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- 2021-06-05 发布
高二年级4月月考数学试卷
一、选择题（本大题共16小题，共80.0分）
1.甲、乙等人排一排照相，要求甲、乙人相邻但不排在两端，那么不同的排法共有（ ）
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
【答案】B
【解析】
根据题意，甲、乙看做一个元素安排中间位置，共有种排法，
其余人排其它个位置，共有种排法，
利用乘法原理，可得不同的排法有种．
故选．
点睛：本题考查的是排列组合问题.（1）解排列组合问题要遵循两个原则：①按元素(或位置)的性质进行分类；②按事情发生的过程进行分步．具体地说，解排列组合问题常以元素(或位置)为主体，即先满足特殊元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置)．（2）不同元素的分配问题，往往是先分组再分配．在分组时，通常有三种类型：①不均匀分组；②均匀分组；③部分均匀分组．注意各种分组类型中，不同分组方法的求解．
2.将4名学生分配到甲、乙、丙3个实验室准备实验，每个实验室至少分配1名学生的不同分配方案共有
A. 12种 B. 24种 C. 36种 D. 48种
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意首先把4名学生分为3组，则有种分法，再把分好的3组分到甲、乙、丙3个实验室，则有种分法，进而再利用分步计数原理计算出答案.
【详解】因为4名学生分配到甲、乙、丙3个实验室准备实验，每个实验室至少分配1名学生，
所以首先把4名学生分为3组，则有一个组有2人，共有种分法，
再把分好的3组分到甲、乙、丙3个实验室，则有种分法，
所以共有种分法.
故选C.
【点睛】本题考查分步计数原理以及排列、组合的综合应用，在处理分组，分配问题时，常常采用先分组再分配的方法，属于基础题.
3.已知随机变量X的分布列为
X
0
1
P
p
则
A 0 B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由随机变量X的分布列求出，求出.
【详解】由随机变量X的分布列知：，则，
所以.
故选：B.
【点睛】本题考查离散型随机变量的期望的求法，是基础题.
4.已知随机变量X服从二项分布.若，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由随机变量X服从二项分布B（n，p），结合期望及方差的公式运算即可得解．
【详解】由随机变量X服从二项分布B(n,p).
又E(X)=2, ，
所以np=2，np(1−p)= ，
解得：p=，
故选：C.
【点睛】本题考查二项分布与n次独立重复试验的模型，运用二项分布的期望及方差的公式运算即可求解，属于基础题.
5.有以下四个命题，其中正确的是（ ）
A. 由独立性检验可知，有的把握认为物理成绩与数学成绩有关，若某人数学成绩优秀，则他有的可能物理成绩优秀
B. 两个随机变量相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于
C. 在线性回归方程中，当变量每增加一个单位时，变量平均增加个单位
D. 线性回归方程对应的直线至少经过样本数据点中的一个点
【答案】C
【解析】
对于A.有 的把握认为物理成绩与数学成绩有关，是指“不出错的概率”，
不是“数学成绩优秀，物理成绩就有的可能优秀”，A错误；
对于B，根据随机变量的相关系数知，两个随机变量相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1，B错误；
对于C.根据线性回归方程的系数 知，当解释变量每增加一个单位时，预报变量平均增加0.2个单位，C正确；
对于D.线性回归方程对应的直线过样本中心点，不一定过样本数据中的点，故D错误；
故选C．
6.凤鸣山中学的高中女生体重 (单位：kg)与身高(单位：cm)具有线性相关关系，根据一组样本数据（），用最小二乘法近似得到回归直线方程为
，则下列结论中不正确的是（ ）
A. 与具有正线性相关关系
B. 回归直线过样本的中心点
C. 若该中学某高中女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kg
D. 若该中学某高中女生身高为160cm，则可断定其体重必为50.29kg.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据回归直线方程可以判断与具有正线性相关关系，回归直线过样本的中心点，该中学某高中女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kg，该中学某高中女生身高为160cm，只能估计其体重，不能得出体重一定是多少.
【详解】根据回归直线方程，但看函数图象单调递增，可以判断与具有正线性相关关系，所以A选项说法正确；
回归直线过样本的中心点，所以B选项说法正确；
根据斜率得该中学某高中女生身高增加1cm，则其体重约增加085kg，所以C选项说法正确；
该中学某高中女生身高为160cm，根据回归直线方程只能估计其体重，D选项说“可断定其体重必为50.29kg”，这种说法错误.
