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- 2021-06-05 发布
2016-2017学年山东省济宁市曲阜师大附中高二（上）第一次质检数学试卷
一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．cos75°cos15°﹣sin75°sin15°的值是（ ）
A．0 B． C． D．﹣
2．已知等比数列{an}满足：a2=2，a5=，则公比q为（ ）
A．﹣ B． C．﹣2 D．2
3．在△ABC中，已知a=，b=，A=30°，则c等于（ ）
A． B． C．或 D．以上都不对
4．在△ABC中，A=120°，b=1，△ABC的面积为，则=（ ）
A． B． C． D．
5．设Sn为等差数列{an}的前n项和，S8=4a1，a7=﹣2，则a9=（ ）
A．﹣6 B．﹣4 C．﹣2 D．2
6．在等比数列{an}中，若a4a6a8a10a12=32，则的值为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
7．在等差数列{an}中，|a3|=|a9|，公差d＜0，则使前n项和Sn取得最大值时的自然数n的值为（ ）
A．4或5 B．5或6 C．6或7 D．不存在
8．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若（a2+c2﹣b2）tanB=ac，则角B的值为（ ）
A． B． C．或 D．或
9．已知{an}是等比数列，a2=2，a5=，则a1a2+a2a3+…+anan+1=（ ）
A．16（1﹣4﹣n） B．16（1﹣2﹣n） C．（1﹣4﹣n） D．（1﹣2﹣n）
10．已知数列{an}满足a1=0，an+1=an+2n，那么a2017的值是（ ）
A．20162 B．2014×2015 C．2015×2016 D．2016×2017
11．若，α是第三象限的角，则=（ ）
A． B． C．2 D．﹣2
12．已知D、C、B三点在地面同一直线上，DC=a，从C、D两点测得A的点仰角分别为α、β（α＞β），则A点离地面的高AB等于（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在答题卡的相应位置上．）
13．在△ABC中，若sinAcosA=sinBcosB，则△ABC形状为 ．
14．数列{an}的前n项和Sn=3n2﹣2n，则它的通项公式是 ．
15．﹣的值是 ．
16．设{an}为等比数列，下列命题正确的有 （写出所有正确命题的序号）
①设，则 {bn}为等比数列；
②若an＞0，设cn=lnan，则 {cn}为等差数列；
③设{an}前n项和为Sn，则Sn，S2n﹣Sn，S3n﹣S2n成等比数列；
④设{an}前n项积为Tn，则．
三、解答题：（本大题共6小题，共74分．）
17．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c．角A，B，C成等差数列．
（Ⅰ）求cosB的值；
（Ⅱ）边a，b，c成等比数列，求sinAsinC的值．
18．已知f（x）=4cosxsin（x+）﹣1．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求f（x）在区间[﹣，]上的最大值和最小值．
19．已知{an}是公差为3的等差数列，数列{bn}满足b1=1，b2=，anbn+1+bn+1=nbn．
（Ⅰ）求{an}的通项公式；
（Ⅱ）求{bn}的前n项和．
20．在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2asinB=b．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）若a=6，b+c=8，求△ABC的面积．
21．已知等差数列{an}中，公差d＞0，又a2•a3=15，a1+a4=8．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）记数列bn=an•2n，数列{bn}的前n项和记为Sn，求Sn．
22．Sn为数列{an}的前n项和，已知an＞0，an2+2an=4Sn+3
（I）求{an}的通项公式；
（Ⅱ）设bn=，求数列{bn}的前n项和．
2016-2017学年山东省济宁市曲阜师大附中高二（上）第一次质检数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．cos75°cos15°﹣sin75°sin15°的值是（ ）
