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- 2021-06-04 发布
2019-2020学年江西省南昌二中高二（上）期中数学试卷（文科）
一、选择题（本大题共12小题）
1.已知命题p：，，则它的否定是
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】B
【解析】
【分析】
直接利用全称命题的否定是特称命题，写出结果即可.
【详解】因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题p：，，
则它的否定是：，．
故选: B.
【点睛】本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，属于基础题.
2.
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据函数的导数的定义进行转化求解即可.
【详解】由导数的定义可得：原式
故选：B.
【点睛】本题主要考查函数的导数的定义，属于基础题.
3.将参数方程，（为参数）化为普通方程得（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
分析：先根据代入消元法消参数，再根据三角函数有界性确定范围.
详解：因为，所以y＝x－2，
因为，所以2≤x≤3,
因此选C.
点睛：1.将参数方程化为普通方程，消参数常用代入法、加减消元法、三角恒等变换法． 2．把参数方程化为普通方程时，要注意哪一个量是参数，并且要注意参数的取值对普通方程中x及y的取值范围的影响．
4.已知椭圆的中心在原点，离心率，且它的一个焦点与抛物线的焦点重合，则此椭圆方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
试题分析：抛物线的焦点坐标为,所以椭圆的一个焦点坐标为，所以，又，所以，所以椭圆的标准方程为，故选A．
考点：1．椭圆的标准方程与几何性质；2．抛物线的标准方程与几何性质．
5. 有下列四个命题，其中真命题有( )
①“若，则、互为相反数”的逆命题
②“全等三角形的面积相等”的否命题
③“若，则有实根”的逆命题
④“不等边三角形的三个内角相等”的逆否命题
其中真命题的序号为：
A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ③④
【答案】C
【解析】
“若x,y互为相反数,则x+y=0”是真命题；故①对；“若有实根,则，即q1”是真命题；③对.选C
6.圆的圆心极坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
先将极坐标方程转化为普通方程求出圆心的直角坐标，再由公式求出点的极坐标即可．
【详解】两边都乘以得，
将代入，
，
圆心直角坐标是，
，
即，故圆心极坐标是
故选：C.
【点睛】本题考查简单曲线圆的极坐标方程，解答的关键是圆的极坐标转化为普通方程，写出圆心坐标，再将其转化为极坐标．本题属于基本题．
7.双曲线和椭圆的离心率互为倒数，那么以为边长的三角形是（ ）
A. 锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 等腰三角形
【答案】C
【解析】
试题分析：∵双曲线(a＞0，b＞0)和椭圆(m＞b＞0)的离心率互为倒数，
∴
∴
∴，三角形一定是直角三角形
考点：双曲线的简单性质；椭圆的简单性质
8.抛物线上到直线距离最近的点的坐标是( )
A. B. (1,1) C. D. (2,4)
【答案】B
【解析】
【分析】
设出P的坐标,进而根据点到直线的距离公式求得P到直线的距离的表达式,根据x的范围求得距离的最小值.
【详解】设为抛物线上任一点,
则P到直线的距离
时,d取最小值
此时.
故选B.
【点睛】本题主要考查了抛物线的简单性质,点到直线的距离公式.考查了学生数形结合的数学思想和基本的运算能力.
9.某企业生产甲、乙两种产品均需要，两种原料，已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示．如果生产1吨甲、乙产品可获得利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为（ ）
甲
乙
原料限额
（吨）
3
2
10
（吨）
1
2
6
A. 10万元 B. 12万元 C. 13万元 D. 14万元
【答案】D
【解析】
【分析】
设该企业生产甲产品x吨，乙产品y吨，利润为z万元，根据图表写出约束条件以及目标函数，从而转化为线性规划问题，利用数形结合即可求出最大利润.
【详解】设该企业生产甲产品x吨，乙产品y吨，利润z万元，
则约束条件为 ，且x，y≥0，目标函数z=3x+4y，
作出不等式组对应的平面区域如图：
由z=3x+4y，得y=-x+，平移直线y=-x+，
由图象知当直线y=-x+经过点A时，y=-x+的截距最大，此时z最大，
由即A（2，2），此时z=3×2+4×2=6+8=14（万元），
即该企业生产甲产品2吨，乙产品2吨，利润为14万元，
故选D．
【点睛】主要考查了线性规划，属于基础题.这类型题的一般步骤：
（1）设出未知量；
（2）根据题意写出约束条件以及目标函数；
（3）画出平面区域；
（4）根据目标函数几何意义确定最优解；
（5）由最优解求出最大值（最小值）.
