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- 2021-06-05 发布
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辽宁省大连市2017-2018学年高二下学期期末考试数学（理）试题
评卷人
得分
一、单选题
1．复数（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】分析：直接利用复数的除法运算得解.
详解：由题得，故答案为：C.
点睛：本题主要考查复数的运算，意在考查学生对该知识的掌握水平和基本运算能力.
2．设为随机变量，，若随机变量的数学期望，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】试题分析：由二项分布X～B的数学期望E(X)=,知，得，即X～B，那么
P(X＝2)=.
考点：服从二项分布的离散型随机变量的均值与方差.
3．某单位为了了解办公楼用电量（度）与气温（℃）之间的关系，随机统计了四个工作量与当天平均气温，并制作了对照表：
气温（℃）
18
13
10
-1
用电量（度）
24
34
38
64
由表中数据得到线性回归方程，当气温为℃时，预测用电量均为（ ）
A. 68度 B. 52度 C. 12度 D. 28度
【答案】A
【解析】由表格可知， ，根据回归直线方程必过得，因此当时， ，故选择A.
4．六位同学排成一排，其中甲和乙两位同学相邻的排法有（ ）
A. 60种 B. 120种 C. 240种 D. 480种
【答案】C
【解析】分析：直接利用捆绑法求解.
详解：把甲和乙捆绑在一起，有种方法，再把六个同学看成5个整体进行排列，有种方法，由乘法分步原理得甲和乙两位同学相邻的排法有种.故答案为：C.
点睛：（1）本题主要考查排列组合的应用，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.(2)遇到相邻问题，常用捆绑法，先把相邻元素捆绑在一起，再进行排列.
5．设，，都为正数，那么，用反证法证明“三个数，，至少有一个不小于2”时，做出与命题结论相矛盾的假设是（ ）
A. 这三个数都不大于2 B. 这三个数都不小于2
C. 这三个数至少有一个不大于2 D. 这三个数都小于2
【答案】D
【解析】分析：利用反证法和命题的否定分析解答.
详解：“三个数，，至少有一个不小于2”的否定是“这三个数都小于2”，
所以做出与命题结论相矛盾的假设是这三个数都小于2.故答案为：D.
点睛：（1）本题主要考查反证法，意在考查学生对该知识的掌握水平.(2)三个数a,b,c至少有一个不小于m的否定是三个数都小于m.
6．将两枚骰子各掷一次，设事件{两个点数都不相同}，{至少出现一个3点}，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】分析：利用条件概率求.
详解：由题得
所以 故答案为：A.
点睛：（1）本题主要考查条件概率，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2) 条件概率的公式: , =.
7．若展开式中各项系数之和为32，则展开式中含项的系数为（ ）
A. -5 B. 5 C. -405 D. 405
【答案】C
【解析】由题设可得，则通项公式，令，故，应选答案C。
8．，则的值为（ ）
A．2 B．-2 C．8 D．-8
【答案】D
【解析】
试题分析：，所以当时，；当时，，故
考点：二项式定理
9．已知某次数学考试的成绩服从正态分布，则114分以上的成绩所占的百分比为（ ）
（附，，
）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】分析：先求出u,,再根据和正态分布曲线求114分以上的成绩所占的百分比.
详解：由题得u=102,
因为，
所以.
故答案为：C.
点睛：（1）本题主要考查正态分布曲线和概率的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和数形结合思想方法.(2)利用正态分布曲线求概率时，要画图数形结合分析，不要死记硬背公式.
10．将7个座位连成一排，安排4个人就座，恰有两个空位相邻的不同坐法有（ ）
A. 240 B. 480 C. 720 D. 960
【答案】B
【解析】12或67为空时，第三个空位有4种选择；23或34或45或56为空时，第三个空位有3种选择；因此空位共有，所以不同坐法有,选B.
11．某班数学课代表给全班同学出了一道证明题.甲说：“丙会证明.”乙说：“我不会证明.”丙说：“丁会证明.”丁说：“我不会证明.”以上四人中只有一人说了真话，只有一人会证明此题.根据以上条件，可以判定会证明此题的人是（ ）
A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁
【答案】B
【解析】如果甲会证明，乙与丁都说了真话，与四人中只有一人说了真话相矛盾，不合题意；排除选项 ；如果丙会证明，甲乙丁都说了真话，与四人中只有一人说了真话相矛盾，不合题意，排除选项；如果丁会证明，丙乙都说了真话，与四人中只有一人说了真话相矛盾，不合题意，排除选项 ，故选B.
12．如图所示的五个区域中，中心区
域是一幅图画，现要求在其余四个区域中涂色，有四种颜色可供选择.要求每个区域只涂一种颜色且相邻区域所涂颜色不同，则不同的涂色方法种数为（ ）
A. 56 B. 72 C. 64 D. 84
【答案】D
【解析】分析：每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，然后分类研究，A、C不同色和A、C同色两大类.
