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- 2021-06-04 发布
2016-2017学年云南省昭通市水富县云天化中学高二（上）期中数学试卷（文科）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．cos300°=（ ）
A． B．﹣ C． D．
2．设Sn为数列{an}的前n项和且Sn=，则=（ ）
A． B． C． D．30
3．若{}为等差数列，a3=2，a7=1，则a11=（ ）
A．0 B． C． D．2
4．沿一个正方体三个面的对角线截得几何体如图所示，则该几何体的侧视图为（ ）
A． B． C． D．
5．过点P（1，3）且在x轴上的截距和在y轴上的截距相等的直线方程为（ ）
A．x+y﹣4=0 B．3x﹣y=0
C．x+y﹣4=0或3x+y=0 D．x+y﹣4=0或3x﹣y=0
6．已知x，y满足约束条件，则z=x﹣y的最小值为（ ）
A．1 B．﹣1 C．3 D．﹣3
7．若ab＜0，则过点P（0，﹣）与Q（，0）的直线PQ的倾斜角的取值范围是（ ）
A．（0，） B．（，π） C．（﹣π，﹣） D．（﹣，0）
8．已知M是圆C：x2+y2=1上的动点，点N（2，0），则MN的中点P的轨迹方程是（ ）
A．（x﹣1）2+y2= B．（x﹣1）2+y2= C．（x+1）2+y2= D．D、（x+1）2+y2=
9．若已知两圆方程为x2+y2﹣2x+10y+1=0，x2+y2﹣2x+2y+1=0，则两圆的位置关系是（ ）
A．内含 B．内切 C．相交 D．外切
10．已知两点A（﹣1，0），B（0，2），点P是圆（x﹣1）2+y2=1上任意一点，则△PAB面积的最大值与最小值分别是（ ）
A．2， B．， C．， D．，
11．直线y=kx+3与圆（x﹣3）2+（y﹣2）2=4相交于M，N两点，若|MN|≥2，则k的取值范围是（ ）
A．[﹣，0] B．[﹣∞，﹣]∪[0，+∞] C．[﹣，] D．[﹣，0]
12．过点作直线l与圆O：x2+y2=1交于A、B两点，O为坐标原点，设∠AOB=θ，且，当△AOB的面积为时，直线l的斜率为（ ）
A． B． C． D．
二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填写在题中的横线上．
13．已知直线l：ay=（3a﹣1）x﹣1，无论a为何值，直线l总过定点 ．
14．计算sin137°cos13°﹣cos43°sin13°的结果为 ．
15．若某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积等于 ．
16．已知k＞0，且不等式表示的平面区域的面积为S，则（k﹣2）S2的最大值等于 ．
三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
17．已知在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点坐标分别为A（1，3），B（5，1），C（﹣1，﹣1）
（Ⅰ）求BC边的中线AD所在的直线方程；
（Ⅱ）求AC边的高BH所在的直线方程．
18．已知正项等比数列{an}中，a1=2，a2a6=256．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若a3，a5分别为等差数列{bn}的第3项和第5项，求数列{bn}的通项公式及前n项和Sn．
19．已知函数f（x）=4sinxcos（x+）+1．
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）当x∈[﹣，0]时，求函数f（x）的取值范围．
20．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且cosA=．
（1）求tan2A；
（2）若cosB=，求△ABC的面积．
21．已知三棱柱ADE﹣BCF如图所示，其中M，N分别是AF，BC的中点，且平面ABCD⊥底面ABEF，AB=AD=AE=BF=BC=2．