10.方程化简的结果是
A. B.
C. ， D. ，
【答案】C
【解析】
【分析】
考虑方程的几何意义是动点到定点的距离之差，利用双曲线的定义可知动点的轨迹是以，为焦点，实轴为6的双曲线的左支，从而可求.
【详解】方程的几何意义是动点到定点，的距离之差为6，由于，所以动点的轨迹是以，为焦点，实轴为6的双曲线的左支，故方程为
，
故选：C.
【点睛】本题考点是双曲线的定义，主要考查求动点轨迹方程的方法：定义法．应注意避免增解，属于基础题.
11.已知双曲线的右焦点为，若过点且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（ ）
A B. C. D.
【答案】D
【解析】
试题分析：若过点且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则该直线的绝对值小于等于渐近线的斜率，所以，因此双曲线离心率的取值范围是，故答案为D．
考点：1、双曲线的性质；2、直线与双曲线的位置关系．
【思路点晴】本题考查的是双曲线的性质、渐近线方程、直线与双曲线的位置关系等，属于中档题目；直线与双曲线的位置关系为：相交、相切、相离；而相交又分为交点为一个（直线与双曲线的渐近线平行）和两个两种情况，此题干中直线与双曲线的右支有且只有一个交点，等价于该直线的绝对值小于等于渐近线的斜率，再根据离心率公式即可求出取值范围．
12.设双曲线（a>0,b>0）的右焦点为F，右顶点为A,过F作AF的垂线与双曲线交于B,C两点，过B,C分别作AC，AB的垂线交于点D.若D到直线BC的距离小于，则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是 （ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】
【详解】由题意,
根据双曲线的对称性知在轴上，设，则由
得：，
因为到直线的距离小于，所以
，
即，所以双曲线渐近线斜率，故选A．
二、填空题（本大题共4小题）
13.曲线在点处的切线方程为______．
【答案】
【解析】
【分析】
根据曲线的解析式求出导函数，把代入导函数中即可求出在点切线的斜率，根据点的坐标和求出的斜率写出切线的方程即可.
【详解】，，
则，又当时，，
曲线在点处的切线方程为，
即．
故答案：．
【点睛】本题考查学生利用导数研究曲线上某点的切线方程，学生在解决此类问题一定要分清“在某点处的切线”，还是“过某点的切线”，属于基础题．
14.设甲是乙的充分不必要条件，乙是丙的充要条件，丁是丙的必要不充分条件，那么甲是丁的______ 条件．在充分非必要条件，必要非充分条件，充要条件，既非充分又非必要条件中选一个填上
【答案】充分不必要条件
【解析】
【分析】
先由已知条件，转化为相互间的推出关系，利用充分必要条件的定义，判断出结论．
【详解】甲乙，乙丙，丙丁
甲丁
故甲是丁的充分不必要条件
故答案：充分不必要条件
【点睛】解决一个命题是另一个命题的什么条件，一般先判断前者是否能推出后者；反之后者是否能推出前者，利用充分必要条件定义进行判断．
15.动圆的圆心在抛物线y2=8x上，且动圆恒与直线x+2=0相切，则动圆必过点 ．
【答案】（2，0）
【解析】
试题分析：先由抛物线的标准方程写出其焦点坐标，准线方程，再结合抛物线的定义得出焦点必在动圆上，从而解决问题．
解：抛物线y2=8x的焦点F（2，0），
准线方程为x+2=0，
故圆心到直线x+2=0的距离即半径等于圆心到焦点F的距离，
所以F在圆上．
故答案为（2，0）．
点评：主要考查知识点：抛物线，本小题主要考查圆与抛物线的综合、抛物线的定义等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想．属于基础题．
16.已知椭圆的左右顶点分别为，，P为C任意一点，其中直线的斜率范围为，则直线的斜率范围为______．
【答案】
【解析】
【分析】
利用椭圆的性质，求出斜率的乘积为定值，求出即可.
【详解】由椭圆的方程可得，，则，设，
，即
，，，
直线斜率的取值范围是，直线斜率的取值范围是：，
故答案为：
【点睛】考查椭圆的性质，直线与椭圆的综合，中档题.
三、解答题（本大题共6小题）
17.已知点是圆上的动点.
（1）求的取值范围；
（2）若有解，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【详解】（1）设圆的参数方程为
则
其中
（2）
即有解，
18.设集合，．
（1）若，求；
（2）设命题，命题，若p是q成立的必要不充分条件，求实数a的取值范围．
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】
(1)将代入,求得,再求得;
(2)将问题转化为集合B是集合A的真子集,再根据真子集关系列式可得.
