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- 2021-06-05 发布
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2019年下学期衡阳县四中390班期中考试数学测试卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目的要求的.
1.已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
化简集合后,根据集合的交集的定义计算可得.
【详解】因为,,
所以.
故选:B
【点睛】本题考查了集合的交集运算,属于基础题.
2.下列函数中，既是偶函数又是上的增函数的为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据函数的单调性和奇偶性对四个函数逐个分析即可得到.
【详解】因为函数是增函数,但不是偶函数,所以选项不正确;
因为函数是偶函数,但在上不是增函数,所以选项不正确;
因为函数是奇函数,所以选项不正确;
因为函数是偶函数,且在上是增函数,所以选项正确;
故选:D.
【点睛】本题考查了函数的奇偶性和单调性,属于基础题.
3.已知函数，则=（ ）
A. 30 B. 19 C. 6 D. 20
【答案】B
【解析】
函数，令，则，故选B.
4.函数y=ax-3+1（a＞0且a≠1）图象一定过点（ ）
A. （0，1） B. （3，1） C. （0，2） D. （3，2）
【答案】D
【解析】
【分析】
利用指数函数过定点求解即可果.
【详解】由，得，
此时，
函数且图象一定过点，故选D.
【点睛】本题主要考查指数函数的几何性质，属于简单题. 函数图象过定点问题主要有两种类型：（1）指数型，主要借助过定点解答；(2)对数型：主要借助过定点解答.
5.已知函数，则（ ）
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
【答案】A
【解析】
【分析】
根据自变量的取值范围选用相应的解析式即可求得.
【详解】因为,
所以.
故选:A
【点睛】本题考查了求分段函数的函数值,属于基础题.
6.函数零点所在的区间为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
判断函数单调递增，求出f（0）=-4，f（1）=-1，
f（2）=3＞0，即可判断．
【详解】∵函数单调递增，
∴f（0）=-4，f（1）=-1，
f（2）=7＞0，
根据零点的存在性定理可得出零点所在的区间是，
故选B．
【点睛】本题考查了函数的单调性，零点的存在性定理的运用，属于容易题．
7.已知函数，满足，则
A. 2 B. -2 C. -3 D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】
判断为奇函数，利用可得结果.
【详解】函数，，函数定义域关于轴对称
则函数为奇函数
因为
则
故选C.
【点睛】本题主要考查函数奇偶性的判断与应用，意在考查灵活应用所学知识解答问题的能力，属于基础题.
8.设，，，则的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
∵为上的单调增函数，
又
∴
∵在上单调递减，又
∴
∴
故选：D
点睛：利用指数函数对数函数及幂函数的性质比较实数或式子的大小，一方面要比较两个实数或式子形式的异同，底数相同，考虑指数函数增减性，指数相同考虑幂函数的增减性，当都不相同时，考虑分析数或式子的大致范围，来进行比较大小，另一方面注意特殊值的应用，有时候要借助其“桥梁”作用，来比较大小．
9.若直线过点，，则此直线倾斜角是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
利用两点的斜率公式可求，再利用可求倾斜角．
【详解】∵点，，
∴直线的斜率
因此，直线的倾斜角α满足，
∵，∴
故选：C．
【点睛】本题着重考查了直线的斜率与倾斜角的关系，考查了斜率的计算公式，属于基础题．
10.函数与在同一直角坐标系下的图象大致是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】根据函数过排除A;
根据过排除B、D,
故选：C．
11.如图，某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形，且体积为．则该几何体的俯视图可以是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
试题分析：由已知条件该几何体是一个棱长为的正方体沿对角面截去一半后的三棱柱，底面为直角边长为的直角三角形．故选C．
考点：空间几何体的三视图、直观图．
12.如图，等边三角形的中线与中位线相交于，已知是绕旋转过程中的一个图形，下列命题中，错误的是
A. 恒有⊥
B. 异面直线与不可能垂直
C. 恒有平面⊥平面
D. 动点在平面上的射影在线段上
【答案】B
【解析】
对A来说，DE⊥平面，∴⊥；
对B来说，∵E、F为线段AC、BC中点，∴EF∥AB，∴∠A′EF就是异面直线A′E与BD所成的角，当（A'E）2+EF2=（A'F）2时，直线A'E与BD垂直，故B不正确；
对C来说，因为DE⊥平面，DE平面，∴平面⊥平面，故C正确；
对D来说，∵A′D=A′E，∴DE⊥A′G，∵△ABC是正三角形，∴DE⊥AG，又A′G∩AG=G，∴DE⊥平面A′GF，从而平面ABC⊥平面A′AF，且两平面的交线为AF，∴A'在平面ABC上的射影在线段AF上，正确；
故选：B
二、填空题：本大题共4小题，每小题3分，共12分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.
