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- 2021-06-04 发布
江苏省淮阴中学2019-2020学年度第一学期高二期末数学试题
一、选择题
1.抛物线的焦点到准线的距离是( )
A. 1 B. 2 C. 4 D. 8
【答案】C
【解析】
【分析】
先根据抛物线的方程求出的值，再根据抛物线的简单性质即可得到．
【详解】由，知＝4，而焦点到准线的距离就是．
故选C．
【点睛】本题主要考查了抛物线的简单性质．考查了学生对抛物线标准方程的理解和运用，属于基础题．
2.已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D. 且
【答案】C
【解析】
【分析】
根据焦点在轴上椭圆方程的特点可得不等式，解不等式求得结果.
【详解】表示焦点在轴上的椭圆 ，解得：
故选：
【点睛】本题考查根据方程表示椭圆及椭圆焦点位置求解参数范围的问题，属于基础题.
3.已知△ABC的顶点B、C在椭圆＋y2＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是( )
A. 2 B. 6 C. 4 D. 12
【答案】C
【解析】
【分析】
根据椭圆定义，椭圆上的点到两焦点距离之和为长轴长即可得解.
【详解】设另一焦点为，由题在BC边上，
所以周长
故选：C
【点睛】此题考查椭圆的几何意义，椭圆上的点到两焦点距离之和为定值，求解中要多观察图形的几何特征，将所求问题进行转化，简化计算.
4.若双曲线的左、右焦点分别为,,点在双曲线上,且,则等于（ ）
A. 11 B. 9 C. 5 D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】
根据双曲线方程可知，由双曲线定义构造方程求得结果.
【详解】由双曲线方程得：
由双曲线定义知：，解得：或（舍）
故选：
【点睛】本题考查双曲线定义的应用，属于基础题.
5.已知双曲线的一条渐近线过点，且双曲线的一个焦点在抛物线的准线上，则双曲线的方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
试题分析：双曲线的一条渐近线是，则①，抛物线的准线是，因此，即②，由①②联立解得，所以双曲线方程为．故选D．
考点：双曲线的标准方程．
6.已知双曲线：的一条渐近线方程为，且与椭圆有公共焦点，则的方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由双曲线渐近线方程可知；利用椭圆焦点坐标和双曲线中可构造方程求得，进而得到双曲线方程.
【详解】由双曲线渐近线方程知：，即
椭圆焦点坐标为
，解得：
双曲线的方程为
故选：
【点睛】本题考查双曲线方程的求解，涉及到双曲线渐近线方程、椭圆焦点坐标的求解等知识，属于基础题.
7.双曲线mx2＋y2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m的值为( )
A. 4 B. －4 C. － D.
【答案】C
【解析】
【分析】
先将双曲线方程化为标准形式，利用虚轴长是实轴长的倍列方程，解方程求得的值.
【详解】依题意，双曲线的标准方程为，即，由于虚轴长是实轴长的倍，所以，即，也即.故选C.
【点睛】本小题主要考查双曲线的标准方程，考查双曲线实轴和虚轴的概念，属于基础题.
8.过椭圆()的左焦点作轴的垂线交椭圆于点，为右焦点，若，则椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】根据题意，焦点在x轴上，
设
左焦点(-c，0)，故P坐标可求为(-c，±)
=2c，所以=
即有=
,
同时除以a²，,
求得
9.已知椭圆的离心率为，过右焦点且斜率为的直线与相交于两点．若，则
A. 1 B. C. D. 2
【答案】B
【解析】
因为，所以，从而，则椭圆方程为．依题意可得直线方程为，联立可得
设坐标分别为，则
因为，所以，从而有①
再由可得，根据椭圆第二定义可得，即②
由①②可得，所以，则，解得．因为，所以，故选B
10.已知、是椭圆的两个焦点，满足的点总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
设椭圆的半长轴、半短轴、半焦距分别为．因为所以点M的轨迹为以原点为圆心，半径为的圆．与因为点M在椭圆的内部，所以，所以，所以 ，所以 ，故选C．
【点睛】求离心率的值或范围就是找的值或关系．由想到点M的轨迹为以原点为圆心，半径为的圆．再由点M在椭圆的内部，可得，因为 ．所以由得，由关系求离心率的范围．
11.若双曲线（，）的一条渐近线被圆所截
得的弦长为2，则的离心率为 （ ）
A. 2 B. C. D.
【答案】A
【解析】
由几何关系可得，双曲线的渐近线方程为，圆心到渐近线距离为，则点到直线的距离为，
即，整理可得，双曲线的离心率．故选A．
点睛:双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a，c，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝c2－a2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．
12.椭圆的右焦点为，其右准线与轴的交点为，在椭圆上存在点满足线段的垂直平分线过点，则椭圆离心率的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
解：由题意，椭圆上存在点P，使得线段AP的垂直平分线过点F，即F点到P点与A点的距离相等
|FA|=
二.填空题
13.若双曲线的离心率为，则实数__________．
【答案】2
【解析】
，.渐近线方程是.
