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- 2021-06-05 发布
专题30 二项式定理易错点及赋值法妙用
一．【学习目标】
1．能用计数原理证明二项式定理；熟练掌握二项展开式的通项公式．
2．会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．
二．方法归纳
1.运用二项式定理一定要牢记通项Tr＋1＝Can－rbr，注意(a＋b)n与(b＋a)n虽然相同，但具体到它们展开式的某一项是不相同的，我们一定要注意顺序问题，另外二项展开式的二项式系数与该项的(字母)系数是两个不同概念，前者只指C，而后者是指字母外的部分.
2.求二项展开式中指定的项，通常是先根据已知条件求r，再求Tr＋1，有时还需先求n，再求r，才能求出Tr＋1.
3.有些三项展开式问题可以通过变形，变成二项式问题加以解决；有时也可以通过组合解决，但要注意分类清楚，不重不漏.
4.对于二项式系数问题，首先要熟记二项式系数的性质，其次要掌握赋值法，赋值法是解决二项式系数问题的一个重要手段.
5.近似计算首先要观察精确度，然后选取展开式中的若干项.
6.用二项式定理证明整除问题，一般将被除式变为有关除式的二项式的形式再展开，常采用“配凑法”，“消去法”配合整除的有关知识来解决.
三．【典例分析及训练】
（一）求常数项
例1．若二项式展开式中的第5项是常数，则自然数的值为（ ）
A．10 B．12 C．13 D．14
【答案】B
【解析】因为二项式展开式中的第5项是，
因为第5项是常数，所以，即.
故选B
练习1．若展开式的常数项为60，则值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为展开式的通项为，
令，则，所以常数项为，即，所以.
故选D
练习2．已知(1+x+x2)的展开式中没有常数项,n∈N+,且2≤n≤8,则n=( )
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
（二）求特殊项
例2.的展开式中的系数是
A．-5 B．10 C．-15 D．25
【答案】A
【解析】，
的通项公式为，其中r=0,1,2,3
的通项公式为，其中r=0,1,2,3,4,5
∴展开式中的系数是,
故选：A
【点睛】求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略
(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第r＋1项，再由特定项的特点求出r值即可.
(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第r＋1项，由特定项得出r值，最后求出其参数.
练习1．的展开式中的系数是( )
A．90 B． C．15 D．
【答案】B
【解析】，而的二项式系数满足
因而的系数为，故选B。
（六）杨辉三角
例6．将杨辉三角中的奇数换成1,偶数换成0,便可以得到如图的“0-1三角”.在“0-1三角”中,从第1行起,设第n(n∈N+)次出现全行为1时,1的个数为an,则a3等于 ( )
A．26 B．27 C．7 D．8
【答案】D
【解析】第行和第行全是，已经出现了次，依题意，第行原来的数是，而为偶数，不合题意；第行原来的数是，即全为奇数，一共有个，全部转化为，这是第三次出现全为的情况.故选D.
（七）求系数之和
例7．(1+x)+(1+x)2+…+(1+x)n的展开式中各项系数和为( )
A．2n+1 B．2n-1 C．2n+1-1 D．2n+1-2
【答案】D
【解析】令，代入表达式化简得，故选D.
【点睛】本小题主要考查展开式各项系数和的求法，考查等比数列的前项和公式，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.要求展开式中各项的系数和，主要采用的是赋值法，也即是令，由此求得的结果就是各项系数的和.要在表达式中识别出等比数列，并利用等比数列的前项和公式进行求和.
练习1．若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
令得，令得
，故选：C．
练习2． 的值为（ ）
A．0 B．2 C．－1 D．1
【答案】D
【解析】令，则，
令，则，
因此
，选D.
点睛：“赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，对形如的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法， 只需令即可；对形如的式子求其展开式各项系数之和，只需令即可.