（1）求证：MN∥平面CDEF；
（2）求多面体A﹣CDEF的体积．
22．在直角坐标系xOy中，以M（﹣1，0）为圆心的圆与直线x﹣y﹣3=0相切．
（1）求圆M的方程；
（2）如果圆周上存在两点关于直线mx+y+1=0对称，求m的值；
（3）已知A（﹣2，0），B（2，0），圆肘内的动点P满足|PA|•|PB|=|PO|2，求•的取值范围．
2016-2017学年云南省昭通市水富县云天化中学高二（上）期中数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．cos300°=（ ）
A． B．﹣ C． D．
【考点】运用诱导公式化简求值．
【分析】利用三角函数的诱导公式，将300°角的三角函数化成锐角三角函数求值．
【解答】解：∵．
故选C．
2．设Sn为数列{an}的前n项和且Sn=，则=（ ）
A． B． C． D．30
【考点】数列的求和．
【分析】a5=S5﹣S4，由此能求出结果．
【解答】解：∵数列{an}的前n项和Sn=，
∴，
∴．
故选：D．
3．若{}为等差数列，a3=2，a7=1，则a11=（ ）
A．0 B． C． D．2
【考点】等差数列的通项公式．
【分析】由{}为等差数列，可得=+，代入解出即可得出．
【解答】解：∵{}为等差数列，
∴=+，
∴+，解得a11=．
故选：B．
4．沿一个正方体三个面的对角线截得几何体如图所示，则该几何体的侧视图为（ ）
A． B． C． D．
【考点】简单空间图形的三视图．
【分析】沿一个正方体三个面的对角线截得的几何体，它的侧视图首先应该是一个正方形，中间的棱在侧视图中表现为一条对角线，分析对角线的方向，并逐一对照四个答案中的视图形状，即可得到答案．
【解答】解：由已知中几何体的直观图，
我们可得侧视图首先应该是一个正方形，故D不正确；
中间的棱在侧视图中表现为一条对角线，故C不正确；
而对角线的方向应该从左上到右下，故B不正确
故A选项正确．
故选：A．
5．过点P（1，3）且在x轴上的截距和在y轴上的截距相等的直线方程为（ ）
A．x+y﹣4=0 B．3x﹣y=0
C．x+y﹣4=0或3x+y=0 D．x+y﹣4=0或3x﹣y=0
【考点】直线的截距式方程．
【分析】设出直线的截距式方程，代入点的坐标，推出a的值，即可求出直线方程．
【解答】解：由题意设直线方程为+=1（a＞0），
点P（1，3）且在x轴上的截距和在y轴上的截距相等的直线上，∴．
∴a=4，
所求直线方程为x+y﹣4=0，
当直线经过原点时，此时直线方程为3x﹣y=0．
故选：D．
6．已知x，y满足约束条件，则z=x﹣y的最小值为（ ）
A．1 B．﹣1 C．3 D．﹣3
【考点】简单线性规划．
【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义进行求解即可．
【解答】解：作作出不等式组对应的平面区域如图：由z=x﹣y，得y=x﹣z表示，斜率为1纵截距为﹣z的一组平行直线，
平移直线y=x﹣z，当直线y=x﹣z经过点B时，直线y=x﹣z的截距最大，此时z最小，
由，解得，即B（2，1），此时zmin=2﹣1=1．
故选：A
7．若ab＜0，则过点P（0，﹣）与Q（，0）的直线PQ的倾斜角的取值范围是（ ）
A．（0，） B．（，π） C．（﹣π，﹣） D．（﹣，0）
【考点】直线的斜率．
【分析】求出直线的斜率，结合已知条件求出斜率的范围，然后求解倾斜角的范围．
【解答】解：由题意KPQ==，
∵ab＜0，
∴KPQ＜0，
直线的倾斜角为：α，tanα=k＜0．
∴α∈（，π）．
故选：B．
8．已知M是圆C：x2+y2=1上的动点，点N（2，0），则MN的中点P的轨迹方程是（ ）
A．（x﹣1）2+y2= B．（x﹣1）2+y2= C．（x+1）2+y2= D．D、（x+1）2+y2=
【考点】轨迹方程．
【分析】设出线段MN中点的坐标，利用中点坐标公式求出M的坐标，根据M在圆上，得到轨迹方程．
【解答】解：设线段MN中点P（x，y），则M（2x﹣2，2y）．