A．0 B． C． D．﹣
【考点】两角和与差的余弦函数．
【分析】由两角和的余弦公式的逆用，再由特殊角的三角函数值，即可得到．
【解答】解：cos75°•cos15°﹣sin75°sin15°
=cos（75°+15°）
=cos90°=0．
故选A．
2．已知等比数列{an}满足：a2=2，a5=，则公比q为（ ）
A．﹣ B． C．﹣2 D．2
【考点】等比数列的通项公式．
【分析】利用等比数列通项公式求解．
【解答】解：∵等比数列{an}满足：a2=2，a5=，
∴2q3=，
解得q=．
故选：B．
3．在△ABC中，已知a=，b=，A=30°，则c等于（ ）
A． B． C．或 D．以上都不对
【考点】正弦定理．
【分析】由a，b及cosA的值，利用余弦定理即可列出关于c的一元二次方程，求出方程的解即可得到c的值．
【解答】解：由，利用余弦定理得：
=+c2﹣2c×，即c2﹣3c+10=0，
因式分解得：（c﹣2）（c﹣）=0，解得：c=2或．
故选C
4．在△ABC中，A=120°，b=1，△ABC的面积为，则=（ ）
A． B． C． D．
【考点】正弦定理的应用．
【分析】根据三角形的面积公式，由A的度数，b的值和面积的值即可求出c的值，然后利用余弦定理，由A的度数，a与c的值即可求出a的值，利用正弦定理得到所求的式子等于a比sinA，把a的值和sinA的值代入即可求出值．
【解答】解：由A=120°，b=1，面积为，
得到S=bcsinA=c•=，解得c=4，
根据余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA=1+16+4=21，解得a=，
根据正弦定理得： ==，
则===2．
故选D．
5．设Sn为等差数列{an}的前n项和，S8=4a1，a7=﹣2，则a9=（ ）
A．﹣6 B．﹣4 C．﹣2 D．2
【考点】等差数列的性质．
【分析】设出等差数列的公差，由题意列式求得首项和公差，代入等差数列的通项公式得答案．
【解答】解：设等差数列{an}的公差为d，由S8=4a1，a7=﹣2，得
，解得：，
∴a9=a1+8d=﹣14+8×2=2．
故选：D．
6．在等比数列{an}中，若a4a6a8a10a12=32，则的值为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【考点】等比数列的性质．
【分析】根据等比数列的性质可得a4a12=a6a10=a82，化简已知的等式，求出a8的值，再根据等比数列的性质得a8•a12=a102，变形可得所求式子的值．
【解答】解：∵a4a6a8a10a12=a85=32，
∴a8=2，又a8•a12=a102，
则=a8=2．
故选：C．
7．在等差数列{an}中，|a3|=|a9|，公差d＜0，则使前n项和Sn取得最大值时的自然数n的值为（ ）
A．4或5 B．5或6 C．6或7 D．不存在
【考点】等差数列的前n项和；数列的函数特性．
【分析】根据|a3|=|a9|，可两端平方，得到首项a1与公差d的关系，从而可求得通项公式an，利用即可求得前n项和Sn取得最大值时的自然数n 的值．
【解答】解：根据题意可得a32=a92即（a1+2d）2=（a1+8d）2，∴a1=﹣5d，∴an=（n﹣6）d（d＜0），
由解得5≤n≤6．
故选B．
8．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若（a2+c2﹣b2）tanB=ac，则角B的值为（ ）
A． B． C．或 D．或
【考点】余弦定理的应用．
【分析】通过余弦定理及，求的sinB的值，又因在三角形内，进而求出B．
【解答】解：由
∴，即
∴，又在△中所以B为或
故选D
9．已知{an}是等比数列，a2=2，a5=，则a1a2+a2a3+…+anan+1=（ ）
A．16（1﹣4﹣n） B．16（1﹣2﹣n） C．（1﹣4﹣n） D．（1﹣2﹣n）
【考点】等比数列的前n项和．
【分析】首先根据a2和a5求出公比q，根据数列{anan+1}每项的特点发现仍是等比数列，且首项是a1a2=8，公比为．进而根据等比数列求和公式可得出答案．
【解答】解：由，解得．
数列{anan+1}仍是等比数列：其首项是a1a2=8，公比为，
所以，
故选：C．
10．已知数列{an}满足a1=0，an+1=an+2n，那么a2017的值是（ ）
A．20162 B．2014×2015 C．2015×2016 D．2016×2017
【考点】数列递推式．
【分析】由已知条件，利用累加法以及等差数列求和能求出a2017．
【解答】解：∵数列{an}满足a1=0，an+1=an+2n，