14.已知,满足，则的取值范围是_____.
【答案】
【解析】
【分析】
将已知方程整理为，可得其图象为半椭圆；将转化为半椭圆上的点与连线的取值范围；由图象可知下底限为，上限为直线与半椭圆相切的时候；假设切线方程，联立后利用求得切线斜率，从而得到所求的范围.
【详解】由得：，则其图象为如下图所示的半椭圆
可看做半椭圆上的点与连线的斜率
当如图所示的过的直线与椭圆相切时，设直线，
与椭圆方程联立得：
，解得：
半椭圆上的点与连线的斜率的取值范围为
故答案为：
【点睛】本题考查根据直线与椭圆的位置关系求解参数范围的问题，关键是能够明确所求式子的几何意义为曲线上的点与定点连线的斜率，利用数形结合的方式确定临界值，从而求得结果.
15.已知是椭圆的两个焦点，为椭圆上一点，且．若的面积为9，则_____．
【答案】3
【解析】
【分析】
由定义得|PF1|+|PF2|=2a，由得|PF1|2+|PF2|2=4c2， 由面积得|PF1||PF2|＝9，由此能得到b的值.
【详解】∵F1、F2是椭圆C：（a＞b＞0）的两个焦点，P为椭圆C上一点，且,∴|PF1|+|PF2|=2a，|PF1|2+|PF2|2=4c2， |PF1||PF2|＝9，∴（|PF1|+|PF2|）2=4c2+2|PF1||PF2|=4a2，∴36=4（a2-c2）=4b2，∴b=3．
故答案为3．
【点睛】主要考查椭圆的定义、基本性质和平面向量的知识，重点是三个方程的应用，属于基础题.
16.曲线是平面内与两个定点和的距离的积等于常数的点的轨迹,给出下列三个结论:
①曲线过坐标原点；
②曲线关于坐标原点对称;
③若点在曲线上,则,的面积不大于
其中，所有正确结论的序号是_____
【答案】②③
【解析】
分析】
首先结合两点间距离公式确定曲线的方程，不满足曲线方程，可知①错误；当在曲线上时，满足曲线方程，可知②正确；由三角形面积公式可知，由此可得，③正确.
【详解】设曲线上点的坐标为，则
①将代入曲线方程知： 曲线不过坐标原点，①错误；
②若在曲线上，将代入曲线方程，可知方程成立，则曲线关于坐标原点对称，②正确；
③，③正确.
故答案为：②③
【点睛】本题考查根据曲线方程研究曲线的性质，涉及到关于原点对称的点的特点、三角形面积公式的应用等知识，关键是能够通过已知的等量关系确定曲线的方程.
三、解答题
17.已知平面上的三点 、 、 .
（1）求以 、 为焦点且过点 的椭圆的标准方程；
（2）设点 、 、 关于直线 的对称点分别为 、 、 ，求以 、 为焦点且过点 的双曲线的标准方程.
【答案】（1） （2）.
【解析】
试题分析：(1)根据题意设出所求的椭圆的标准方程，然后代入半焦距，根据椭圆的定义求出，从而可得，进而可得椭圆的标准方程；（2）点 、 、 关于直线 的对称点分别为 、 、 .设所求双曲线的标准方程为
（ ， ）其半焦距 ，由双曲线定义得，得，从而可得，进而可得 、 为焦点且过点 的双曲线的标准方程.
试题解析：（1）由题意知，焦点在 轴上，可设椭圆的标准方程为 （ ）
其半焦距
由椭圆定义得
∴
∴
故椭圆的标准方程为 .
（2）点 、 、 关于直线 对称点分别为 、
、 .设所求双曲线的标准方程为
（ ， ）其半焦距 ，
由双曲线定义得
∴ ，∴ ，
故所求的双曲线的标准方程为 .
18.已知椭圆离心率，过左焦点且垂直于轴的直线交椭圆于点,且.
(1)求椭圆的方程;
(2)点在椭圆上，求的最大值.
【答案】(1) ;(2)
【解析】
【分析】
(1)利用离心率以及通经公式求解即可.
(2)利用椭圆的参数方程求解即可.
【详解】(1)由题意得.故椭圆方程为.
(2)设 ,则,
当时取最大值.
故的最大值为.
【点睛】本题主要考查了椭圆的基本量求法以及利用参数方程求解最值问题,属于基础题型.
19.已知椭圆.