∵M在圆C：x2+y2=1上运动，
∴（2x﹣2）2+（2y）2=1，即（x﹣1）2+y2=．
故选A．
9．若已知两圆方程为x2+y2﹣2x+10y+1=0，x2+y2﹣2x+2y+1=0，则两圆的位置关系是（ ）
A．内含 B．内切 C．相交 D．外切
【考点】圆与圆的位置关系及其判定．
【分析】求出两个圆的圆心坐标与半径，计算圆心距与半径和与差的关系，即可判断两个圆的位置关系．
【解答】解：圆x2+y2﹣2x+10y+1=0，即（x﹣1）2+（y+5）2=25的圆心为（1，﹣5），半径为5，
圆x2+y2﹣2x+2y+1=0，即（x﹣1）2+（y+1）2=1的圆心坐标（1，﹣1），半径为：1；
圆心距为：﹣1+5=4，
两个圆的半径差为：5﹣1=4．
所以两个圆内切．
故选B．
10．已知两点A（﹣1，0），B（0，2），点P是圆（x﹣1）2+y2=1上任意一点，则△PAB面积的最大值与最小值分别是（ ）
A．2， B．， C．， D．，
【考点】直线与圆的位置关系；点到直线的距离公式．
【分析】先求得|AB|=，直线AB的方程 2x﹣y+2=0，再求出圆心到直线AB的距离d，再根据△PAB面积的最大值 •AB•（d+1）、最小值为 •AB•（d﹣1），计算求得结果
【解答】解：由题意可得，|AB|=，直线AB的方程为 =1，
即 2x﹣y+2=0．
圆心（1，0）到直线AB的距离为 d==，
故△PAB面积的最大值 •AB•（d+1）=（4+），
最小值为 •AB•（d﹣1）=（4﹣），
故选：B．
11．直线y=kx+3与圆（x﹣3）2+（y﹣2）2=4相交于M，N两点，若|MN|≥2，则k的取值范围是（ ）
A．[﹣，0] B．[﹣∞，﹣]∪[0，+∞] C．[﹣，] D．[﹣，0]
【考点】直线与圆的位置关系．
【分析】由弦长公式得，当圆心到直线的距离等于1时，弦长等于2，故当弦长大于或等于2时，圆心到直线的距离小于或等于1，解此不等式求出k的取值范围．
【解答】解：设圆心（3，2）到直线y=kx+3的距离为d，
由弦长公式得，MN=2≥2，
故d≤1，
即≤1，化简得 8k（k+）≤0，
∴﹣≤k≤0，
故k的取值范围是[﹣，0]．
故选：A
12．过点作直线l与圆O：x2+y2=1交于A、B两点，O为坐标原点，设∠AOB=θ，且，当△AOB的面积为时，直线l的斜率为（ ）
A． B． C． D．
【考点】直线与圆的位置关系．
【分析】根据△AOB的面积为，求出θ=，可得圆心到直线的距离为，即可求出直线l的斜率．
【解答】解：∵△AOB的面积为，
∴sinθ=，
∴sinθ=，
∵，
∴θ=，
∴圆心到直线的距离为，
设直线方程为y=k（x+），即kx﹣y+k=0，
∴=，
∴k=±，
故选：B．
二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填写在题中的横线上．
13．已知直线l：ay=（3a﹣1）x﹣1，无论a为何值，直线l总过定点 （﹣1，﹣3） ．
【考点】恒过定点的直线．
【分析】由ay=（3a﹣1）x﹣1，得a（3x﹣y）+（﹣x﹣1）=0，即可求出定点坐标．
【解答】解：由ay=（3a﹣1）x﹣1，得a（3x﹣y）+（﹣x﹣1）=0，
由，得，
所以直线l过定点（﹣1，﹣3），
故答案为（﹣1，﹣3）．
14．计算sin137°cos13°﹣cos43°sin13°的结果为 ．
【考点】三角函数的化简求值．
【分析】两角差的正弦公式逆用，得特殊角的正弦值，可求．
【解答】解：sin43°cos13°﹣cos43°sin13°=sin（43°﹣13°）=sin30°=．
故答案是：．
15．若某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积等于 4 ．
【考点】由三视图求面积、体积．
【分析】根据三视图得出几何体是一个三棱柱，求出它的底面积与高，即得体积．
【解答】解：根据该几何体的三视图知，该几何体是一个三棱柱，底面为侧视图，高为2
它的底面三角形的面积为S底面=×2×2=2，
∴棱柱的体积为V棱柱=S底面•h=2×2=4；
