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- 2021-06-05 发布
北京市朝阳区2017-2018学年度第一学期高三年级期中统一考试
数学试卷（文史类） 2017.11
（考试时间120分钟 满分150分）
本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1. 已知集合，，则
A. B. C. D.
开始
i=1，S=2
结束
i=i+1
S>14?
输出i
是
否
S=S+2i
2. 执行如右图所示程序框图，则输出的值为 .
A．3 B．4
C．5 D．6
3. 已知表示两条不同的直线，表示平面，下列说法正确的是
A．若，，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，则
4. 要想得到函数的图象，只需将函数的图象上所有的点
A. 先向右平移个单位长度，再将横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变
B. 先向右平移个单位长度，横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变
C. 横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，再向右平移个单位长度
D. 横坐标变伸长原来的倍，纵坐标不变，再向右平移个单位长度
5. 已知非零平面向量，则“”是“存在非零实数，使”的
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
2
1
1
正视图
侧视图
俯视图
1
1
6.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为
A．5
B．6
C．7
D．8
7. 函数在其定义域内满足，（其中为函数的导函数），
，则函数
A．有极大值，无极小值 B．有极小值，无极大值
C．既有极大值又有极小值 D．既无极大值又无极小值
8. 袋子里有编号为的五个球，某位教师从袋中任取两个不同的球. 教师把所取两球编号的和只告诉甲，其乘积只告诉乙，让甲、乙分别推断这两个球的编号.
甲说：“我无法确定.”
乙说：“我也无法确定.”
甲听完乙的回答以后，甲又说：“我可以确定了.”
根据以上信息, 你可以推断出抽取的两球中
A．一定有3号球 B.一定没有3号球 C.可能有5号球 D.可能有6号球
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上.
9.已知数列为等比数列，，，则的前5项和___________.
10.在平面直角坐标系中，已知点，将线段绕原点按逆时针方向旋转，得到线段，则向量的坐标为___________.
俯视图
正视图
4
侧视图
2
3
11. 已知函数若方程有个不相等的实数根，则实数的取值范围是 ．
12. 某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的
体积为 ；表面积为 ．
13. 某品牌连锁便利店有个分店，A,B,C三种商品在各分店均有销售，这三种商品的单价和重量如表1所示：
商品A
商品B
商品C
单价（元）
15
20
30
每件重量（千克）
0.2
0.3
0.4
表1
某日总店向各分店分配的商品A,B,C的数量如表2所示：
商品 分店
分店1
分店2
……
分店
A
12
20
m1
B
15
20
m2
C
20
15
m3
表2
表3表示该日分配到各分店去的商品A,B,C的总价和总重量：
分店1
分店2
……
分店
总价（元）
总重量（千克）
表3
则 ； .
14. 已知函数同时满足以下条件：
①定义域为；
②值域为；
③.
试写出一个函数解析式 .
三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
15.（本小题满分13分）
已知函数.
（Ⅰ）求函数的最小正周期；
（Ⅱ）当时，求函数的取值范围.
16. （本小题满分13分）
已知数列的前项和为，满足.
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设数列的前项积为，求.
17. （本小题满分13分）
已知中，，.
（Ⅰ）若，求；
（Ⅱ）若的面积为，求的值.
18．（本小题满分14分）
如图，在四棱锥中，底面是菱形，平面，是棱上的一个动点．
（Ⅰ）若为的中点，求证：平面；
（Ⅱ）求证：平面平面；
（Ⅲ）若三棱锥的体积是四棱锥体积的，求的值．
P
A
A
D
B
E
C
19. （本小题满分13分）
已知函数，．
（Ⅰ）求函数的单调区间；
（Ⅱ）当时，若函数在区间内单调递减，求的取值范围.
20. （本小题满分14分）
已知函数 .
（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）求证：；
（Ⅲ）判断曲线是否位于轴下方，并说明理由.
北京市朝阳区2017-2018学年度第一学期高三年级期中统一考试
数学试题答案（文史类） 2017.11
一、选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
A
C
D
C
A
A
B
D
二、填空题
题号
9
10
11
12
13
14
答案
；
；
或
或
等
三、解答题
15. （本小题满分13分）
解：因为，
所以
（Ⅰ）函数的最小正周期为. ……………………………… 8分
（Ⅱ）因为，所以.
所以.
所以. ……………………………… 13分
16. （本小题满分13分）
解：（Ⅰ） 由可得，
当时，.
当时,，即
则数列为首项为1，公比为2的等比数列,
即，. ………………………………8分
（Ⅱ） ………………………………13分
17. （本小题满分13分）
（Ⅰ）解：由正弦定理，可得.所以.
在三角形中，由已知，所以. ………………………………6分
（Ⅱ）由面积公式可得，解得.
由余弦定理知，所以
………………………………13分
P
A
A
D
B
C
O
E
18. （本小题满分14分）
解：（Ⅰ）证明：如图，设交于,连接．
因为底面是菱形，
所以是的中点．
又因为为的中点，
所以．
因为平面, 平面，
所以平面． ……………………4分
（Ⅱ）证明：因为底面是菱形，
所以．
又因为平面，平面，
所以．
因为，
所以平面．
因为平面，
所以平面平面． ………………………………10分
P
A
A
D
B
E
C
（Ⅲ）设四棱锥的体积为．
因为平面，所以．
又因为底面是菱形，
所以，
所以．
根据题意，，
所以．
又因为，
所以． ………………………………14分
19. （本小题满分13分）
解：（Ⅰ）函数的定义域为.
（1）当时，令，解得，此时函数为单调递增函数；
令，解得，此时函数为单调递减函数.
（2）当时，
①当，即 时，
令，解得或，此时函数为单调递增函数；
令，解得，此时函数为单调递减函数.
②当 时，恒成立，函数在上为单调递增函数；
③当，即 时，
令，解得或，此时函数为单调递增函数；
令，解得，此时函数为单调递减函数. ……………9分
综上所述，
当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为；
当时，函数的单调递增区间为，，单调递减区间为；
当时，函数的单调递增区间为；
当时，函数的单调递增区间为，,单调递减区间为.
（Ⅱ），
因为函数在内单调递减，所以不等式在在上成立.
设，则即解得. …………13分
20. （本小题满分14分）
解：函数的定义域为，
.
（Ⅰ），又，
曲线在处的切线方程为
，
即. ┈┈ 4分
（Ⅱ）“要证明”等价于“”
设函数.
令，解得.
因此，函数的最小值为.故.
即. ┈┈ 9分
（Ⅲ）曲线位于轴下方. 理由如下：
由（Ⅱ）可知，所以.
设，则.
令得；令得.
所以在上为增函数，上为减函数.
所以当时，恒成立,当且仅当时，.
又因为， 所以恒成立.
故曲线位于轴下方. ………………………14分