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- 2021-06-05 发布
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中学生标准学术能力测试诊断性测试 2019 年 7 月测试
文科数学答案
一． 选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的．
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
C D B A B C A D C A B C
二． 填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
13. 2(0 ,e ]
14. 8
15. 23nnSa=−
16. 3
三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10 分）
解：（1）由题意得，(32)cos2cosacBbC−=，
由正弦定理得，3sincos2sincos2sincosABCBBC−=， ……………………………2 分
3 sincos2sin()ABBC=+ ， 3 sincos2sinABA=， ……………………………4 分
(0,π)A ， sin0A， 2cos 3B=. ……………………………5 分
（2） 5sin 3B = . ……………………………6 分
又 1 sin 2 52ABCS ac B ==， 6a= ， ……………………………8 分
由余弦定理， 222 2cosbacacB=+− ，
2 2364262=24 3b=+− ， ……………………………9 分
26b= . ……………………………10 分
18．（12 分）
解：（1）由 2 3 3nnSa=−， 11233nnSa++=−， ……………………………1 分
两式相减得： 112 3 3n n na a a++=−，即 1 3nnaa+ = ，
所以数列{}na 是公比为3 的等比数列， ……………………………4 分
由 112 3 3aa=−，得 1 3a = ， ……………………………5 分
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所以 3n
na = . ……………………………6 分
（2）由 3l o gnnnb a a= ，可得 3n
nbn= ， ……………………………7 分
所以 1 2 31 3 2 3 3 3 3n
nTn= + + + + ，①
则 23413132333(1)33 nn
nTnn +=++++−+ ，② ……………………………9 分
①-②得，
23412333333 nn
nTn+−=+++++− ， ……………………………10 分
所以
1
13(1 3 ) (1 2 )3 3231 3 2 2
nn
n
n
nTn
+
+−−− = − = −−
，
所以
1(21)33
4
n
n
nT
+−+= . …………………………12 分
19．（12 分）
解：（1）设这种有机芹菜日需求量的平均数为 x ，
则 25 0.002 50 75 0.004 50 125 0.006 50 175 0.005 50 225 0.003 50x = + + + +
132.5= （公斤）.
故这种有机芹菜日需求量的平均数为132.5 公斤. …………………………4 分
（2）由当天的需求量为 x 公斤时，其利润为 y 元，
当日需求量不低于 130 公斤时，利润 (2012)1301040y =−= 元,
当日需求量低于 130 公斤时，利润 (20 12) 2(130 ) 10 260y x x x= − − − = − 元，…………5 分
10 260,0 130
1040,130 250
xxy x
− =
， …………………………6 分
由 340y ，当130250x ，1040340 显然成立，
当 0130x 时，10 260 340x −,得 60x ，即60 130x ，
所以60250x ， ……………………………9 分
所以 ( 340) (60 250) 1 (0 60) 1 (0.002 50 0.004 10) 0.86P yP xP x = = − = − + = ，
故估计其利润 不小于340 元的概率为0.86 . …………………………12 分
20．（12 分）
（1）证明：根据题意， 1CC ⊥底面 ABC ， AC 底面 ， BC 底面 ，
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所以 1C C A C⊥ ， 1C C B C⊥ ， …………………………1 分
又 1A C B C⊥ ， 11B C C C C = ， 1CC 平面 11B C C B ， 1BC 平面 ，
AC⊥平面 ， …………………………3 分
又 BC 平面 ， AC BC⊥ . ……………………………4 分
即 BC AC⊥ ， 1B C C C⊥ ， 1A C C C C = ， AC 平面 11A AC C ， 平面 ，
BC⊥平面 . ……………………………6 分
（2）可知：
111111CA B CBA C CVV−−= ， ……………………………7 分
11A A C C// ，
11 1
1 12A C CSACCC== ， ……………………………8 分
由（1）知， BC ⊥ 平面 ，又 11B B C C// ， 1CC 平面 ， 1BB 平面 ，