（八）系数的绝对值
例8．设，则的值为 （ ）
A．－7 B． C．2 D．7
【答案】D
练习1若，则（ ）
A． B．1 C．0 D．
【答案】D
【解析】已知，根据二项式展开式的通项得到第r+1项是，故当r为奇数时，该项系数为负，故原式令x=-1代入即可得到.
故答案为：D.
（九）二项式定理综合
例9．在的展开式中，项的系数等于264，则等于
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】（a）12的展开式的通项为．
由，得r＝10．∴，解得a＝﹣2（舍）或a＝2．
∴（2x）dx（lnx+x2）ln2+4﹣ln1﹣1＝ln2+3．故选：B．
练习1．已知，则等于
A．63 B．64 C．31 D．32
【答案】A
【解析】逆用二项式定理得，即3n＝36，所以n＝6，
所以.
故选A.
练习2．已知函数, 则（ ）
A．0 B． C．1009 D．2018
【答案】C
【解析】．
∵，，，…．
∴，，，…．
∴，故选C．
练习3．若(2x＋1)11＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋a11(x＋1)11，则等于( )
A．0 B．1 C． D．12
【答案】A
【解析】由题意，得，则，
即，
令，得，
令，则，则；故选A.
（十）计数原理与二项式
例10．的展开式中含的项的系数为（ ）
A．30 B．60 C．90 D．120
【答案】B
【点睛】
本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.
练习1．在的展开式中，记项的系数为，则＋＋ ＋＝( )
A．45 B．60 C．120 D．210
【答案】C
【解析】（1+x）6（1+y）4的展开式中，含x3y0的系数是：=20．f（3，0）=20；
含x2y1的系数是=60，f（2，1）=60；含x1y2的系数是=36，f（1，2）=36；
含x0y3的系数是=4，f（0，3）=4；∴f（3，0）+f（2，1）+f（1，2）+f（0，3）=120．
故选：C．
练习2．在的展开式中，含项的系数为（ ）
A．45 B．55 C．120 D．165
【答案】D
【解析】的展开式中含项的系数为
故选D.
练习3．的展开式中，的系数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由，
得含的项为，
中的项为
系数为
故选B.
练习4．（2015新课标全国卷I理科）的展开式中，的系数为
A．10 B．20 C．30 D． 60
【答案】C
【解析】的展开式的通项为令的通项为令则，的展开式中，的系数为=30.故选C．
【名师点睛】本题利用排列组合求多项展开式式某一项的系数，试题形式新颖，是中档题，求多项式展开式中某一项的系数问题，先分析该项的构成，结合所给多项式，分析如何得到该项，再利用排列组知识求解.
练习5．二项式展开式的常数项为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为=,
所以，
因此常数项为展开式中常数项：，选B.
点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略
(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第项，再由特定项的特点求出值即可.
(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第项，由特定项得出值，最后求出其参数.
（十一）整除问题
例11．设n∈N+,则7+72+…+7n除以9的余数为 ( )
A．0 B．2 C．7 D．0或7
【答案】D
【解析】7 9,当为偶数时,余数为0,当为奇数时,余数为7，故选D.
练习1．可以整除（其中）的是（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
【答案】C
【解析】
.
故能整除（其中）的是11.
故选C .
练习2．除以的余数是 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】： ，
即除以100的余数为41，故选B.
（十二）数学文化
例12．中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究．设
为整数，若和被除得的余数相同，则称和对模同余，记为．若，，则的值可以是
A．2015 B．2016 C．2017 D．2018
【答案】C
【解析】由题意可得：，结合二项式定理可得：
，
计算的数值如下表所示：
底数
指数
幂值
5
1
5
5
2
25
5
3
125
5
4
625
5
5
3125
5
6
15625
5
7
78125
5
8
390625
5
9
1953125
5
10
9765625
据此可猜想最后三位数字为，则：除以8的余数为1，
所给选项中，只有2017除以8的余数为1，
则的值可以是2017.
本题选择C选项.
（十三）导数与二项式
例13．展开式中， 项的系数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C