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- 2021-06-04 发布
台山侨中2018-2019学年度第二学期期中考试试题
高二文数(2019.04)评分标准
一：选择题。
1.在复平面上，复数的对应点所在象限是（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】C
【解析】
试题分析：因为，在复平面内对应的点为，该点在第三象限，故选C.
考点：1.复数的四则运算；2.复数的几何意义.
2.两个变量y与x的回归模型中，分别选择了4个不同模型，它们的相关指数R2如下，其中拟合效果最好的模型是（ ）
A. 模型1的相关指数R2为0.98 B. 模型2的相关指数R2为0.80
C. 模型3的相关指数R2为0.50 D. 模型4的相关指数R2为0.25
【答案】A
【解析】
解：因为回归模型中拟合效果的好不好，就看相关指数是否是越接近于1，月接近于1，则效果越好。选A
3.已知与之间的一组数据：
x
0
1
2
3
y
1
3
5
7
则y与的线性回归方程必过点（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
试题分析：，所以中心点为，回归方程过中心点
考点：回归方程
4.《论语·子路》篇中说：“名不正，则言不顺；言不顺，则事不成；事不成，则礼乐不兴；礼乐不兴，则刑罚不中；刑罚不中，则民无所措手足.”所以，名不正，则民无所措手足.上述推理用的是（ ）
A. 类比推理 B. 演绎推理 C. 归纳推理 D. 以上都不对
【答案】B
【解析】
【分析】
类比推理是从特殊到特殊的推理，归纳推理是从特殊到一般的推理，演绎推理是从一般到特殊的推理.判断题中描述属于哪一种模式即可.
【详解】名不正言不顺；言不顺事不成；事不成礼乐不兴；礼乐不兴刑罚不中；
刑罚不中民无所措手足，所以名不正民无所措手足.
这符合演绎推理的模式，故选B.
【点睛】本题考查演绎推理的判断，是一道基础概念题.
5.用反证法证明：若整系数一元二次方程有有理数根，那么、、中至少有一个偶数时，下列假设正确的是（ ）
A. 假设、、都是偶数
B. 假设、、都不是偶数
C. 假设、、至多有一个偶数
D. 假设、、至多有两个偶数
【答案】B
【解析】
【分析】
根据反证法的概念，可知假设应是所证命题的否定，即可求解，得到答案。
【详解】根据反证法的概念，假设应是所证命题的否定，
所以用反证法证明命题：“若整系数一元二次方程有有理根，那么中至少有一个是偶数”时，假设应为“假设都不是偶数”，故选B。
【点睛】本题主要考查了反证法的概念及其应用，其中解答中熟记反证法的概念，准确作出所证命题的否定是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题。
6.设，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
∵
∴或
∴是的充分不必要条件
故选A
7.函数的单调递减区间是
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
所以单调递减区间是，选D.
8.在中，，,,则（ ）
A. B. 3 C. D. 7
【答案】A
【解析】
试题分析：依题意，故由余弦定理得.
考点：解三角形，正余弦定理．
9.已知，，则的最大值是（ ）
A. B. C. 4 D. 8
【答案】B
【解析】
试题分析：由题意得，，当且仅当时等号是成立的，故选B．
考点：基本不等式的应用．
10.抛物线 上的点到焦点的距离为，则的值为（ ）
A. B. C. D. 或
【答案】D
【解析】
【分析】
求出抛物线的准线方程，推出p，求出抛物线方程，然后求解m即可．
【详解】抛物线的准线方程为，由抛物线的定义有
（负值舍去） ，此时，将点代入抛物线方程中，求出
故选：D
【点睛】本题考查抛物线的简单性质的应用，是基本知识的考查．
11.甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩，老师说：“你们四人中有位优秀，位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩.”看后甲对大家说：“我还是不知道我的成绩.”根据以上信息，则（ ）
A. 乙可以知道两人的成绩 B. 丁可能知道两人的成绩
C. 乙、丁可以知道自己的成绩 D. 乙、丁可以知道对方的成绩
【答案】C
【解析】
【分析】
根据四人的成绩，甲看到的成绩和甲所说的话，可以知道乙、丙中有位优秀位良好，甲、丁中有位优秀位良好.进而可以推出结果.
【详解】四人中有2位优秀，2位良好.
给甲看乙、丙成绩，然后甲还是不知道自己的成绩，
所以乙、丙的成绩不同，即乙、丙中有位优秀位良好，
则甲、丁中有位优秀位良好.