13.已知点，则线段的垂直平分线的方程是________________
【答案】
【解析】
试题分析：先求出中点的坐标，再求出垂直平分线的斜率，点斜式写出线段AB的垂直平分线的方程，再化为一般式解：线段AB的中点为(2，)，垂直平分线的斜率 k==2，∴线段AB的垂直平分线的方程是 y-=2（x-2），4x-2y-5=0，故答案为。
考点：直线方程
点评：本题考查两直线垂直的性质，线段的中点坐标公式，以及用直线方程的点斜式求直线方程的求法．
14.在三棱锥A-BCD中，AB⊥AC，AB⊥AD，AC⊥AD，若AB=3，AC=4，AD=5，则三棱锥A-BCD的外接球的表面积为______．
【答案】
【解析】
【分析】
由题意，将三棱锥中放到长方体中，可得长宽高分别为3、4、5的长方体的外接球，即可求解球的半径，可得表面积
【详解】由题意将三棱锥中放到长方体中，可得长宽高分别为3、4、5的长方体的外接球；
所以外接球的半径R满足：．
所以三棱锥的外接球的表面积
故答案为：
【点睛】本题主要考查了球的表面积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养
15.已知函数的定义域和值域都是，则 .
【答案】
【解析】
若，则在上为增函数,所以，此方程组无解；
若，则在上为减函数,所以，解得，所以.
考点：指数函数的性质.
16.已知二面角为60º，，，A为垂足，，，，则异面直线与所成角的余弦值为______________.
【答案】
【解析】
【分析】
首先作出二面角的平面角,然后再构造出异面直线与所成的角,利用解直角三角形,可求出问题的答案.
【详解】如图所示:
过作于,于,再过作的平行线与过作的垂线交于,连接,则为二面角的平面角,易知四边形为矩形.
由知,所以为与所成的角,
设,因为,则,又由条件知,且,
所以在△中,,
所以在△中,.
故答案为: .
【点睛】本题主要考查异面直线所成角,二面角,直线与平面间的垂直关系,属于中档题.
三、解答题：本大题共6小题，共52分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17.计算：
（1）；
（2）.
【答案】（1）（2）3
【解析】
【分析】
(1)根据指数运算性质计算可得;
(2)根据对数的运算性质计算可得.
【详解】解：（1）
（2）
【点睛】本题考查了指数与对数的运算性质,属于基础题.
18.已知满足
(1)求的取值范围；
(2)求函数的值域．
【答案】(1) (2)
【解析】
试题分析：（1）先将不等式化成底相同的指数，再根据指数函数的单调性解不等式；（2）令，则函数转化为关于 的二次函数，再根据对称轴与定义区间的位置关系确定最值，得到值域.
试题解析：
(1) ∵，
，
由于指数函数在上单调递增，
.
(2) 由（1）得，
.
令，则，其中.
∵函数的图象开口向上，且对称轴为 ，
函数在上单调递增，
当时，取得最大值，；当时，取得最小值，为.
函数的值域为.
19.已知直线经过直线与直线的交点， 且垂直于直线.
（1）求直线的方程；
（2）求直线与两坐标轴围成的三角形的面积.
