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- 2021-06-05 发布
2018-2019柘皋中学高二第一次月考
数 学 试 卷
时间：120′ 总分:150′
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）
1. 已知m，n表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（ ）
A. 若，，则 B. 若，，则
C. 若，，则 D. 若，，则
2. 将正方体（如图1所示）截去两个三棱锥，得到图2所示的几何体，则该几何体的左视图为（ ）
A. B. C. D.
3. 棱长为2的正方体的顶点都在同一个球面上，则球的表面积是（ ）
A. B. C. D.
4. 已知某几何体的三视图如图，则该几何体的表面积是（）
A. B.
C. D.
5. 设m，n是两条不同直线，α，β是两个不同的平面，下列命题正确的是（ ）
A. ，且，则
B. ，且，则
C. ，，，则
D. ，，，，则
6. 一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有下列结论：①AB⊥EF；②AB与CM成60°角；③EF与MN是异面直线；④MN∥CD，其中正确的是（ ）
A. B. C. D.
1. 若l为一条直线，α、β、γ为三个互不重合的平面，给出下面三个命题：
①α⊥γ，β⊥γ⇒α⊥β； ②α⊥γ，β∥γ⇒α⊥β； ③l∥α，l⊥β⇒α⊥β．
其中正确的命题有（ ）
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
2. PA垂直于正方形ABCD所在平面，连接PB，PC，PD，AC，BD，则下列垂直关系正确的是（ ）
①面PAB⊥面PBC ②面PAB⊥面PAD ③面PAB⊥面PCD ④面PAB⊥面PAC．
A. B.
C. D.
3. 已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中俯视图是等腰直角三角形，则该三棱锥的体积为（ ）
A. B. C. D.
4. 在下列四个正方体中，能得出AB⊥CD的是（ ）
A. B. C. D.
5. 如图，六棱锥P—ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，则下列结论不正确的是( )
A. 平面PAD B. 平面PAF
C. 平面PAB D. 平面PAF
6. 在我国古代数学名著《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑，如图，在鳖臑ABCD中，AB⊥平面BCD
，且AB=BC=CD，则异面直线AC与BD所成角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
1. 如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，这时圆柱、圆锥、球的体积之比为________.
2. 如图所示，一个三棱锥的三视图是三个直角三角形（单位：cm），则该三棱锥的外接球的表面积为______．
3. 如图，平面PAD⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，∠PAD=90°，且PA=AD=2，E，F分别是线段PA，CD的中点，则异面直线EF与BD所成角的余弦值为______ ．
4. 将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A-BD-C，有如下四个结论：
（1）AC⊥BD （2）AB与平面BCD成60°的角
（3）△ACD是等边三角形 （4）AB与CD所成的角为60°
正确结论的编号是______ ．
三、解答题（本大题共6小题，共70.0分.第17题10分，其他每题12分.）
5. 如图是一个几何体的三视图，其中正视图与左视图都是全等的腰为的等腰三角形，俯视图是边长为2的正方形，
正视图 左视图 俯视图
（1）画出该几何体；（2）求此几何体的表面积与体积．
1. 如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD=1，AA1=2，点P为DD1的中点．
（1）求证：直线BD1∥平面PAC；
（2）求证：平面PAC⊥平面BDD1；
（3）求直线PB1与平面PAC的夹角．
19如图，在三棱锥P-ABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点，已知PA⊥AC，PA=6，BC=8，DF=5．求证：
（1）直线PA∥平面DEF；
（2）平面BDE⊥平面ABC．
20如图，在四棱锥P-ABCD中，PC⊥平面ABCD，AB∥DC，DC⊥AC．