1BB // 平面 ， …………………………9 分
则 1B 到平面 的距离等于 B 到平面 的距离，即为 BC ， …………………10 分
由 1BC = ，
11 111 11 1
11
33CA B CBA C CA C CVVBCS−− === . …………………………12 分
21．（12 分）
解：（1）因为椭圆 E 的焦距为 2 ，则 ， ，
所以 ， ，…………………………2分
则 3b = ，所以椭圆 的方程为：
22
143
xy+=. …………………………4分
（2）设点 N 的坐标为 ( ,0)Nm ，直线 l 斜率存在时，设 的方程为： ()ykxm=−，( 0)k ，
联立
22
143
()
xy
ykxm
+=
=−
，得 2 2 2 2 2(3 4 ) 8 4 12 0k x mk x k m+ − + − = ， …………………………5分
设 1 1 2 2( , ) ( , )P x y Q x y、 ，
则
2
12 2
8
34
mkxx k+=+
，
22
12 2
4 12
34
kmxx k
−= +
， …………………………6分
且 11()y k x m=−， 22()y k x m=−， 121 4 0kk+=， ( 2,0)A − ，
1 (1,0)F − 2 ( 1 ,0 )F
2222 332(11)(0)(1 1)(0)422a =++−+−+−= 2a =
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所以
22
121212
12
121212
[()] 1
222()44
yykx xm xxmkk xxx xxx
−++=== −+++++
， …………………………8分
即
22
22
(312)1
(41616)4
km
kmm
− =−++
，又 0k ，所以
2
2
3121
416164
m
mm
− =−++
，
化简得， 2 20mm+ − = ，
解得： 1m = ，或 2m =− （舍）. ……………………………10分
当 时， 2144(1)0k=+ ， ……………………………11分
当 ，且直线l 与 x 轴垂直时， 3(1, )2P ， 3(1, )2Q − ，
12
111()224kk =−=− ，即 121 4 0 kk+=也成立．
所以点 N 的坐标为 (1,0)N . ………………………………12 分
22. （12 分）
解：（1）当 1a = 时， 2()(1)e41 xfxxxx=+−−+ ，
所以 ()(2)(e2) xfxx =+− ， ………………………………1 分
当 (,2)x−− 时， ()0fx ，函数 ()fx单调递增；
当 (2,ln 2)x− 时， ( ) 0fx ；函数 单调递减；
当 (ln 2,)x+ 时， ( ) 0fx ；函数 单调递增；
综上， 在区间 (,2)−− ， (ln2,)+ 上单调递增；在区间 (2,ln2)− 上单调递减．…4 分
（2）方法一：
由 ( )(2)e2(2)(2)( e2)xxfxa xxxa =+−+=+− ，
当 0a 时，由于 1x − ，故 ( )(2)( e2)0 xfxxa =+− ， ………………………………5 分
则 ()fx在[ 1, )− + 上单调递减，且 (1)2e40fa=− ，不能满足 ()0fx 恒成立，
不符合题意； ………………………………6 分
当 0a 时，由 ( ) 0fx = ，可得 2lnx a= ，
①若 2ln 1a − 时，即 2ea 时， 在[ 1, )− + 上单调递增，
min ( ) ( 1) 4 0f x f= − = 恒成立， ………………………………7 分
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②若 2l n 1a − 时，即 2ea 时， ()fx在 2[ 1,l n ] a− 上单调递减，在 2[ l n , )a + 单调递增，
2ln 22
min
2222222( )(ln)(ln1)e(ln)4ln12(ln1)(ln)4ln1afxfa aaaaaaa==+−−+=+−−+
222(ln)2ln3aa=−−+ ， ………………………………9 分
只需 222(ln)2ln30aa−−+ ，解得： 23 l n 1 a− ，即 32 2ee a .
则 2 2ee a . ……………………………11 分
综上可得： 2
ea . ………………………………12 分
方法二：
当 1x − 时， ( ) 0fx 恒成立，即 2(1)e41 xaxxx++− 恒成立.
①当 1x =− 时，对于任意 a R ， 04− 恒成立，即 恒成立. ………………5 分
②当 1x − 时， 恒成立，
即
2 41
(1)e x
xxa x
+− +
恒成立， ………………………………6 分
令
2 41() (1)e x
xxgx x
+−= +
，
则
22
2 22
(24)(1)e(41)(2)e(2)(23)() (1) e(1) e
xx
xx
xxxxxxxxgx xx
++−+−++−−+ ==++
2
(2)(3)(1)
(1)e x
xxx
x
−++−= +
， ………………………………8 分
所以，当 11x− 时， ()0gx ， ()gx单调递增；
当 1x 时， ( ) 0gx ， 单调递减； ………………………………10 分
故当 1x − 时， max
2( )(1) egxg ==， ………………………………11 分
所以， 2
ea ，
综上可得： ． ………………………………12 分