∴an+1﹣an=2n，
∴a2017=a1+a2﹣a1+a3﹣a2+…+a2017﹣a2016
=0+2+4+…+2016×2
=
=2016×2017．
故选：D．
11．若，α是第三象限的角，则=（ ）
A． B． C．2 D．﹣2
【考点】半角的三角函数；弦切互化．
【分析】将欲求式中的正切化成正余弦，还要注意条件中的角α与待求式中角的差别，注意消除它们之间的不同．
【解答】解：由，α是第三象限的角，
∴可得，
则，
应选A．
12．已知D、C、B三点在地面同一直线上，DC=a，从C、D两点测得A的点仰角分别为α、β（α＞β），则A点离地面的高AB等于（ ）
A． B．
C． D．
【考点】解三角形的实际应用．
【分析】先分别在直角三角形中表示出DB，BC，根据DC=DB﹣BC列等式求得AB．
【解答】解：依题意知，BC=，BD=，
∴DC=DB﹣BC=AB（﹣）=a，
∴AB=，
故选：A．
二、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在答题卡的相应位置上．）
13．在△ABC中，若sinAcosA=sinBcosB，则△ABC形状为 等腰或直角三角形 ．
【考点】三角形的形状判断．
【分析】已知等式两边利用二倍角的正弦函数公式化简得到sin2A=sin2B，确定出A与B的关系，即可做出判断．
【解答】解：∵在△ABC中，A，B，C为内角，且sinAcosA=sinBcosB，
∴sin2A=sin2B，即sin2A=sin2B，
∴2A+2B=180°或2A=2B，
整理得：A+B=90°或A=B，
则△ABC为等腰或直角三角形．
故答案为：等腰或直角三角形．
14．数列{an}的前n项和Sn=3n2﹣2n，则它的通项公式是 an=6n﹣5 ．
【考点】等差数列的通项公式．
【分析】由给出的数列的前n项和公式，分n=1和n≥2分类求解，然后验证n≥时的通项公式是否满足a1即可．
【解答】解：由数列{an}的前n项和Sn=3n2﹣2n，
当n=1时，；
当n≥2时， =6n﹣5．
当n=1时an=6n﹣5成立．
∴数列{an}的通项公式是an=6n﹣5．
故答案为：an=6n﹣5．
15．﹣的值是 4 ．
【考点】三角函数的化简求值．
【分析】通分后，根据特殊角的三角函数值及三角函数恒等变换的应用化简即可．
【解答】解：﹣====4．
故答案为：4．
16．设{an}为等比数列，下列命题正确的有 ①②④ （写出所有正确命题的序号）
①设，则 {bn}为等比数列；
②若an＞0，设cn=lnan，则 {cn}为等差数列；
③设{an}前n项和为Sn，则Sn，S2n﹣Sn，S3n﹣S2n成等比数列；
④设{an}前n项积为Tn，则．
【考点】等比数列的通项公式；等比数列的前n项和．
【分析】由等比数列的通项公式和求和公式，逐个选项验证即可．
【解答】解：①设等比数列{an}的公比为q，，
则==（）2=q2，为常数
∴{bn}是公比为q2的等比数列，正确；
②当an＞0，cn=lnan时，cn+1﹣cn
=lnan+1﹣lnan=ln=lnq，为常数
∴{an}是公差为lnq的等差数列，正确；
③举反例an=（﹣1）n，则S2=0，显然不能成等比数列，错误；
④设{an}前n项积为Tn，则Tn=a1a2a3…an，
∴Tn2=（a1a2a3…an）2=[]2=（a1an）n，正确．
故答案为：①②④
三、解答题：（本大题共6小题，共74分．）
17．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c．角A，B，C成等差数列．
（Ⅰ）求cosB的值；
（Ⅱ）边a，b，c成等比数列，求sinAsinC的值．
【考点】数列与三角函数的综合．
【分析】（Ⅰ）在△ABC中，由角A，B，C成等差数列可知B=60°，从而可得cosB的值；
（Ⅱ）（解法一），由b2=ac，cosB=，结合正弦定理可求得sinAsinC的值；
（解法二），由b2=ac，cosB=，根据余弦定理cosB=可求得a=c，从而可得△ABC为等边三角形，从而可求得sinAsinC的值．
【解答】解：（Ⅰ）由2B=A+C，A+B+C=180°，解得B=60°，
∴cosB=；…6分
（Ⅱ）（解法一）
由已知b2=ac，根据正弦定理得sin2B=sinAsinC，
又cosB=，
∴sinAsinC=1﹣cos2B=…12分
（解法二）
由已知b2=ac及cosB=，
根据余弦定理cosB=解得a=c，
∴B=A=C=60°，
∴sinAsinC=…12分
18．已知f（x）=4cosxsin（x+）﹣1．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求f（x）在区间[﹣，]上的最大值和最小值．