故答案为：4
16．已知k＞0，且不等式表示的平面区域的面积为S，则（k﹣2）S2的最大值等于 ．
【考点】简单线性规划．
【分析】作出不等式组对应的平面区域，求出交点坐标，计算出三角形的面积，转化为一元二次函数，利用一元二次函数的性质进行求解即可．
【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图，
∵k＞0，∴当y=0时，x=﹣，即B（﹣，0），
当x=0时，y=2，即A（0，2），
则三角形的面积S=×2=，
则（k﹣2）S2=（k﹣2）（）2==﹣8（）2+=﹣8（﹣）2+，
∵k＞0，∴＞0，
则当=﹣时，（k﹣2）S2取得最大值，最大值为，
故答案为：．
三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
17．已知在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点坐标分别为A（1，3），B（5，1），C（﹣1，﹣1）
（Ⅰ）求BC边的中线AD所在的直线方程；
（Ⅱ）求AC边的高BH所在的直线方程．
【考点】直线的两点式方程．
【分析】（Ⅰ）由中点坐标公式求得BC中点坐标，再由两点式求得BC边的中线AD所在的直线方程；
（Ⅱ）求出AC的斜率，由垂直关系求得BH的斜率，再由直线方程的点斜式求得AC边的高BH所在的直线方程．
【解答】解：（Ⅰ）BC中点D的坐标为（2，0），
∴直线AD方程为：，3x+y﹣6=0；
（Ⅱ）∵，BH⊥AC，
∴，
∴直线BH方程为：，即x+2y﹣7=0．
18．已知正项等比数列{an}中，a1=2，a2a6=256．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若a3，a5分别为等差数列{bn}的第3项和第5项，求数列{bn}的通项公式及前n项和Sn．
【考点】数列的求和；数列递推式．
【分析】（1）由题意可知：a2=a1•q，a6=a1•q5，由a2a6=256，即•q6=256，即可求得q=2，根据等比数列通项公式即可求得数列{an}的通项公式；
（2）由（1）可知：b3=8，b5=32，设{bn}的公差为d，由，求得数列{bn}是以﹣16为首项．以12为公差的等差数列，根据等差数列通项公式及前n项和公式即可求得数列{bn}的通项公式及前n项和Sn．
【解答】解：（1）设{an}的公比为q，a2=a1•q，a6=a1•q5，
由a2a6=256．即•q6=256，解得：q=2，
由等比数列通项公式可知：an=a1•qn﹣1=2n，
数列{an}的通项公式an=2n；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
（2）由（1）得a3=8，a5=32，
则b3=8，b5=32，设{bn}的公差为d，
则有，解得：，
∴数列{bn}是以﹣16为首项．以12为公差的等差数列，
由等差数列通项公式可知：bn=b1+（n﹣1）d=12n﹣28，
数列{bn}的前n项和Sn==6n2﹣22n，
数列{bn}的前n项和Sn，Sn==6n2﹣22n．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
19．已知函数f（x）=4sinxcos（x+）+1．
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）当x∈[﹣，0]时，求函数f（x）的取值范围．
【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．
【分析】（1）由三角函数恒等变换的应用化简函数解析式为f（x）=2sin（2x+），利用三角函数周期公式即可求值得解．
（2）由x∈[﹣，0]，可得2x+∈[﹣π，]，利用正弦函数的图象和性质即可得解f（x）的取值范围．
【解答】解：（1）∵f（x）=4sinxcos（x+）+1=2sinxcosx﹣2sin2x+1=sin2x+cos2x=2sin（2x+），
∴函数f（x）的最小正周期T==π．
