- 1.20 MB
- 2021-06-04 发布
北京市西城区2017— 2018学年度第一学期期末试卷
高二数学（理科） 2018.1
试卷满分：150分 考试时间：120分钟
题号
一
二
三
本卷总分
15
16
17
18
19
20
分数
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.
1. 直线的倾斜角为（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
2. 命题“对任意，都有”的否定是（ ）
（A）存在,使得
（B）对任意,都有
（C）存在,使得
（D）对任意,都有
3. 双曲线的焦点到其渐近线的距离为（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
4. 设是两个不同的平面，是三条不同的直线，（ ）
（A）若，，则
（B）若，，则
（C）若，，则
（D）若，，则
5. “” 是“方程表示的曲线为椭圆”的（ ）
（A）充分不必要条件
（B）必要不充分条件
（C）充要条件
（D）既不充分也不必要条件
6. 设是两个不同的平面，是一条直线，若，，，则（ ）
（A）与平行
（B）与相交
（C）与异面
（D）以上三个答案均有可能
7. 设为坐标原点，是以为焦点的抛物线 上任意一点，是线段的中点，则直线的斜率的最大值为（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
8. 设为空间中的一个平面，记正方体的八个顶点中到的距离为的点的个数为，的所有可能取值构成的集合为，则有（ ）
（A），
（B），
（C），
（D），
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上.
9. 命题“若，则”的逆否命题为_______.
10. 经过点且与直线垂直的直线方程为_______.
侧(左)视图
正(主)视图
俯视图
2
2
1
1
1
1
1
11. 在中，，，. 以所在的直线为轴将旋转一周，则旋转所得圆锥的侧面积为____.
12. 若双曲线的一个焦点在直线上，一条渐近线与平行，且双曲线的焦点在轴上，则的标准方程为_______；离心率为_______.
13. 一个四棱锥的三视图如右图所示，那么在这个四棱锥的四个侧面三角形中，有_______个直角三角形.
14. 在平面直角坐标系中，曲线是由到两个定点和点的距离之积等于的所有点组成的. 对于曲线，有下列四个结论：
曲线是轴对称图形；
曲线是中心对称图形；
曲线上所有的点都在单位圆内；
曲线上所有的点的纵坐标.
其中，所有正确结论的序号是__________.
三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15．（本小题满分13分）
如图，在正三棱柱中，为的中点.
B
A C
A1 C1
B1
D
（Ⅰ） 求证：平面；
（Ⅱ） 求证：平面.
16．（本小题满分13分）
已知圆，其中.
（Ⅰ）如果圆与圆相外切，求的值；
（Ⅱ）如果直线与圆相交所得的弦长为，求的值.
17．（本小题满分13分）
如图，在四棱柱中，平面，，， ，， 为的中点.
（Ⅰ）求四棱锥的体积；
（Ⅱ）设点在线段上，且直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长度；
A E
C C1
B B1
D D1
A1
（Ⅲ）判断线段上是否存在一点，使得？（结论不要求证明）
18．（本小题满分14分）
设为抛物线的焦点，是抛物线上的两个动点，为坐标原点.
（Ⅰ）若直线经过焦点，且斜率为2，求；
（Ⅱ）当时，证明：求的最小值.
19．（本小题满分14分）
如图，在四面体中，平面，，，
为的中点.
（Ⅰ）求证: ；
（Ⅱ）求二面角的余弦值.
（Ⅲ）求四面体的外接球的表面积.
C
B D
A
M
（注：如果一个多面体的顶点都在球面上，那么常把该球称为多面体的外接球. 球的表面积）
20．（本小题满分14分）
已知椭圆的一个焦点为，离心率为. 点为圆上任意一点，为坐标原点.
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）记线段与椭圆交点为，求的取值范围；
（Ⅲ）设直线经过点且与椭圆相切，与圆相交于另一点，点关于原点的对称点为，试判断直线与椭圆的位置关系，并证明你的结论.
北京市西城区2017 — 2018学年度第一学期期末试卷
高二数学（理科）参考答案及评分标准
2018.1
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.
1. D
2. C
3. A
4. D
5. A
6. A
7. B
8. D
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.
9. 若，则
10.
11.
12. ，
13.
14.
注：第12题第一空3分，第二空2分；第14题多选、少选或错选均不得分.
