2019年高考数学高分突破复习练习专题一 第2讲 15页

第 2 讲 三角恒等变换与解三角形 高考定位 1.三角函数的化简与求值是高考的命题热点，其中关键是利用两角和 与差、二倍角的正弦、余弦、正切公式等进行恒等变换，“角”的变换是三角恒等 变换的核心；2.正弦定理与余弦定理以及解三角形问题是高考的必考内容，主要 考查边、角、面积的计算及有关的范围问题. 真 题 感 悟 1.(2018·全国Ⅱ卷)在△ABC 中，cos C 2 ＝ 5 5 ，BC＝1，AC＝5，则 AB＝( ) A.4 2 B. 30 C. 29 D.2 5 解析 因为 cos C 2 ＝ 5 5 ，所以 cos C＝2cos2 C 2 －1＝2× 5 5 2 －1＝－3 5. 于是，在△ABC 中，由余弦定理得 AB2＝AC2＋BC2－2AC×BC×cos C＝52＋12－ 2×5×1× －3 5 ＝32.所以 AB＝4 2. 答案 A 2.(2017·全国Ⅰ卷)已知α∈ 0，π 2 ，tan α＝2，则 cos α－π 4 ＝________. 解析 ∵α∈ 0，π 2 ，且 tan α＝2，∴sin α＝2 cos α， 又 sin 2α＋cos2α＝1，所以 sin α＝2 5 5 ，cos α＝ 5 5 . 所以 cos α－π 4 ＝ 2 2 (cos α＋sin α)＝3 10 10 . 答案 3 10 10 3.(2018·全国Ⅰ卷)在平面四边形 ABCD 中，∠ADC＝90°，∠A＝45°，AB＝2，BD ＝5. (1)求 cos∠ADB； (2)若 DC＝2 2，求 BC. 解 (1)在△ABD 中，由正弦定理得 BD sin∠A ＝ AB sin∠ADB ，即 5 sin 45° ＝ 2 sin∠ADB ， 所以 sin∠ADB＝ 2 5 . 由题设知，∠ADB<90°， 所以 cos∠ADB＝ 1－ 2 25 ＝ 23 5 . (2)由题设及(1)知，cos∠BDC＝sin∠ADB＝ 2 5 . 在△BCD 中，由余弦定理得 BC2＝BD2＋DC2－2·BD·DC·cos∠BDC ＝25＋8－2×5×2 2× 2 5 ＝25. 所以 BC＝5. 4.(2018·浙江卷)已知角α的顶点与原点 O 重合，始边与 x 轴的非负半轴重合，它的 终边过点 P －3 5 ，－4 5 . (1)求 sin(α＋π)的值； (2)若角β满足 sin(α＋β)＝ 5 13 ，求 cos β的值. 解 (1)由角α的终边过点 P －3 5 ，－4 5 ， 得 sin α＝－4 5 ， 所以 sin(α＋π)＝－sin α＝4 5. (2)由角α的终边过点 P －3 5 ，－4 5 ，得 cos α＝－3 5 ， 由 sin(α＋β)＝ 5 13 ，得 cos(α＋β)＝±12 13. 由β＝(α＋β)－α得 cos β＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α， 所以 cos β＝－56 65 或 cos β＝16 65. 考 点 整 合 1.三角函数公式 (1)两角和与差的正弦、余弦、正切公式： sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β； cos(α±β)＝cos αcos β ∓ sin αsin β； tan(α±β)＝ tan α±tan β 1 ∓ tan αtan β. (2)二倍角公式：sin 2α＝2sin αcos α，cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α. (3)辅助角公式：asin x＋bcos x＝ a2＋b2sin(x＋φ)，其中 tan φ＝b a. 2.