详解：分两种情况：
（1）A、C不同色（注意：B、D可同色、也可不同色，D只要不与A、C同色，所以D可以从剩余的2中颜色中任意取一色）：有4×3×2×2=48种；
（2）A、C同色（注意：B、D可同色、也可不同色，D只要不与A、C同色，所以D可以从剩余的3中颜色中任意取一色）：有4×3×1×3=36种．
共有84种，故答案为：D.
点睛：(1)本题主要考查排列组合的综合问题，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 排列组合常用方法有一般问题直接法、相邻问题捆绑法、不相邻问题插空法、特殊对象优先法、等概率问题缩倍法、至少问题间接法、复杂问题分类法、小数问题列举法.
第II卷（非选择题）
请点击修改第II卷的文字说明
评卷人
得分
二、填空题
13．在产品质量检验时，常从产品中抽出一部分进行检查.现从98件正品和2件次品共100件产品中，任选3件检查，恰有一件次品的抽法有__________种．
【答案】9506
【解析】分析：事情分两步完成，先从2件次品中选一件有种方法，再从98件正品里选两件有 种方法，根据乘法分步原理即得恰有一件次品的抽法的总数.
详解：事情分两步完成，先从2件次品中选一件有种方法，再从98件正品里选两件有 种方法，根据乘法分步原理得恰有一件次品的抽法的总数为种.故答案为：9506.
点睛：本题主要考查排列组合的应用，意在考查学生对这些知识的掌握水平和应用能力.
14．若复数为纯虚数，则实数的值为__________．
【答案】3
【解析】由题设，应填答案。
15．观察以下各等式：
，
，
，
分析上述各式的共同特点，则能反映一般规律的等式为__________．
【答案】
【解析】由题意得， ， 与相差了，另外根据所给三个式子的特点可得一般规律为．
答案：
16．某一部件由四个电子元件按如图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3或元件4正常工作，则部件正常工作.设四个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从正态分布，且各个元件能否正常工作相互独立，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为__________．
【答案】
【解析】分析：先求出四个电子元件的使用寿命超过1000小时的概率都为，再设A={元件1或元件2正常工作}，B={元件3或元件4正常工作},再求P(A),P(B),再求P(AB)得解.
详解：由于四个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从正态分布，所以四个电子元件的使用寿命超过1000小时的概率都为
设A={元件1或元件2正常工作}，B={元件3或元件4正常工作},
所以
所以该部件的使用寿命超过1000小时的概率为.
故答案为：.
点睛：（1）本题主要考查正态分布曲线，考查独立事件同时发生的概率，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 一般地，如果事件相互独立，那么这个事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，即 ．
评卷人
得分
三、解答题
17．求证：.
【答案】见解析.
【解析】分析：直接利用组合数的公式计算证明.
=
=
=
=.
点睛：（1）本题主要考查组合数的计算，意在考查学生对该知识的掌握水平和基本的运算能力.(2) 组合数公式：===(∈，，且)这里两个公式前者多用于数字计算，后者多用于证明恒等式及合并组合数简化计算
18．从1，2，3，4，5，6，7，8，9这九个数字中任意取出三个不同的数字.
（Ⅰ）求取出的这三个数字中最大数字是8的概率；
（Ⅱ）记取出的这三个数字中奇数的个数为，求随机变量的分布列与数学期望.
【答案】 ；（Ⅱ）见解析.
【解析】分析：（Ⅰ）取出的这三个数字中最大数字是8，其余两个从1，2，3，4，5，6，7中取．
（Ⅱ）取出的这三个数字中奇数的个数为0、1、2、3，求出相应的概率，即可求得分布列及期望．
；
（Ⅱ）ξ的所有可能取值为：0、1、2、3 则
所以随机变量的分布列为
0
1
2
3
P
所以的数学期望.
点睛：（1）本题主要考查古典概型和离散型随机变量的分布列和期望，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2) …… 为的均值或数学期望，简称期望．
19．某中学将100名高一新生分成水平相同的甲、乙两个“平行班”，每班50人．陈老师采用A，B两种不同的教学方式分别在甲、乙两个班进行教改实验．为了了解教学效果，期末考试后，陈老师对甲、乙两个班级的学生成绩进行统计分析，画出频率分布直方图（如下图）．记成绩不低于90分者为“成绩优秀”．
根据频率分布直方图填写下面2×2列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0．05的前提下认为：“成绩优秀”与教学方式有关．
甲班（A方式）
乙班（B方式）
总计
成绩优秀
成绩不优秀
总计
附：K2＝．
P（K2≥k）
0．25
0．15
0．10
0．05
0．025
k
1．323
2．072
2．706
3．841
5．024
【答案】列联表见解析，在犯错误的概率不超过的前提下认为：“成绩优秀”与教学方式有关．
【解析】
试题分析：根据频率分布直方图中每个矩形的面积即为概率及概率等于频数比样本容量，求出“成绩优秀”和“成绩不优秀”的人数然后即可填表，再利用附的公式求出的值再与表中的值比较即可得出结论．
试题解析：由频率分布直方图可得，甲班成绩优秀、成绩不优秀的人数分别为12,38，乙班成绩优秀、成绩不优秀的人数分别为4,46．
甲班（A方式）
乙班（B方式）
总计
成绩优秀
12
4
16
成绩不优秀
38
46
84
总计
50
50
100
根据列联表中数据，K2的观测值
k＝≈4．762．
由于4．762＞3．841，所以在犯错误的概率不超过0．05的前提下认为：“成绩优秀”与教学方式有关．
考点：独立性检验；频率分布直方图．
20．数列满足.