【考点】三角函数的周期性及其求法；两角和与差的余弦函数；三角函数的最值．
【分析】（Ⅰ）利用两角和公式和二倍角公式对函数的解析式进行化简整理后，利用正弦函数的性质求得函数的最小正周期．
（Ⅱ）利用x的范围确定2x+的范围，进而利用正弦函数的单调性求得函数的最大和最小值．
【解答】解：（Ⅰ）∵，
=4cosx（）﹣1
=sin2x+2cos2x﹣1
=sin2x+cos2x
=2sin（2x+），
所以函数的最小正周期为π；
（Ⅱ）∵﹣≤x≤，
∴﹣≤2x+≤，
∴当2x+=，即x=时，f（x）取最大值2，
当2x+=﹣时，即x=﹣时，f（x）取得最小值﹣1．
19．已知{an}是公差为3的等差数列，数列{bn}满足b1=1，b2=，anbn+1+bn+1=nbn．
（Ⅰ）求{an}的通项公式；
（Ⅱ）求{bn}的前n项和．
【考点】数列递推式．
【分析】（Ⅰ）令n=1，可得a1=2，结合{an}是公差为3的等差数列，可得{an}的通项公式；
（Ⅱ）由（1）可得：数列{bn}是以1为首项，以为公比的等比数列，进而可得：{bn}的前n项和．
【解答】解：（Ⅰ）∵anbn+1+bn+1=nbn．
当n=1时，a1b2+b2=b1．
∵b1=1，b2=，
∴a1=2，
又∵{an}是公差为3的等差数列，
∴an=3n﹣1，
（Ⅱ）由（I）知：（3n﹣1）bn+1+bn+1=nbn．
即3bn+1=bn．
即数列{bn}是以1为首项，以为公比的等比数列，
∴{bn}的前n项和Sn==（1﹣3﹣n）=﹣．
20．在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2asinB=b．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）若a=6，b+c=8，求△ABC的面积．
【考点】正弦定理；余弦定理．
【分析】（Ⅰ）利用正弦定理化简已知等式，求出sinA的值，由A为锐角，利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数；
（Ⅱ）由余弦定理列出关系式，再利用完全平方公式变形，将a，b+c及cosA的值代入求出bc的值，再由sinA的值，利用三角形面积公式即可求出三角形ABC的面积．
【解答】解：（Ⅰ）由2asinB=b，利用正弦定理得：2sinAsinB=sinB，
∵sinB≠0，∴sinA=，
又A为锐角，
则A=；
（Ⅱ）由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bc•cosA，即36=b2+c2﹣bc=（b+c）2﹣3bc=64﹣3bc，
∴bc=，又sinA=，
则S△ABC=bcsinA=．
21．已知等差数列{an}中，公差d＞0，又a2•a3=15，a1+a4=8．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）记数列bn=an•2n，数列{bn}的前n项和记为Sn，求Sn．
【考点】数列的求和；数列递推式．
【分析】（I）利用等差数列的通项公式即可得出．
（II）bn=an•2n=（2n﹣1）•2n．利用“错位相减法”与等比数列的求和公式即可得出．
【解答】解：（Ⅰ）由题意得，解方程组得：或，又d＞0，∴，
∴d=2，∴an=2n﹣1．
（Ⅱ）bn=an•2n=（2n﹣1）•2n．
，
则，
两式错位相减得：
==﹣6+（3﹣2n）•2n+1，
∴．
22．Sn为数列{an}的前n项和，已知an＞0，an2+2an=4Sn+3
（I）求{an}的通项公式；
（Ⅱ）设bn=，求数列{bn}的前n项和．
【考点】数列的求和；数列递推式．
【分析】（I）通过an2+2an=4Sn+3与an+12+2an+1=4Sn+1+3作差可知an+1﹣an=2，进而可知数列{an}是以3为首项、2为公差的等差数列，计算即得结论；
（Ⅱ）通过（I）可知an=2n+1，裂项可知bn=（﹣），并项相加即得结论．
【解答】解：（I）∵an2+2an=4Sn+3，
∴an+12+2an+1=4Sn+1+3，
两式相减得：an+12﹣an2+2an+1﹣2an=4an+1，
整理得：an+12﹣an2=2（an+1+an），
又∵an＞0，
∴an+1﹣an=2，
又∵a12+2a1=4a1+3，
∴a1=3或a1=﹣1（舍），
∴数列{an}是以3为首项、2为公差的等差数列，
∴an=3+2（n﹣1）=2n+1；
（Ⅱ）由（I）可知an=2n+1，
∴bn===（﹣），
∴数列{bn}的前n项和为：（﹣+﹣+…+﹣）
=（﹣）
=•．