是最符合题意的。
1．无理数是实数，是无理数，所以是实数．以上三段论推理
A．正确
B．推理形式不正确
C．两个“无理数”概念不一致
D．两个“实数”概念不一致
2．i是虚数单位，则的虚部是
A．i B．－i
C． D．－
3．函数f (x)＝cosx在点（0，f (0)）处的切线方程为
A．x－y＋1＝0
B．x－y－1＝0
C．y－1＝0
D．x＋1＝0
4．分析法又叫执果索因法，若使用分析法证明：“已知a＞b＞0，求证：－＜．”最终的索因应是
A．＜1 B．＞1
C．1＜ D．a－b＞0
5．10个人排队，其中甲、乙、丙、丁4人两两不相邻的排法
A．种 B．－种
C．种 D．种
6．下列命题正确的是
A．复数a＋bi不是纯虚数
B．若x＝1，则复数z＝(x2－1)＋(x＋1)i为纯虚数
C．若(x2－4)＋(x2＋3x＋2)i是纯虚数，则实数x＝±2
D．若复数z＝a＋bi，则当且仅当b≠0时，z为虚数
7．若函数f (x)＝x2＋x，则＝
A． B．
C． D．
8．今有2个红球、2个黄球、3个白球，同色球不加以区分，将这7个球排成一列的不同方法有
A．210种 B．162种
C．720种 D．840种
9．已知i为虚数单位，a为实数，复数z＝(a－2i)(1＋i)在复平面内对应的点为M，则“点M在第四象限”是“a＝1”的
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
10．观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a12＋b12＝
A．521 B．322
C．123 D．199
11．从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中相互平行或相互垂直的有
A．24对 B．16对
C．18对 D．48对
12．设函数f (x)在R上可导，其导函数为f ′(x)，且函数f (x)在x＝－2处取得极大值，则函数
y＝x2017f ′(x)的图象可能是
－2 O x
y
－2 O x
y
－2 O x
y
－2 O x
y
A B C D
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。
13．i为虚数单位，设复数z1，z2在复平面内对应的点关于原点对称，若z1＝－20＋18i，则
z2＝ ．
14．(1＋x)4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为 ．
15．现有一个关于平面图形的命题：如图，同一平面内有两个边长都是2的正方形，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为 ．
16．已知函数f (x)＝x(8－2x)(5－2x)在区间［0，3］上的最大值是 ．
三、解答题：本大题共5小题，共56分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10分）
已知复数x2＋x＋(x2－3x＋2)i（x∈R）是复数6－20i的共轭复数，求实数x的值．
18．（10分）
做一个容积为256 dm3的方底无盖水箱，求它的高为何值时最省料．
19．（12分）
从1到7的7个数字中取两个偶数和三个奇数组成没有重复数字的五位数．
试问：（1）能组成多少个不同的五位偶数？
（2）五位数中，两个偶数排在一起的有几个？
（3）两个偶数不相邻且三个奇数也不相邻的五位数有几个？
（所有结果均用数值表示）
20．（12分）
设函数g(x)＝ex－1－ax，若当x≥0时，x(ex－1－ax)≥0，求a的取值范围．
21．（12分）
试比较3－与（n为正整数）的大小，并予以证明．
高二数学（理）期中卷答案
一、选择题：本大题共12小题，共48分。
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
A
D
C
C
C
B
C
A
B
B
C
D
二、填空题：本大题共4小题，共16分。
13．20－18i 14．8 15．1 16．18
三、解答题：本大题共5小题，共56分。
17．（10分）
解：因为复数6－20i的共轭复数为6＋20i，
由题意得：x2＋x＋(x2－3x＋2)i＝6＋20i， ……3分
根据复数相等的充要条件，得：
方程①的解为：x＝－3或x＝2．
方程②的解为：x＝－3或x＝6．
所以实数x的值为－3． ……10分
18．（10分）
解：设底面边长为x dm，则高h＝，
其表面积为S＝x2＋4××x＝x2＋， ……5分
S′＝2x－，令S′＝0，得：x＝8，
则高h＝＝4（dm）．
答：它的高为4 dm时最省料． ……10分
19．（12分）
解：（1）偶数在末尾，五位偶数共有＝576个． ……4分
（2）上述五位数中，偶数排在一起的有＝576个． ……8分
（3）两个偶数不相邻且三个奇数也不相邻的五位数有＝144． ……12分
20．（12分）
解：由已知可得g′(x)＝ex－a．
若a≤1，则当x∈（0，＋∞）时，g′(x)＞0，g(x)为增函数，
而g(0)＝0，从而当x≥0时，g(x)≥0，
即x(ex－1－ax)≥0． ……6分
若a＞1，则当x∈（0，lna）时，g′(x)＜0，g(x)为减函数，
而g(0)＝0，从而当x∈（0，lna）时，g(x)＜0，
即x(ex－1－ax)＜0．
综上，得a的取值范围为(－∞，1]． ……12分
21．（12分）
证明：3－－＝， ……2分
于是确定3－与的大小关系等价于比较2n与2n＋1的大小．
由2＜2×1＋1，22＜2×2＋1，23＞2×3＋1，24＞2×4＋1，25＞2×5＋1，…
可猜想当n≥3时，2n＞2n＋1， ……6分
证明如下：
ⅰ当n＝3时，由上可知显然成立．
ⅱ假设当n＝k时，2k＞2k＋1成立．
那么，当n＝k＋1时，
2k＋1＝2×2k＞2(2k＋1)＝4k＋2＝2(k＋1)＋1＋(2k－1)＞2(k＋1)＋1，
所以当n＝k＋1时猜想也成立，
综合ⅰ和ⅱ，对一切n≥3的正整数，都有2n＞2n＋1．
所以当n＝1，2时，3－＜；
当n≥3时，3－＞（n为正整数）． ……12分