（2）∵x∈[﹣，0]，
∴2x+∈[﹣π，]，
∴sin（2x+）∈[﹣1，]，
∴f（x）=2sin（2x+）∈[﹣2，1]．
20．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且cosA=．
（1）求tan2A；
（2）若cosB=，求△ABC的面积．
【考点】正弦定理；余弦定理．
【分析】（1）根据同角的三角函数关系，结合正切函数的倍角公式进行求解，
（2）根据两角和差的正弦公式结合正弦定理以及三角形的面积公式进行求解．
【解答】解：（1）∵，∴，则，
∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
（2）∵，∴，
则，
由正弦定理得，
所以△ABC的面积为﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
21．已知三棱柱ADE﹣BCF如图所示，其中M，N分别是AF，BC的中点，且平面ABCD⊥底面ABEF，AB=AD=AE=BF=BC=2．
（1）求证：MN∥平面CDEF；
（2）求多面体A﹣CDEF的体积．
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．
【分析】（1）根据线面平行的判定定理进行证明即可．
（2）根据锥体的体积公式先求出锥体的底面积和高即可．
【解答】（1）证明：由AB=BC=BF=2，DE=CF=2，∠CBF=．
取BF的中点G，连接MG，NG，
由M，N分别为AF，BC的中点可得，
NG∥CF，MG∥EF，且NG∩MG=G，CF∩EF=F，
∴平面MNG∥平面CDEF，
又MN⊂平面MNG，
∴MN∥平面CDEF．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
（2）取DE的中点H．∵AD=AE，∴AH⊥DE，
在直三棱柱ADE﹣BCF中，平面ADE⊥平面CDEF，平面ADE∩平面CDEF=DE．
∴AH⊥平面CDEF．
∴多面体A﹣CDEF是以AH为高，以矩形CDEF为底面的棱锥，在△ADE中，AH=．
S矩形CDEF=DE•EF=4，
∴棱锥A﹣CDEF的体积为V=•S矩形CDEF•AH=×4×=．﹣﹣﹣﹣
22．在直角坐标系xOy中，以M（﹣1，0）为圆心的圆与直线x﹣y﹣3=0相切．
（1）求圆M的方程；
（2）如果圆周上存在两点关于直线mx+y+1=0对称，求m的值；
（3）已知A（﹣2，0），B（2，0），圆肘内的动点P满足|PA|•|PB|=|PO|2，求•的取值范围．
【考点】圆的标准方程；平面向量数量积的运算；直线的一般式方程与直线的垂直关系．
【分析】（1）由直线与圆相切，得到圆心到切线的距离d等于半径r，利用点到直线的距离公式求出圆心M到已知直线的距离d，即为圆M的半径，写出圆M方程即可；
（2）由圆上存在两点关于直线mx+y+1=0对称，得到直线mx+y+1=0过圆心，将M坐标代入直线中，即可求出mm的值；
（3）设P（x，y），利用两点间的距离公式化简已知的等式，整理后得到x与y的关系式，再表示出两向量的坐标，利用平面向量的数量积运算法则计算所求的式子，将表示出的关系式代入得到关于y的式子，由P在圆M内部，得到P与圆心M的距离小于半径列出不等式，即可求出所求式子的范围．
【解答】解：（1）依题意，圆心M（﹣l，0）到直线x﹣y﹣3=0的距离d=r，
∴d==2=r，
则圆M的方程为（x+1）2+y2=4；
（2）圆M上存在两点关于直线mx+y+1=0对称，
∴直线mx+y+1=0必过圆心M（﹣1，0），
将M坐标代入mx+y+1=0得：﹣m+1=0，
解得：m=1；
（3）设P（x，y），
由|PA|•|PB|=|P0|2得： •=x2+y2，
整理得：x2﹣y2=2，
∵A（﹣2，0），B（2，0），
∴=（﹣2﹣x，﹣y），=（2﹣x，﹣y），
∴•=x2﹣4+y2=2（y2﹣1），
点P在圆M内，（x+1）2+y2＜4，可得0≤y2＜4，
∴﹣2≤2（y2﹣1）＜6，
则•的取值范围为[﹣2，6）．