正弦定理、余弦定理、三角形面积公式 (1)正弦定理 在△ABC 中， a sin A ＝ b sin B ＝ c sin C ＝2R(R 为△ABC 的外接圆半径)； 变形：a＝2Rsin A，sin A＝ a 2R ， a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C 等. (2)余弦定理 在△ABC 中，a2＝b2＋c2－2bccos A； 变形：b2＋c2－a2＝2bccos A，cos A＝b2＋c2－a2 2bc . (3)三角形面积公式 S△ABC＝1 2absin C＝1 2bcsin A＝1 2acsin B. 热点一 三角恒等变换及应用 【例 1】 (2018·江苏卷)已知α，β为锐角，tan α＝4 3 ，cos(α＋β)＝－ 5 5 . (1)求 cos 2α的值； (2)求 tan(α－β)的值. 解 (1)因为 tan α＝4 3 ，tan α＝sin α cos α ， 所以 sin α＝4 3cos α. 因为 sin2α＋cos2α＝1，所以 cos2α＝ 9 25 ， 因此，cos 2α＝2cos2α－1＝－ 7 25. (2)因为α，β为锐角，所以α＋β∈(0，π). 又因为 cos(α＋β)＝－ 5 5 ， 所以 sin(α＋β)＝ 1－cos2（α＋β）＝2 5 5 ， 因此 tan(α＋β)＝－2. 因为 tan α＝4 3 ，所以 tan 2α＝ 2tan α 1－tan2α ＝－24 7 ， 因此，tan(α－β)＝tan[2α－(α＋β)]＝ tan 2α－tan（α＋β） 1＋tan 2αtan（α＋β） ＝－ 2 11. 探究提高 1.三角恒等变换的基本思路：找差异，化同角(名)，化简求值. 2.解决条件求值问题的三个关注点 (1)分析已知角和未知角之间的关系，正确地用已知角来表示未知角. (2)正确地运用有关公式将所求角的三角函数值用已知角的三角函数值来表示. (3)求解三角函数中给值求角的问题时，要根据已知求这个角的某种三角函数值， 然后结合角的取值范围，求出角的大小. 【训练 1】 (1)(2018·广西三市联考)已知 x∈(0，π)，且 cos 2x－π 2 ＝sin2x，则 tan x－π 4 等于( ) A.1 3 B.－1 3 C.3 D.－3 (2)若 cos(2α－β)＝－11 14 ，sin(α－2β)＝4 3 7 ，0<β<π 4<α<π 2 ，则α＋β的值为________. 解析 (1)由 cos 2x－π 2 ＝sin2x 得 sin 2x＝sin2x， 又 x∈(0，π)，则 tan x＝2， 故 tan x－π 4 ＝tan x－1 1＋tan x ＝1 3. (2)因为 cos(2α－β)＝－11 14 且π 4<2α－β<π， 所以 sin(2α－β)＝5 3 14 . 因为 sin(α－2β)＝4 3 7 且－π 4<α－2β<π 2 ， 所以 cos(α－2β)＝1 7. 所以 cos(α＋β)＝cos[(2α－β)－(α－2β)] ＝cos(2α－β)·cos(α－2β)＋sin(2α－β)sin(α－2β) ＝－11 14×1 7 ＋5 3 14 ×4 3 7 ＝1 2. 因为π 4<α＋β<3π 4 ，所以α＋β＝π 3. 答案 (1)A (2)π 3 热点二 正弦定理与余弦定理 考法 1 利用正(余)弦定理进行边角计算 【例 2－1】 (2018·潍坊一模)△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已 知(a＋2c)cos B＋bcos A＝0. (1)求 B； (2)若 b＝3，△ABC 的周长为 3＋2 3，求△ABC 的面积. 解 (1)由已知及正弦定理得 (sin A＋2sin C)cos B＋sin Bcos A＝0， (sin Acos B＋sin Bcos A)＋2sin Ccos B＝0， sin(A＋B)＋2sin Ccos B＝0， 又 sin(A＋B)＝sin C，且 C∈(0，π)，sin C≠0， ∴cos B＝－1 2 ，∵0