(1)椭圆的左右焦点为,,点在椭圆上运动，求的取值范围;
(2)倾斜角为锐角的直线过点交椭圆于，两点，且满足,求直线的方程.
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】
（1）设，利用平面向量数量积的坐标运算可整理得到，由余弦函数的值域可求得的取值范围；
（2）由可利用点横纵坐标表示出点坐标，将，两点坐标代入椭圆方程可求得点坐标；利用两点连线斜率公式求得直线斜率后，利用点斜式得到直线方程.
【详解】（1）由椭圆方程知：，
设
则，
，即的取值范围为
（2）设，，则，
由得：
由两点在椭圆上可得：，解得：
直线斜率
直线方程为：，即
【点睛】本题考查椭圆中的向量问题的求解，涉及到平面向量数量积的取值范围的求解、直线方程的求解问题；求解平面向量数量积的关键是能够灵活应用椭圆的参数方程，将问题转化为三角函数的值域求解问题.
20.已知椭圆,直线不过原点且不平行于坐标轴，与有两个交点，，线段的中点为．
（Ⅰ）证明：直线的斜率与的斜率的乘积为定值；
（Ⅱ）若过点，延长线段与交于点，四边形能否为平行四边形？若能，求此时的斜率，若不能，说明理由．
【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）能，或．
【解析】
试题分析：（1）设直线，直线方程与椭圆方程联立，根据韦达定理求根与系数的关系，并表示直线的斜率，再表示；
（2）第一步由 (Ⅰ)得方程为．设点的横坐标为，直线与椭圆方程联立求点的坐标，第二步再整理点的坐标，如果能构成平行四边形，只需，如果有值，并且满足，的条件就说明存在，否则不存在.
试题解析：解：(1)设直线，，，．
∴由得，
∴，．
∴直线的斜率，即．
即直线的斜率与的斜率的乘积为定值．
（2）四边形能为平行四边形．
∵直线过点，∴不过原点且与有两个交点的充要条件是，
由 (Ⅰ)得的方程为．设点的横坐标为．
∴由得，即
将点的坐标代入直线的方程得，因此．
四边形为平行四边形当且仅当线段与线段互相平分，即
∴．解得，．
∵，，，
∴当的斜率为或时，四边形为平行四边形．
考点：直线与椭圆的位置关系的综合应用
【一题多解】第一问涉及中点弦，当直线与圆锥曲线相交时，点是弦的中点，（1）知道中点坐标，求直线的斜率，或知道直线斜率求中点坐标的关系，或知道求直线斜率与直线斜率的关系时，也可以选择点差法，设,，代入椭圆方程，两式相减，化简为，两边同时除以得，而,,即得到结果，
（2）对于用坐标法来解决几何性质问题，那么就要求首先看出几何关系满足什么条件，其次用坐标表示这些几何关系，本题的关键就是如果是平行四边形那么对角线互相平分，即，分别用方程联立求两个坐标，最后求斜率.
21.已知椭圆上两个不同的点，关于直线对称．
（1）求实数的取值范围；
（2）求面积的最大值（为坐标原点）．
【答案】（1）或；（2）.
【解析】
（1）可设直线AB的方程为，从而可知有两个不同
的解，再由中点也在直线上，即可得到关于的不等式，从而求解；（2）令，可
将表示为的函数，从而将问题等价转化为在给定范围上求函数的最值，从而求解.
试题解析：（1）由题意知，可设直线AB的方程为，由，
消去，得，∵直线与椭圆有两
个不同的交点，∴，①，将AB中点代入直线
方程解得，②．由①②得或；（2）令
，则，且O到直线AB
的距离为，设的面积为，
∴，当且仅当时，等号成立，故
面积的最大值为.
考点：1.直线与椭圆的位置关系；2.点到直线距离公式；3.求函数的最值.
22.已知双曲线的方程为，离心率,顶点到渐近线的距离为
(1)求双曲线的方程;
(2)设P是双曲线C上的点,A,B两点在双曲线的渐近线上,且分别位于第一,二象限,若,,求面积的取值范围.
【答案】(1) ;(2)
【解析】
【分析】
(1)根据离心率以及顶点到渐近线的距离表达出对应的关系再求解即可.
(2)由双曲线方程与渐近线方程可设,再利用求得,再代入双曲线方程求解化简,再代入面积公式求解即可.
【详解】(1)由题,一条渐近线方程, 可知 ,
两式相乘有,又.故.
故双曲线的方程：
(2)由题,渐近线方程为,故设
因为,故 ,将点代入双曲线方程有.化简得.
故.
因为,由对勾函数性质得,故
【点睛】本题主要考查了双曲线方程的求解以及设点求双曲线上对应的点代入方程求解的方法等.主要利用向量的关系表达出双曲线上的点的表达式,属于难题.