故选：D
【点睛】此题考查线性回归直线相关概念辨析，考查基础知识的掌握情况.
7.在的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式的常数项为 ．
A B. 7 C. D. 28
【答案】B
【解析】
试题分析：根据题意，由于在的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，那么可知n为偶数，n=8则可知
,可知当r=6时，可知为常数项，故可知为7，选B.
考点：二项式定理
点评：主要是考查了二项式定理的运用，属于基础题．
8.则( )
A. 1 B. C. 1023 D.
【答案】D
【解析】
【分析】
令二项式中的，又由于所求之和不含，令，可求出的值，代入即求答案．
【详解】令代入二项式，
得，
令得，
，
故选D．
【点睛】本题主要考查二项式定理应用，一般在求解有二项式关系数的和等问题时通常会将二项式展开式中的未知数x赋值为1或0或者是进行求解本题属于基础题型．
9.已知随机变量服从正态分布，且，则（ ）
A. 0.4 B. 0.5 C. 0.6 D. 0.7
【答案】A
【解析】
∵P（x≤6）=0.9，
∴P（x＞6）=1﹣0.9=0.1．
∴P（x＜0）=P（x＞6）=0.1，
∴P（0＜x＜3）=0.5﹣P（x＜0）=0.4．
故答案为A．
10.已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布，从中随机取一件，其长度误差落在区间（3,6）内的概率为（ ）
（附：若随机变量ξ服从正态分布，则，
．）
A. 4.56% B. 13.59% C. 27.18% D. 31.74%
【答案】B
【解析】
试题分析：由题意
故选B．
考点：正态分布
11.已知函数在定义域上是减函数，且，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
利用函数的单调性和定义域得出不等关系组，即得解.
【详解】已知函数在定义域上是减函数，且，
故选：B
【点睛】
本题考查了利用函数的单调性解不等式，考查了学生转化划归，数学运算能力，属于基础题.
12.已知奇函数在时的图象如图所示，则不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据图象及奇函数的性质判断在各个区间的正负，再结合与异号，即得解.
【详解】由图像可知在时，在，；在，；
由为奇函数，图象关于原点对称，
在时，在，；在，；
又，在时与同号，在时与异号
故不等式的解集为：
故选：C
【点睛】本题考查了函数的奇偶性在解不等式中的应用，考查了学生数形结合，转化划归的能力，属于中档题.
13.已知满足对，，且时，，则的值为
A. B. 0 C. 1 D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意，分析可得是周期为2的周期函数，则
，结合函数的解析式分析可得答案.
【详解】根据题意，满足对，，则是周期为2的周期函数，
则，
故选：C.
【点睛】本题考查函数的周期性和对数的运算，注意分析函数的周期，属于基础题.
14.的展开式中的系数为（ ）
A. 6 B. 18 C. 24 D. 30
【答案】B
【解析】
【分析】
分析中的系数,再结合分析即可.
【详解】中含的项为,含的项为.故展开式中含的项为.
故选：B
【点睛】本题主要考查了二项式定理求解特定项的系数,需要分情况讨论求和.属于基础题.
15.已知的展开式中第5项与第8项的二项式系数相等，记展开式中系数最大的项为第k项，则k＝( )
A. 6 B. 7 C. 6或7 D. 5或6
【答案】B
【解析】
【分析】
由的展开式中第5项与第8项的二项式系数相等可得，然后运用通项求出系数最大项
【详解】∵的展开式中第5项与第8项的二项式系数相等，
所以，
第项系数为，时最大，
故展开式中系数最大的项为第7项．
故选.
【点睛】本题主要考查了二项式定理，属于基础题．分清二项式系数与项的系数，这是本题的易错点，所要求的是项的系数的最大值，而不是二项式系数的最大值．
16.投掷一枚均匀的骰子两次，则在第一次投掷出奇数的前提下，第二次掷出的点数为大于4的概率为
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
利用条件概率得，的值，由即可求解.
【详解】假设第一次投掷的点数是奇数为事件A，第二次掷出的点数大于4为事件B，
则，，因此.
故选A.
【点睛】本题考查条件概率的求法，解题时要认真审题，注意条件概率计算公式的合理运用，是基础题.
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
17.二项式展开式中含项的系数是________（用数字回答）.
【答案】40
【解析】
【分析】
利用二项式展开式的通项公式进行求解即可.
