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- 2021-06-05 发布
莆田第二十五中学2017-2018学年上学期期末质量检测试卷
高二数学（理）
一．选择题
1. 中，若，则的面积为 （ ）
A. B. C. 1 D.
【答案】D
【解析】由三角形面积公式可得：，故选B.
2. 在数列中，=1，，则的值为 （ ）
A. 99 B. 49 C. 102 D. 101
【答案】D
【解析】试题分析：可知数列是以1为首项，2为公差的等差数列，所以．故选D．
考点：等差数列的基本量运算．
3. 已知，函数的最小值是 （ ）
A. 5 B. 4 C. 8 D. 6
【答案】B
【解析】本题考查均值不等式求函数最值。
由均值不等会死，，当且仅当时不等式取，故选B。
4. 已知命题，其中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】试题分析：命题，使的否定为,使，故选C．
考点：特称命题的否定．
5. 抛物线的焦点坐标是（ ）
A. （, 0） B. (－, 0) C. （0,） D. （0, －）
【答案】A
【解析】抛物线方程得焦点坐标为，故选A.
6. 设，则是 的 （ ）
A. 充分但不必要条件 B. 必要但不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】试题分析：，故是必要不充分条件，故选B．
考点：1.解不等式；2.充分必要条件．
7. 已知△ABC的周长为20，且顶点B (0，－4)，C (0，4)，则顶点A的轨迹方程是 （ ）
A. （x≠0） B. （x≠0）
C. （x≠0） D. （x≠0）
【答案】B
【解析】由题意得，故．
.....................
设椭圆的方程为，
则，
所以．
故椭圆的方程为．选B．
8. 过抛物线 y2 = 4x 的焦点作直线交抛物线于A（x1, y1）B（x2, y2）两点，如果=6，
那么＝（ ）
A. 6 B. 8 C. 9 D. 10
【答案】B
【解析】由题意得抛物线的焦点为，根据定义可得．选B．
9. 在正方体中，是棱的中点，则与所成角的余弦值为
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】试题分析：设正方体的棱长为2，以DA为x轴，以DC为y轴，以为z轴，建立空间直角坐标系，则（2，0，2），B（2，2，0），（0，0，2），E（2，1，2），
∴=（0，2，-2），=（2，1，0），设与所成角为θ，
则
考点：异面直线及其所成的角
10. 试在抛物线上求一点P，使其到焦点F的距离与到的距离之和最小，则该点坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由题意得抛物线的焦点为，准线方程为．
过点P作于点，由定义可得,
所以，
由图形可得，当三点共线时，最小，此时．
故点的纵坐标为1，所以横坐标．即点P的坐标为．选A．
点睛：与抛物线有关的最值问题的解题策略
该类问题一般解法是利用抛物线的定义，实现由点到点的距离与点到直线的距离的转化．
(1)将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”，使问题得解；
(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为点到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中的垂线段最短”解决．
11. 已知椭圆，若其长轴在轴上.焦距为，则等于 ( )
A. 4 B. 5 C. 7 D. 8
【答案】D
【解析】由题意可得，解得．选D．
12. 已知点F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，过F1且垂直于x轴的直线与椭圆交于A、B两点，若△ABF2为正三角形，则该椭圆的离心率为 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】在方程中，令，可得，
∴．
∵△ABF2为正三角形，
∴，即，
∴，
∴，
整理得，
∴，
解得或（舍去）．选D．
点睛：求椭圆离心率或其范围的方法
(1)求的值，由直接求．
(2)列出含有的方程(或不等式)，借助于消去b，然后转化成关于e的方程(或不等式)求解．
二、填空题
13. 已知数列｛an｝的前n项和，那么它的通项公式为an=_____
【答案】an=2n
【解析】试题分析：当n=1时，=2；
当时，=2n；
而n=1时，适合上式，所以，它的通项公式为。
考点：数列的通项公式。
点评：简单题，利用的关系求数列的通项公式，往往遵循“两步一验”。
14. 双曲线的渐近线方程为_____________
【答案】
【解析】令，解得．
∴双曲线的渐近线方程为．
答案：
15. 已知点在不等式组表示的平面区域上运动，则的最大值为________.
【答案】2
【解析】画出不等式组表示的可行域如图阴影部分所示．
由得．平移直线，由图形可得当直线经过可行域内的点A时，直线在y轴上的截距最小，此时z取得最大值．
由题意得点A的坐标为（2,0）．
∴．
答案：2
点睛：利用线性规划求目标函数最值的步骤
(1)作图——画出约束条件所确定的平面区域和目标函数所表示的平面直线系中的任意一条直线；
(2)平移——将平行移动，以确定最优解所对应的点的位置．有时需要进行目标函数和可行域边界的斜率的大小比较；
(3)求值——解有关方程组求出最优解的坐标，再代入目标函数，求出目标函数的最值．
16. 以下三个关于圆锥曲线的命题中：
①设A、B为两个定点，K为非零常数，若｜PA｜－｜PB｜＝K，则动点P的轨迹是双曲线.
②方程的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率.
③双曲线与椭圆有相同的焦点.
④已知抛物线,以过焦点的一条弦AB为直径作圆，则此圆与准线相切.
其中真命题为_________（写出所有真命题的序号）.
