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- 2021-06-05 发布
2018 年高考数学讲练测【新课标版】【练】第九章 解析几何
第二节 两条直线的位置关系
A 基础巩固训练
1. 【2018 届重庆市第一中学高三上学期期中】过点 ，且在 轴上的截距为 3 的直线方程
是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
2. “ ”是 “直线 与直线 互相平行”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】由已知得，两条直线平行的充要条件是 ，解得 ，故“ ”
是 “直线 与直线 互相平行”的充要条件，选 C．
3.【2017 届湖北省浠水县实验高级中学高三 12 月测试】若三条直线
相交于同一点，则点 到原点的距离的最小值为（）
A. B. C. D.
【答案】A
2 , 3, 5 0y x x y mx ny= + = + + = ( ),m n
5 6 2 3 2 5
7a = − (3 ) 4 5 3a x y a+ + = − 2 (5 ) 8x a y+ + =
3 2
4 5
5 3 8
4 5
a
a
a
a
+− = − + − ≠ +
7a = − 7a = −
(3 ) 4 5 3a x y a+ + = − 2 (5 ) 8x a y+ + =
4.【2017 届江西省赣中南五校高三下学期期中】直线与两条直线 ， 分别交于
、 两点，线段 的中点坐标为 ，那么直线的斜率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】设 ， ， ，解得： ，所以 ，所
以直线的斜率 ，故选 C.
5.设 分别是 中 所对边的边长，则直线 与
的位置关系是( )
A.平行 B.重合 C.垂直 D.相交但不垂直
【答案】C
【解析】要寻求直线 与 的位置关系，只要先求两直
线的斜率，然后由斜率的关系判断直线的位置即可．由题意可得直线 的斜
率 ， 的斜率的斜率 ,
则直线 与
垂直
, ,a b c ABC∆
1
sin Ak a
= 2 sin
bk B
= −
1 2
2 12
bsinA RsinBsinAk k asinB RsinAsinB
= − = − = −
故选 C．
B 能力提升训练
1.【2017 届陕西省咸阳市高三二模】已知命题 ：“ ”，命题 ：“直线 与
直线 互相垂直”，则命题 是命题 的
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要
【答案】A
【解析】命题 中，直线 的斜率是 所以 命题 是命题
成立的充分不必要条件.选 A.
2.【2017届浙江省杭州市高三4月检测】设 ， 分别是两条直线 ， 的斜率，则“ ”
是“ ”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】因为 是两条不同的直线，所以若 ，则 ，反之，若 ，则
.故选择 C.
3.如图所示，已知 A(4,0)，B(0,4)，从点 P(2,0)射出的光线经直线 AB 反射后再射到直线 OB
上，最后经直线 OB 反射后又回到 P 点，则光线所经过的路程是( )
A．2 B．6 C．3 D．2
p 1m = − q 0x y− =
2 0x m y+ = p q
q 2 0x m y+ = 1,− 2
1 1, 1.mm
− = − = ± p q
1k 2k 1l 2l 1 2/ /l l
1 2k k=
1 2,l l 1 2/ /l l 1 2k k= 1 2k k=
1 2/ /l l
10 3 5
【答案】A
【解析】由题意知点 P 关于直线 AB 的对称点为 D(4,2)，关于 y 轴的对称点为 C(－2,0)，则
光线所经过的路程为|CD|＝2 ．故选 A．
4.下列说法的正确的是 （ ）
A．经过定点 的直线都可以用方程 表示
B．经过定点 的直线都可以用方程 表示
C．经过任意两个不同的点 ， 的直线都可以用方程
表示
D．不经过原点的直线都可以用方程 表示
【答案】C
5.平面直角坐标系中，直线 y＝2x＋1 关于点(1,1)对称的直线方程是( )
A．y＝2x－1 B．y＝－2x＋1
C．y＝－2x＋3 D．y＝2x－3
【答案】D
【解析】在直线 y＝2x＋1 上任取两个点 A(0,1)，B(1,3)，则点 A 关于点(1,1)对称的点为
10
),( 00 yx )( 00 xxkyy −=−
)0A b，（ bkxy +=
),( 111 yxP ),( 222 yxP
( )( ) ( )( )y y x x x x y y− − = − −1 2 1 1 2 1
1=+
b
y
a
x
M(2,1)，点 B 关于点(1,1)对称的点为 N(1，－1)．由两点式求出对称直线 MN 的方程为 y＝2x
－3，故选 D 项．
C 思维扩展训练
1.已知点 P 在 y＝x2 上，且点 P 到直线 y＝x 的距离为 ，这样的点 P 的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】∵点 P 在 y＝x2 上，∴设 P(t，t2)，则 ＝ ，|t2－t|＝1，
解之得 t1＝ ，t2＝ ，∴P 点有两个，故选 B．
2.已知光线通过点 ，被直线 ： 反射，反射光线通过点 ， 则
反射光线所在直线的方程是 ．
【答案】
【解析】
试题分析： 关于直线 ： 对称点为 ，所以反射光线所在直线
的方程为
3.若直线 ： 经过点 ，则直线 在 轴和 轴的截距之和的最小
值是 ．
【答案】 ．
4.已知 的三个顶点的坐标为 ．
（1）求边 上的高所在直线的方程；
2
2
2
2
2
2
t t−
1 5
2
− 1 5
2
+
( )3,4M − l 3 0x y− + = ( )2,6N
6 6 0x y− − =
( )3,4M − l 3 0x y− + = ( )1,0M ′
6: ( 1),6 6 0.2 1M N y x x y′ = − − − =−
l 1( 0, 0)x y a ba b
+ = > > (1,2) l x y
3 2 2+
ABC∆ (1,1), (3,2), (5,4)A B C
AB
（2）若直线 与 平行，且在 轴上的截距比在 轴上的截距大 1，求直线 与两条坐标轴
围成的三角形的周长．
【答案】（1） ；（2） .
【解析】
（1） ，∴边 上的高所在直线的斜率为 ，
又∵直线过点 ∴直线的方程为： ，即 ；
（2）设直线 的方程为： ，即 ，
解得： ∴直线 的方程为： ，
∴直线 过点 三角形斜边长为
∴直线 与坐标轴围成的直角三角形的周长为 ．
注：设直线斜截式求解也可.
5.已知 ，直线 ， 相交于点 P， 交 y 轴于点 A， 交
x 轴于点 B
（1）证明： ；
（2）用 m 表示四边形 OAPB 的面积 S，并求出 S 的最大值；
（3）设 S= f (m), 求 的单调区间.
【答案】（1）见解析；（2）1；（3）在（－1，0）上为减函数，在（0，1）上为增函数.
| m | 1< 1 2: 1, : 1l y mx l x my= + = − + 1 2l l与 1l 2l
1 2l l⊥
1U S S
= +
l AC x y l
2 14 0x y+ − = 12
7
1
2ABk = AB 2−
(5,4)C 4 2( 5)y x− = − − 2 14 0x y+ − =
l 11
x y
a a
+ =+ 1
ay x aa
= − ++
3
4ACk =
3 ,1 4
a
a
∴− =+
3
7a = − l 14 3
7 7
x y+ =
−
l 4 3( ,0),(0, ),7 7
− 2 24 3 5( ) ( )7 7 7
+ =
l 5 4 3 12
7 7 7 7
+ + =
（3） , 又 是单调递减的函数,
而 在（－1，0）上递增，在（0，1）上递减，
在（－1，0）上为减函数，在（0，1）上为增函数
2
2
1 11 1U S mS m
= + = + + +
1 1( ,1], ( ,1]2 2S U∈ 且 在
1
1S m
= +2
1U S S
∴ = +