（1）求证：DC⊥平面PAC；（2）求证：平面PAB⊥平面PAC；
（3）设点E为AB的中点，在棱PB上是否存在点F，使得PA∥平面CEF？说明理由．
21.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，点M，N分别为线段A1B，B1C的中点．
（1）求证：MN∥平面AA1C1C；
（2）若∠ABC=90°，AB=BC=2，AA1=3，求点B1到面A1BC的距离．
22.如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC为正三角形，侧棱AA1⊥底面ABC．已知D是BC的中点，AB=AA1=2．
（Ⅰ）求证：平面AB1D⊥平面BB1C1C；
（Ⅱ）求证：A1C∥平面AB1D；
（Ⅲ）求三棱锥A1-AB1D的体积．和解析
1.【答案】B2.【答案】B3.【答案】B4.【答案】C5.【答案】B6.【答案】D7.【答案】C
8.【答案】A9.【答案】D10.【答案】A11.【答案】A12.【答案】A
13.【答案】3：1：2
14.【答案】29πcm2
15.【答案】
16.【答案】①③④
17.【答案】解：(1)该几何体的直观图如图所示：
(2)作斜高EF⊥BC，连接EO，OF，由正视图可知：EF=，
在Rt△EOF中：EO=，
∴S表面积=，
V=．
18.【答案】（1）证明：连接BD，交AC于O，则O为BD中点，连接OP，
∵P为DD1的中点，∴OP∥BD1，
∵OP⊂平面PAC，BD1⊄平面PAC，
∴BD1∥平面PAC；
（2）证明：长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD=1，底面ABCD是正方形，则AC⊥BD，
又DD1⊥面ABCD，则DD1⊥AC．
∵BD⊂平面BDD1B1，D1D⊂平面BDD1B1，BD∩D1D=D，
∴AC⊥面BDD1B1．∵AC⊂平面PAC，
∴平面PAC⊥平面BDD1；
（3）解：连接PB1，由（2）知，平面PAC⊥平面BDD1，
∴∠B1PO即为PB1与平面PAC的夹角，
在长方体ABCD-A1B1C1D1中，
∵AB=AD=1，AA1=2，∴OP=，，．
在△OPB1中，cos∠B1PO=．
∴直线PB1与平面PAC的夹角为．
19.【答案】证明：（1）∵D、E为PC、AC的中点，∴DE∥PA，
又∵PA⊄平面DEF，DE⊂平面DEF，
∴PA∥平面DEF；
（2）∵D、E为PC、AC的中点，∴DE=PA=3；
又∵E、F为AC、AB的中点，∴EF=BC=4；
∴DE2+EF2=DF2，
∴∠DEF=90°，
∴DE⊥EF；
∵DE∥PA，PA⊥AC，∴DE⊥AC；
∵AC∩EF=E，∴DE⊥平面ABC；
∵DE⊂平面BDE，∴平面BDE⊥平面ABC．
20.【答案】（1）证明：∵PC⊥平面ABCD，DC⊂平面ABCD，
∴PC⊥DC，
∵DC⊥AC，PC∩AC=C，
∴DC⊥平面PAC；
（2）证明：∵AB∥DC，DC⊥AC，
∴AB⊥AC，
∵PC⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，
∴PC⊥AB，
∵PC∩AC=C，
∴AB⊥平面PAC，
∵AB⊂平面PAB，
∴平面PAB⊥平面PAC
；
（3）解：在棱PB上存在中点F，使得PA∥平面CEF．
∵点E为AB的中点，
∴EF∥PA，
∵PA⊄平面CEF，EF⊂平面CEF，
∴PA∥平面CEF．
21.【答案】（1）证明：连接BC1，
∵四边形BCC1B1是平行四边形，N是B1C的中点，
∴N是BC1的中点，又M是A1B的中点，
∴MN∥A1C1，
又A1C1⊂平面AA1C1C，MN⊄平面AA1C1C，
∴MN∥平面AA1C1C．
（2）解：∵AB⊥BC，BB1⊥BC，AB∩BB1=B，
∴BC⊥平面ABB1A1，
∴V=S•BC==2，
又A1B==，∴S==．
设B1到平面A1BC的距离的距离为h，则V=•h=，
∵V=V，∴2=，∴h=．
∴点B1到面A1BC的距离为．
22.【答案】（Ⅰ）证明：因为△ABC为正三角形，且D是BC的中点，
所以AD⊥BC．
因为侧棱AA1⊥底面ABC，AA1∥BB1，
所以BB1⊥底面ABC．
又因为AD⊂底面ABC，所以BB1⊥AD．
而B1B∩BC=B，
所以AD⊥平面BB1C1C
．
因为AD⊂平面AB1D，所以平面AB1D⊥平面BB1C1C．
（Ⅱ）证明：连接A1B，设A1B∩AB1=E，连接DE．
由已知得，四边形A1ABB1为正方形，则E为A1B的中点．
因为D是BC的中点，
所以DE∥A1C．
又因为DE⊂平面AB1D，A1C⊄平面AB1D，
所以A1C∥平面AB1D．
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知A1C∥平面AB1D，
所以A1与C到平面AB1D的距离相等，
所以．
由题设及AB=AA1=2，得BB1=2，且．
所以，
所以三棱锥A1-AB1D的体积为．