【详解】二项式展开式的通项公式为：.
令，所以二项式展开式中含项的系数是.
故答案为：
【点睛】本题考查了求二项式展开式中某项问题，考查了数学运算能力，属于基础题.
18.的展开式中的系数为__________．
【答案】
【解析】
【分析】
利用二项式定理的通项公式即可得出．
【详解】将原式子化为：（y+x2+x）5其展开式中，通项公式Tr+1y5﹣r（x2+x）r，
令5﹣r＝3，解得r＝2．
（x2+x）2＝x4+2x3+x2，5个括号里有2个出的是x2+x，
∴x3y3的系数为220，
故答案为20．
【点睛】本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略：(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第项，再由特定项的特点求出值即可；(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第项，由特定项得出值，最后求出其参数.
19.将10个志愿者名额分配给4个学校，要求每校至少有一个名额，则不同的名额分配方法共有______种.用数字作答
【答案】84
【解析】
【分析】
根据题意，用隔板法分析：先将将10个名额排成一列，在空位中插入3个隔板，由组合数公式计算即可得答案.
【详解】根据题意，将10个名额排成一列，排好后，除去2端，有9个空位，
在9个空位中插入3个隔板，可将10个名额分成4组，依次对应4个学校，
则有种分配方法，
故答案为：84.
【点睛】本题考查组合数公式的应用，注意10
个名额之间是相同的，运用隔板法求解，属于基础题.
20.定义运算，已知函数，则的最大值为________
【答案】1
【解析】
【分析】
先画出函数的图象与的图象，然后根据新的定义找出函数的图象，结合图象一目了然，即可求出的最大值.
【详解】
在同一坐标系中画出函数的图象与的图象，
令，得或，由图可得：当时，函数取最大值1，
故答案为：1.
【点睛】本题主要考查了二次函数与一次函数的图象，以及函数的最值及其几何意义等基础知识，利用数形结合法求解一目了然，属于中档题.
三、解答题（本大题共2小题，共20.0分）
21.为了解某校学生参加社区服务的情况，采用按性别分层抽样的方法进行调查．已知该校共有学生960人，其中男生560人，从全校学生中抽取了容量为n的样本，得到一周参加社区服务的时间的统计数据如下表：
超过1小时
不超过1小时
男
20
8
女
12
m
（1）求m，n；
（2）能否有95%的把握认为该校学生一周参加社区服务时间是否超过1小时与性别有关？
（3）以样本中学生参加社区服务时间超过1小时的频率作为该事件发生的概率，现从该校学生中随机调查6名学生，试估计6名学生中一周参加社区服务时间超过1小时的人数．
附：
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
【答案】（1），（2）没有95%的把握认为该校学生一周参加社区服务时间是否超过1小时与性别有关（3）估计这6名学生中一周参加社区服务时间超过1小时的人数是4人
【解析】
【分析】
（1）根据分层抽样比例列方程求出n的值，再计算m的值；
（2）根据题意完善2×2列联表，计算K2，对照临界值表得出结论；
（3）计算参加社区服务时间超过1小时的频率，用频率估计概率，计算所求的频数即可．
【详解】（1）根据分层抽样法，抽样比例为，
∴n＝48；
∴m＝48﹣20﹣8﹣12＝8；
（2）根据题意完善2×2列联表，如下；
超过1小时
不超过1小时
合计
男生
20
8
28
女生
12
8
20
合计
32
16
48
计算K20.6857＜3.841，
所以没有95%的把握认为该校学生一周参加社区服务时间是否超过1小时与性别有关；
（3）参加社区服务时间超过1小时的频率为，
用频率估计概率，从该校学生中随机调査6名学生，
估计这6名学生中一周参加社区服务时间超过1小时的人数为64（人）．
【点睛】本题考查了列联表与独立性检验的应用问题及用频率估计概率的应用问题，考查了运算能力，属于中档题．
22.某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随即抽取该流水线上40件产品作为样本算出他们的重量（单位：克）重量的分组区间为（490,，（495,，……（510,，由此得到样本的频率分布直方图，如图4所示．
（1）根据频率分布直方图，求重量超过505克的产品数量．
（2）在上述抽取的40件产品中任取2件，设Y为重量超过505克
的产品数量，求Y的分布列．
（3）从流水线上任取5件产品，求恰有2件产品合格的重量超过505克的概率．
【答案】12，
【解析】