三、解答题：本大题共6小题，共80分.
15．（本小题满分13分）
(Ⅰ)证明：因为正三棱柱，为的中点，
所以，底面. …………………1分
又因为底面，
所以. …………………3分
又因为，平面，平面，
所以平面. …………………6分
(Ⅱ)证明：如图，连接，设，连接， …………………7分
B
A C
A1 C1
B1
D
O
由正三棱柱，得，
又因为在中，，
所以， …………………10分
又因为平面，平面，
所以平面. …………………13分
16.（本小题满分13分）
（Ⅰ）解：将圆的方程配方，得， …………………1分
所以圆的圆心为，半径. …………………3分
因为圆与圆相外切，
所以两圆的圆心距等于其半径和，即，………5分
解得. …………………7分
（Ⅱ）解：圆的圆心到直线的距离. ………………9分
因为直线与圆相交所得的弦长为，
所以由垂径定理，可得， …………………11分
解得. …………………13分
17.（本小题满分13分）
（Ⅰ）解：因为平面，平面，
所以.
又因为，，
所以平面. …………………1分
因为，
所以四棱锥的体积 …………………2分
. ……………4分
（Ⅱ）解：由平面，，可得，，两两垂直，所以分别以
，，所在直线为轴，轴，轴，如图建立空间直角坐标系，…………5分
则，，，，.
所以，，，.
设平面的一个法向量为，
由，，得
令，得. …………………7分
A E
A1
C C1
B B1
D D1
x
y
z
设，其中，
则，
记直线与平面所成角为，
则，
解得（舍），或. ………………9分
所以，
故线段的长度为. …………………10分
（Ⅲ）答：对于线段上任意一点，直线与直线都不平行. ……………13分
18.（本小题满分13分）
（Ⅰ）解：由题意，得，则直线的方程为. …………………2分
由 消去，得. …………………3分
设点，，
则，且，， …………………4分
所以. …………………6分
（Ⅱ）解：因为是抛物线上的两点，所以设，，
由，得， …………………8分
所以，即.
则点的坐标为. …………………10分
所以， …………………12分
当且仅当时，等号成立.
所以的最小值为. …………………13分
C
D y
A
M
B
x
z
O
E
19.（本小题满分14分）
（Ⅰ）证明：因为平面，平面，
所以. …………………1分
又因为，，
所以平面. …………………3分
又因为平面，
所以. …………………4分
（Ⅱ） 解：如图，设的中点为，的中点为，连接，，
因为平面，
所以平面，
由，且，可得，，两两垂直，所以分别以，，所在直线为轴，轴，轴，如图建立空间直角坐标系， …………………5分
则，，，，.
所以，，.
设平面的一个法向量为，
由，，得
令，得. …………………7分
设平面的一个法向量为，
由，，得
令，得. …………………8分
所以.
由图可知，二面角的余弦值为. …………………10分
（Ⅲ）解：根据（Ⅱ），记的中点为，
由题意，为直角三角形，斜边，
所以. …………………12分
由（Ⅰ），得平面，
所以.
在直角中，为斜边的中点，
所以.
所以为四面体的外接球的球心，
故四面体的外接球的表面积. …………………14分
20.（本小题满分14分）
（Ⅰ）解：由题意，知，， …………………1分
所以，， …………………2分
所以椭圆的标准方程为. …………………3分
（Ⅱ）解：由题意，得. …………………4分
设，则.
所以， …………………5分
因为，
所以当时，；当时，. …………………6分
所以. …………………7分
（Ⅲ）结论：直线与椭圆相切. …………………8分
证明：由题意，点在圆上，且线段为圆的直径，
所以.
当直线轴时，易得直线的方程为，
由题意，得直线的方程为，
显然直线与椭圆相切.
同理当直线轴时，直线也与椭圆相切. …………………9分
当直线与轴既不平行也不垂直时，
设点，直线的斜率为，则，直线的斜率，
所以直线：，直线：， …………10分
由 消去，
得.
因为直线与椭圆相切，
所以，
整理，得. （1） ……………12分
同理，由直线与椭圆的方程联立，
得. （2）
因为点为圆上任意一点，
所以，即.
代入（1）式，得，
代入（2）式，得
.
所以此时直线与椭圆相切.
综上，直线与椭圆相切. …………………14分