【答案】②③④
【解析】对于①，由于不满足双曲线的定义，故①不正确．
对于②，解方程得或，故方程的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率，所以②正确．
对于③，由题意得双曲线和椭圆的焦点坐标均为，故③正确．
对于④，设弦AB的中点为M，过A,B,M分别作准线的垂线，垂足分别为，由梯形中位线的性质得，即点M到准线的距离为的一半，故以AB为直径的圆与准线相切．所以④正确．
综上②③④正确．
答案：②③④
三、解答题
17. 已知抛物线C：y2=2px（p＞0），上的点M（1，m）到其焦点F的距离为2，求C的方程；并求其准线方程.
【答案】y2=4x,
【解析】试题分析：
由题意求得抛物线的准线方程，根据定义可得p=2，从而可得抛物线的方程和准线方程．
试题解析：
抛物线y2=2px（p＞0）的准线方程为x=﹣，
由抛物线的定义可知|MF|=1﹣（﹣）=2，
解得p=2，
所以抛物线C的方程为y2=4x；准线方程为．
18. 已知数列{an}为等差数列，其中a2+a3=8，a5=3a2．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）记，求{}的前n项和Sn．
【答案】(1)(2)
【解析】试题分析：
试题解析：
（1）设等差数列{an}的公差为d，
由题意得，
解得．
∴．
即数列{an}的通项公式为．
（2）由（1）可得==﹣，
∴
．
19. 在△ABC中，内角的对边成公差为2的等差数列，.
(1)求；
(2)求边上的高的长；
【答案】(1)(2)
【解析】试题分析：
（1）根据条件可得，，在△ABC中由余弦定理可得到关于的方程，解方程可得的值．（2）在△ABC中由三角形的面积公式可得高的长．
试题解析：
(1)由题意得，，
在△ABC中由余弦定理得，
∴，
整理得，
解得或(舍去)，
∴．
(2)由(1)知，，，
由三角形的面积公式得：
，
∴ ，
即边上的高
20. 如图所示，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是矩形，AB=1，BC=，AA1=2，E是侧棱BB1的中点．
（1）求证：A1E⊥平面AED；
（2）求二面角A﹣A1D﹣E的大小．
【答案】(1)见解析，(2)
【解析】试题分析：
（1）由题意建立空间直角坐标系，求得相关点的坐标后可得，从而得A1E⊥DA，A1E⊥AE，由线面垂直的判定定理可得结论成立．（2）求出两平面的法向量，根据两个法向量夹角的余弦值可求得二面角的大小．
试题解析：
（1）证明：∵ 在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是矩形，
∴两两垂直．
建立如图所示空间直角坐标系．
则D（0，0，2），A（，0，2），E（，1，1），，C1（0，1，0），
∴ =（，0，0），=（0，1，﹣1），=（0，1，1），
∴ ，
∴ A1E⊥DA，A1E⊥AE，
又，
∴ A1E⊥平面AED．
（2）解：设平面A1DE的一个法向量为，
由 ，得，
令，得=（，﹣1，1）．
∵ ⊥平面AA1D，
∴平面AA1D的一个法向量为=（0，1，0），
∴，
由图形得二面角A﹣A1D﹣E是锐角，
∴二面角A﹣A1D﹣E的大小为．
21. 在如图所示的多面体中，平面，平面，为中点，是的中点.
（1）证明：平面
（2）求点到平面的距离.
【答案】（1）见解析（2）
【解析】试题分析：
（1）建立空间直角坐标系，由条件求得，平面的一个法向量为，由可得线面平行．（2）由条件得到，设与平面所成的角为，则，根据点到平面的距离求解即可．
试题解析：
以点为原点建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
（1）∵点是线段的中点，
∴点的坐标为，
∴，
又平面，
∴平面的一个法向量为．
∴，
又平面，
∴ 平面．
(2)由已知得G点坐标为(1,0,0)，
∴，
设平面BCE的一个法向量为，
由，得，
令，则，
设与平面所成的角为，
则,
∴点到平面的距离.
点睛：用向量法求平面外一点A到平面的距离时，可先在平面内选择一点B（点B的坐标易求出），求得．然后求得直线AB与平面夹角的正弦值，即，最后根据
可求得点到面的距离．
22. 已知椭圆过点，且离心率。
（Ⅰ）求椭圆方程；
（Ⅱ）若直线与椭圆交于不同的两点，且线段的垂直平分线过定点，求的取值范围。
【答案】（1）（2）
【解析】试题分析：
（1）由椭圆的离心率可得，根据椭圆过点可得，求得，后可得椭圆的方程．（2）将直线方程代入椭圆方程后整理可得
，由得．由根与系数的关系求得弦MN的中点，由此可得直线AG的斜率，根据可得，由此可得，解得，即为所求范围．
试题解析：
（1）椭圆的离心率，
，即；①
又椭圆过点，
∴，②
由①②得，，
∴椭圆的方程为．
（2）由消去整理得
，
直线与椭圆交于不同的两点，
，
整理得……（1）
设，弦MN的中点A，
则，
∴
∴，
∴点A的坐标为，
∴直线AG的斜率为，
又直线AG和直线MN垂直，
∴，
∴，
将上式代入（1）式，可得，
整理得，
解得．
∴实数的取值范围为．
点睛：圆锥曲线中求最值（范围）问题的方法
根据条件建立目标函数，再求这个函数的最值．求解时常从以下几个方面考虑：
①利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；
②利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的关键是在两个参数之间建立等量关系；
③利用基本不等式求出参数的取值范围；
④利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围．