【答案】（1）y=-2x-2（也可以写成2x+y+2=0）；（2）1
【解析】
试题分析：由已知，可得，交点P（-2,2）
又因为所求直线垂直于直线x-2y-1=0，可得所求的直线的斜率k=-2
故直线方程为y-2=-2（x+2），即y=-2x-2（也可以写成2x+y+2=0）
（2）令x=0，可得y=-2；令y=0，可得x=-1
所以
考点：本题考查求直线方程，直线与直线的位置关系
点评：解决本题的关键是掌握两直线垂直的充要条件
20.设集合，若A∩B=B，求的取值范围．
【答案】a=1或a≤﹣1
【解析】
试题分析：先由题设条件求出集合A，再由A∩B=B，导出集合B的可能结果，然后结合根的判别式确定实数a的取值范围．
试题解析：
根据题意，集合A={x|x2+4x=0}={0，﹣4}，若A∩B=B，则B是A的子集，
且B={x|x2+2（a+1）x+a2﹣1=0}，为方程x2+2（a+1）x+a2﹣1=0的解集，
分4种情况讨论：
①B=∅，△=[2（a+1）]2﹣4（a2﹣1）=8a+8＜0，即a＜﹣1时，方程无解，满足题意；
②B={0}，即x2+2（a+1）x+a2﹣1=0有两个相等的实根0，
则有a+1=0且a2﹣1=0，解可得a=﹣1，
③B={﹣4}，即x2+2（a+1）x+a2﹣1=0有两个相等的实根﹣4，
则有a+1=4且a2﹣1=16，此时无解，
④B={0、﹣4}，即x2+2（a+1）x+a2﹣1=0有两个的实根0或﹣4，
则有a+1=2且a2﹣1=0，解可得a=1，
综合可得：a=1或a≤﹣1．
点睛：A∩B=B则B是A={0，﹣4}的子集，而B={x|x2+2（a+1）x+a2﹣1=0}为方程x2
+2（a+1）x+a2﹣1=0的解集，所以分四种情况进行讨论①B=∅，②B={0}，③B={﹣4}，④B={0、﹣4}，其中①B=∅不要忘记.
21.如图所示，ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO⊥底面ABCD，底面边长为a，E是PC的中点．
（Ⅰ）求证：PA∥平面BDE；
（Ⅱ）平面PAC⊥平面BDE；
（Ⅲ）若二面角E-BD-C为30°，求四棱锥P-ABCD的体积．
【答案】（I）详见解析；（II）详见解析；（III）.
【解析】
【分析】
（Ⅰ）连接，证明．然后证明平面
（Ⅱ）证明，，推出平面，然后证明平面⊥平面
（Ⅲ）取中点，连接，说明为二面角的平面角，求出，，．然后求解几何体的体积
【详解】解：（Ⅰ）证明：连接OE，如图所示．
∵O、E分别为AC、PC中点，
∴OE∥PA．
∵OE面BDE，PA平面BDE，
∴PA∥平面BDE．
（Ⅱ）证明：∵PO⊥平面ABCD，∴PO⊥BD．
在正方形ABCD中，BD⊥AC，
又∵PO∩AC=O，∴BD⊥平面PAC．
又∵BD⊂平面BDE，∴平面PAC⊥平面BDE．
（Ⅲ）取OC中点F，连接EF．
∵E为PC中点，
∴EF为△POC的中位线，∴EF∥PO．
又∵PO⊥平面ABCD，
∴EF⊥平面ABCD，
∵OF⊥BD，∴OE⊥BD．
∴∠EOF为二面角E-BD-C的平面角，
∴∠EOF=30°．
在Rt△OEF中，
OF=OC=AC=a，
∴EF=OF•tan30°=a，∴OP=2EF=a．
∴VP-ABCD=×a2×a=a3．
【点睛】本题考查平面与平面垂直，直线与平面平行的判定定理的应用，几何体的体积的求法，考查计算能力，熟练运用各知识点来解题是关键
22.已知函数是定义城为上的奇函数，且.
（1）求的解析式；
（2）用定义证明：在上是增函数；
（3）若实数t满足，求实数t的范围.
【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）.
【解析】
【分析】
（1）根据题意，由奇函数的定义可得，即有，解可得，又由，计算可得的值，即可得答案；
（2）设，由作差法分析可得答案；
（3）根据题意，原不等式变形可得，解可得的取值范围，即可得答案．
【详解】解：（1）根据题意，函数是定义域在上的奇函数，
则，即有，解可得，
则，
又由，则，则，
；
（2）证明：设，
则，
又由，则，，
则，
故在上是增函数；
（3）根据题意，，即，
则有，解可得；
即的取值范围为．
【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的总应用，涉及不等式的解法，属于综合题．