于是乙看丙的成绩后，就知道了自己的成绩；
丁看甲的成绩后，就知道了自己的成绩.
所以AB,D不正确，故选C.
【点睛】本题考查逻辑推理，解题的关键是正确理解题意，进行合情推理.
12.设三次函数的导函数为，函数的图象的一部分如图所示，则正确的是（ ）
A. 的极大值为，极小值为
B. 的极大值为，极小值为
C. 的极大值为，极小值为
D. 的极大值为，极小值为
【答案】C
【解析】
【分析】
由的图象可以得出在各区间的正负，然后可得在各区间的单调性，进而可得极值.
【详解】由图象可知：
当和时，，则；
当时，，则；
当时，，则；
当时，，则；
当时，，则.
所以在上单调递减；在上单调递增；在上单调递减.
所以的极小值为，极大值为.
故选C.
【点睛】本题考查导数与函数单调性的关系，解题的突破点是由已知函数的图象得出的正负性.
二:填空题(把答案填在答题纸的横线上）
13.已知函数在处取得极小值，则实数__________.
【答案】
【解析】
【分析】
先对函数求导，再由函数在处取得极小值，列方程即可求出结果.
【详解】因为，所以，又函数在处取得极小值，
所以,故.
【点睛】本题主要考查根据函数的极值求参数的问题，属于基础题型.
14.复数满足，则__________．
【答案】
【解析】
复数，则.
点睛：本题重点考查复数的基本运算和复数的概率，属于基本体，首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如，其次要熟悉复数的相关基本概念，如复数的实部为，虚部为，模为，对应点为，共轭复数为
15.在平面上，若两个正三角形的边长的比为1：2，则它们的面积比为1：4，类似地，在空间内，若两个正四面体的棱长的比为1：2，则它们的体积比为 ▲
【答案】1：8
【解析】
考查类比的方法，，所以体积比为1∶8.
16.一个蜂巢里有只蜜蜂，第天，它飞出去找回了个伙伴；第天，只蜜蜂飞出去，各自找回了个伙伴……如果这个找伙伴的过程继续下去，第天所有的蜜蜂都归巢后，蜂巢中一共有____只蜜蜂.
【答案】
【解析】
【分析】
由题意找出每天蜜蜂数量的变化规律(每天的蜜蜂数是前一天的倍)，即可得出答案.
【详解】一个蜂巢里有只蜜蜂，第天，它飞出去找回了个伙伴，于是共有只蜜蜂；
第天，只蜜蜂飞出去，各自找回了个伙伴，于是共有只蜜蜂；………；
于是第天所有的蜜蜂都归巢后，蜂巢中一共有只蜜蜂.
【点睛】本题考查找规律，是一种合情推理，解题的关键是根据题意得出每天蜜蜂数的变化规律.
三:解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17.第一次大考后，某校对甲、乙两个文科班的数学考试成绩进行分析，规定：大于或等于分为优秀，分以下为非优秀，统计成绩后，得到如下列联表，且已知在甲、乙两个文科班全部人中随机抽取人为优秀的概率为.
（I）请完成列联表：
优秀
非优秀
合计
甲班
乙班
合计
(Ⅱ)根据列联表的数据能否在犯错误的概率不超过的前提下认为成绩与班级有关系？
参考公式和临界值表：
，其中．
【答案】（I）填表见详解；(Ⅱ) 在犯错误的概率不超过的前提下，认为成绩与班级有关系.
【解析】
【分析】
(I)由已知概率先求出总的优秀人数，然后可以把列联表补充完整.
(Ⅱ)由列联表计算的值，然后比较临界值可以得出结论.
【详解】（I）在甲、乙两个文科班全部人中随机抽取人为优秀的概率为，
所以总的优秀人数为.
列联表如下所示：
优秀
非优秀
合计
甲班
乙班
合计
(Ⅱ)由列联表的数据，得到，
而，
因此，在犯错误的概率不超过的前提下，认为成绩与班级有关系．
【点睛】本题考查列联表和独立性检验.独立性检验的一般步骤是：填写列联表，计算的值，根据临界值作出判断.
18.设数列的前项和为，且.
(1) 求；
(2) 求数列的通项公式.
【答案】(1)；；.(2).
【解析】
分析】
(1)对于已知式令即可解得的值.