（Ⅰ）计算，，，并由此猜想通项公式；
（Ⅱ）用数学归纳法证明（Ⅰ）中的猜想.
【答案】（1）见解析；（2）见解析.
【解析】分析：（Ⅰ）计算出，由此猜想.( Ⅱ)利用数学归纳法证明猜想.
详解：（1），由此猜想；
（2）证明：当时，，结论成立；
假设（，且），结论成立，即，
当（，且）时，，即，所以，这就是说,当时，结论成立，
根据(1)和(2)可知对任意正整数结论都成立，即 .
点睛：（1）本题主要考查不完全归纳法和数学归纳法，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.（2）数学归纳法证明的关键是证明当n=k+1时命题成立，这时要利用已知和假设.
21．甲、乙两人做定点投篮游戏，已知甲每次投篮命中的概率均为，乙每次投篮命中的概率均为，甲投篮3次均未命中的概率为，甲、乙每次投篮是否命中相互之间没有影响.
（Ⅰ）若甲投篮3次，求至少命中2次的概率；
（Ⅱ）若甲、乙各投篮2次，设两人命中的总次数为，求的分布列和数学期望.
【答案】（Ⅰ）.（Ⅱ）见解析.
【解析】试题分析：（1）本题为独立重复试验，根据独立重复试验概率公式 列方程组解得，再根据独立重复试验概率公式求至少命中2次的概率；（2）先确定随机变量可能取法：0，1，2，3，4，再根据独立重复试验概率公式求对应概率，列表得分布列，最后根据数学期望公式求期望.
试题解析：（1）由题意，，解得，
设“乙投篮3次，至少2次命中”为事件，
则
（2）由题意的取值为0，1，2，3，4.
；
；
；
.
故的分布列为
.
22．选修4-4：坐标系与参数方程
直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为，直线的参数方程为：（为参数）．
（Ⅰ）写出圆和直线的普通方程；
（Ⅱ）点为圆上动点，求点到直线的距离的最小值．
【答案】（Ⅰ），（Ⅱ）
【解析】试题分析：（Ⅰ）由将极坐标方程化为直角坐标方程，利用加减消元法将参数方程化为普通方程（Ⅱ）由点到直线的距离的最小值为圆心到直线的距离减去半径得
试题解析：（Ⅰ）由已知得．
所以，即圆的普通方程为．
由得，所以直线的普通方程为．
（Ⅱ）由圆的几何性质知点到直线的距离的最小值为圆心到直线的距离减去圆的半径，
令圆心到直线的距离为，则，
所以最小值为．
考点：极坐标方程化为直角坐标方程，参数方程化为普通方程，直线与圆位置关系
23．已知关于的不等式.
（1）当时，解不等式；
（2）如果不等式的解集为空集，求实数的取值范围.
【答案】(1) ；(2) .
【解析】试题分析：（1）当时，不等式变为。由绝对值的意义，按绝对值号内的的正负，分三种情况讨论：当时，不等式变为；当时，不等式变为，恒成立，所以符合不等式；当时，不等式变为。取三种情况的并集，可得原不等式的解集。（2）解法一：构造函数与，原不等式的解集为空集， 的最小值比大于或等于，作出与的图象. 只须的图象在的图象的上方，或与重合， 。解法二：构造函数，讨论绝对值号内式子得正负去掉绝对值可得， ，求每一段函数的值域，可得函数的最小值=1， 小于等于函数的最小值1.解法三，由不等式
可得，当且仅当时，上式取等号，∴.
试题解析：解：（1）原不等式变为.
当时，原不等式化为，解得，∴
当时，原不等式化为，∴ .
当时，原不等式化为，解得，∴ .
综上，原不等式解集为.
（2）解法一：作出与的图象.
若使解集为空集，
只须的图象在的图象的上方，或与重合，
∴，所以的范围为.
解法二： ，
当时， ，
当时， ，
当时， ，
综上，原问题等价于，∴ .
解法三：∵，当且仅当时，上式取等号，∴.