【详解】（1）由已知可得，，∴．
（2）由题意可得集合B是集合A的真子集，
∵，∴或，∴，
∴实数a的取值范围是．
【点睛】本题考查了集合的运算,集合之间的关系以及充分必要条件,属中档题.
19.已知圆C：（x﹣a）2+（y﹣2）2＝4（a＞0）及直线l：x﹣y+3＝0．当直线l被圆C截得的弦长为时，求
（Ⅰ）a的值；
（Ⅱ）求过点（3，5）并与圆C相切的切线方程．
【答案】（Ⅰ）a＝1；（Ⅱ）5x﹣12y+45＝0或x＝3．
【解析】
【分析】
（Ⅰ）根据圆的方程找出圆心坐标与圆的半径，然后利用点到直线的距离公式表示出圆心到直线l的距离d，然后根据垂径定理得到弦心距，弦的一半及圆的半径成直角三角形，利用勾股对了列出关于a的方程，求出方程的解即可得到a的值，然后由a大于0，得到满足题意a的值；
（Ⅱ）把（Ⅰ）求出a的值代入圆的方程中确定出圆的方程，即可得到圆心的坐标，并判断得到已知点在圆外，分两种情况：当切线的斜率不存在时，得到x＝3为圆的切线；当切线的斜率存在时，设切线的斜率为k，由（3，5）和设出的k写出切线的方程，根据直线与圆相切时圆心到直线的距离等于圆的半径，利用点到直线的距离公式表示出圆心到切线的距离d，让d等于圆的半径即可列出关于k的方程，求出方程的解即可得到k的值，把k的值代入所设的切线方程即可确定出切线的方程．综上，得到所有满足题意的切线的方程．
【详解】解：（Ⅰ）依题意可得圆心C（a，2），半径r＝2，
则圆心到直线l：x﹣y+3＝0的距离，
由勾股定理可知，代入化简得|a+1|＝2，
解得a＝1或a＝﹣3，
又a＞0，所以a＝1；
（Ⅱ）由（1）知圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2＝4，圆心坐标为（1，2），圆的半径r＝2
由（3，5）到圆心的距离为r＝2，得到（3，5）在圆外，
∴①当切线方程的斜率存在时，设方程为y﹣5＝k（x﹣3）
由圆心到切线的距离dr＝2，
化简得：12k＝5，可解得，
∴切线方程为5x﹣12y+45＝0；
②当过（3，5）斜率不存在直线方程为x＝3与圆相切．
由①②可知切线方程为5x﹣12y+45＝0或x＝3．
【点睛】
此题考查学生掌握直线与圆相切时所满足的条件，灵活运用垂径定理及勾股定理化简求值，灵活运用点到直线的距离公式化简求值，是一道综合题
20.在直角坐标系中，曲线：（为参数），以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.
（1）求曲线的普通方程和极坐标方程；
（2）若射线和分别交曲线于异于极点，，求面积的最大值.
【答案】（1）曲线的普通方程，极坐标方程（2）
【解析】
【分析】
（1）直接利用三角函数的平方关系和极坐标与直角坐标互化公式，即可求得；
（2）利用极径和三角形的面积公式，求出面积的表达式，再利用
三角函数的恒等变换和余弦型函数的性质，即可求出．
【详解】（1）曲线的普通方程，极坐标方程.
（2）联立射线和与曲线得，，，
所以面积为
，
在时,取得最大值.
【点睛】本题主要考查参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的的转换，极径的应用，三角形面积公式的应用，三角函数的恒等变换，余弦型函数性质的应用，意在考查学生的运算能力和转化能力．
21.设分别是椭圆的左右焦点，是上一点且与轴垂直，直线与的另一个交点为．
（1）若直线的斜率为，求的离心率；
（2）若直线在轴上的截距为，且，求．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【详解】（1）记，则，由题设可知，
则，
；
（2）记直线与轴的交点为，则①，
，
将坐标代入椭圆方程得②
由①②及得，
故．
考点：1.椭圆方程；2.直线与椭圆的位置关系.
22.已知抛物线、椭圆和双曲线都经过点，它们在轴上有共同焦点，椭圆和双曲线的对称轴是坐标轴，抛物线的顶点为坐标原点
（1）求这三条曲线的方程；
（2）已知动直线过点，交抛物线于两点，是否存在垂直于轴的直线被以为直径的圆截得的弦
长为定值？若存在，求出的方程,若不存在，说明理由．
【答案】（1），，；（2）存在，
【解析】
【详解】（1）设抛物线方程为，将代入方程得
由题意知椭圆、双曲线的焦点为
对于椭圆，
对于双曲线，
（2）设的中点为，的方程为：，以为直径的圆交于两点，中点为
令