(2)由，得，两式相减可推得是等比数列，进而可得通项公式.也可以由(1)的结论归纳出的通项公式，再验证其符合已知条件.
【详解】（1）由，
令，得，又，所以；
令，得，所以；
令，得，所以.
（2）方法一：当时，由，可得，
两式相减得，即.
所以是以为首项，为公比的等比数列，
于是.
方法二：由（1）归纳可得，
此时，可使成立，
所以.
【点睛】本题考查数列问题，考查由和的关系求通项公式.通过赋值列举若干项，寻找规律和解题思路，是解决数列问题的一种常见策略.
19.四棱锥的底面是菱形,平面, 点为的中点.
（Ⅰ）求证:平面;
（Ⅱ）求证:平面.
【答案】（1）见解析；(2) 见解析。
【解析】
试题分析：（1）过菱形的中心 连接 ,由中位线定理得 面；（2）先证 面.
试题解析：
（1）连接AC交BD于点O
底面是菱形O为AC中点
点为的中点OF为的中位线
平面
平面
(2) 由（1）得底面是菱形
平面
又
平面
20.设椭圆过点(0,4)，离心率为 .
(1)求椭圆的方程；
(2)求过点(3,0)且斜率的直线被椭圆C所截线段的中点坐标．
【答案】（1）；（2）．
【解析】
【分析】
（1）椭圆C：+=1（a＞b＞0）过点（0，4），可求b，利用离心率为，求出a，即可得到椭圆C的方程；
（2）过点（3，0）且斜率为的直线为y=（x﹣3），代入椭圆C方程，整理，利用韦达定理，确定线段的中点坐标．
【详解】（1）将点（0，4）代入椭圆C的方程得=1，∴b=4，
由e==，得1﹣=，∴a=5，
∴椭圆C的方程为+=1．
（2）过点（3，0）且斜率为的直线为y=（x﹣3），
设直线与椭圆C交点为A（x1，y1），B（x2，y2），
将直线方程y=（x﹣3）代入椭圆C方程，整理得x2﹣3x﹣8=0，
由韦达定理得x1+x2=3，
y1+y2=（x1﹣3）+（x2﹣3）=（x1+x2）﹣=﹣．
由中点坐标公式AB中点横坐标为，纵坐标为﹣，
∴所截线段的中点坐标为（，﹣）．
考点：直线与圆锥曲线的综合问题．
21.设函数，其中.
（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）当时，求函数的极大值和极小值.
【答案】（Ⅰ）.
（Ⅱ）若，函数的极小值为，极大值为；
若，函数的极小值为，极大值为.
【解析】
【分析】
（Ⅰ）由导数的几何意义求切线方程即可.
（Ⅱ）根据的正负变化可求的极大值和极小值，分和两种情况讨论即可.
【详解】（Ⅰ）当时，，得，
，，
所以，曲线在点处的切线方程是，
即.
（Ⅱ），
，
令，解得或.
由于，以下分两种情况讨论.
①若，当变化时，，的变化情况如下表：
因此，函数在处取得极小值，且；
函数在处取得极大值，且.
②若，当变化时，，的变化情况如下表：
因此，函数在处取得极小值，且；
函数在处取得极大值，且.
【点睛】本题考查导数的几何意义，用导数研究函数的极值.曲线在点的切线方程为.在导函数值的符号变化时函数取得极值，由正变负时取得极大值，由负变正时取得极小值.若函数解析式中含有参数，使得导函数值的正负性不确定时，需要分类讨论.
22.选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，已知曲线的参数方程为（为参数），以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.
（Ⅰ）求曲线的普通方程；
（Ⅱ）极坐标方程为的直线与交、两点，求线段的长.
【答案】（1）（2）2
【解析】
试题分析：先利用平方关系消元，把参数方程化为普通方程，再利用和角公式和极坐标公式把极坐标方程化为直角坐标方程，最后利用圆的弦长公式求出弦长.
试题解析：（Ⅰ）可化为：.
即：.
（Ⅱ）.
，
即：，
直线的普通方程为.
曲线是以点为圆心，2为半径的圆，
圆心到直线的距离 .
.
【点睛】本题为极坐标与参数方程问题，属于选修内容，参数方程化为普通方程，就是要削去参数，极坐标方程转化为直角坐标方程，要熟记互化公式，有时为了使用出现公式，两边可能需要同乘以，有时需要使用和、差及倍角公式等.