【数学】2020届一轮复习人教B版（文）选修4－4参数方程作业 6页

课时作业71　参数方程 ‎　　　　　　　　　　　　‎ ‎[基础达标]‎ ‎1．[2019·武汉测试]在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(θ为参数)，直线l的参数方程为(t为参数)，直线l与曲线C交于A，B两点．‎ ‎(1)求|AB|的值；‎ ‎(2)若F为曲线C的左焦点，求·的值．‎ 解析：(1)由(θ为参数)，消去参数θ得＋＝1.‎ 由消去参数t得y＝2x－4.‎ 将y＝2x－4代入x2＋4y2＝16中，得17x2－64x＋176＝0.‎ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 所以|AB|＝|x1－x2|＝×＝，‎ 所以|AB|的值为.‎ ‎(2)·＝(x1＋2，y1)·(x2＋2，y2)‎ ‎＝(x1＋2)(x2＋2)＋(2x1－4)(2x2－4)‎ ‎＝x1x2＋2(x1＋x2)＋12＋4[x1x2－2(x1＋x2)＋12]‎ ‎＝5x1x2－6(x1＋x2)＋60‎ ‎＝5×－6×＋60‎ ‎＝44，‎ 所以·的值为44.‎ ‎2．[2019·石家庄检测]在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)．以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρsin2θ＝2cosθ.直线l交曲线C于A，B两点．‎ ‎(1)写出直线l的极坐标方程和曲线C的直角坐标方程；‎ ‎(2)设点P的直角坐标为(－2，－4)，求点P到A，B两点的距离之积．‎ 解析：(1)由直线l的参数方程为(t为参数)，得直线l的普通方程为x－y－2＝0.‎ ‎∴直线l的极坐标方程为ρcosθ－ρsinθ－2＝0.‎ 易得曲线C的直角坐标方程为y2＝2x.‎ ‎(2)∵直线l：x－y－2＝0经过点P(－2，－4)，‎ ‎∴直线l的参数方程为(T为参数)．‎ 将直线l的参数方程代入y2＝2x，化简得 T2－10T＋40＝0，∴|PA|·|PB|＝|T1T2|＝40.‎ ‎3．[2019·宝安，潮阳，桂城等八校联考]已知曲线C的参数方程为(α为参数)，‎ 以直角坐标系的原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．‎ ‎(1)求曲线C的极坐标方程；‎ ‎(2)设l1：θ＝，l2：θ＝，若l1，l2与曲线C相交于异于原点的两点A，B，求△AOB的面积．‎ 解析：(1)∵曲线C的参数方程为(α为参数)，‎ ‎∴曲线C的普通方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5.‎ 将代入并化简得ρ＝4cosθ＋2sinθ，‎ ‎∴曲线C的极坐标方程为ρ＝4cosθ＋2sinθ.‎ ‎(2)在极坐标系中，曲线C：ρ＝4cosθ＋2sinθ，‎ ‎∴由得|OA|＝2＋1.‎ 同理可得|OB|＝2＋.‎ 又∠AOB＝，∴S△AOB＝|OA|·|OB|sin∠AOB＝.‎ ‎∴△AOB的面积为.‎ ‎4．[2019·南昌考试]在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(α为参数)，直线C2的方程为y＝x，以O为极点，以x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．‎ ‎(1)求曲线C1和直线C2的极坐标方程；‎ ‎(2)若直线C2与曲线C1交于P，Q两点，求|OP|·|OQ|的值．‎ 解析：(1)曲线C1的普通方程为(x－)2＋(y－2)2＝4，‎ 即x2＋y2－2x－4y＋3＝0，‎ 则曲线C1的极坐标方程为ρ2－2ρcosθ－4ρsinθ＋3＝0.‎ ‎∵直线C2的方程为y＝x，‎ ‎∴直线C2的极坐标方程为θ＝(ρ∈R)．‎ ‎(2)设P(ρ1，θ1)，Q(ρ2，θ2)，‎ 将θ＝(ρ∈R)代入ρ2－2ρcosθ－4ρsinθ＋3＝0得，ρ2－5ρ＋3＝0，‎ ‎∴ρ1ρ2＝3，∴|OP|·|OQ|＝ρ1ρ2＝3.‎ ‎5．[2019·广州测试]在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)．以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2(1＋2sin2θ)＝a(a＞0)．‎ ‎(1)求l的普通方程和C的直角坐标方程；‎ ‎(2)若l与C相交于A，B两点，且|AB|＝，求a的值．‎ 解析：(1)由消去t，得l的普通方程为y＝－(x－1)，‎ 即x＋y－＝0.‎ 由ρ2(1＋2sin2θ)＝a(a＞0)，得ρ2＋2ρ2sin2θ＝a(a＞0)，‎ 把ρ2＝x2＋y2，ρsinθ＝y代入上式，得x2＋3y2＝a(a＞0)，‎ 所以C的直角坐标方程为x2＋3y2＝a(a＞0)．‎ ‎(2)解法一　把代入x2＋3y2＝a，得5t2－2t＋2－2a＝0，(*)‎ 设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，‎ 得t1＋t2＝，t1t2＝，‎ 则|AB|＝|t1－t2|＝＝＝，‎ 又|AB|＝，所以＝，‎ 解得a＝，‎ 此时(*)式的判别式Δ＝4－4×5×＝12＞0，‎ 所以a的值为.‎ 解法二　由消去y，得10x2－18x＋9－a＝0，(*)‎ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，‎ 得x1＋x2＝，x1x2＝，‎ 则|AB|＝ ‎＝ ‎＝，‎ 又|AB|＝，所以＝，‎ 解得a＝.‎ 此时(*)式的判别式Δ＝182－4×10×＝12＞0，‎ 所以a的值为.‎ ‎6．[2019·郑州测试]在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数，α∈[0，π))．以原点O为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．设曲线C的极坐标方程为ρcos2θ＝4sinθ.‎ ‎(1)设M(x，y)为曲线C上任意一点，求x＋y的取值范围；‎ ‎(2)若直线l与曲线C交于不同的两点A，B，求|AB ‎|的最小值．‎ 解析：(1)将曲线C的极坐标方程ρcos2θ＝4sinθ，化为直角坐标方程，得x2＝4y.‎ ‎∵M(x，y)为曲线C上任意一点，∴x＋y＝x＋x2＝(x＋2)2－1，‎ ‎∴x＋y的取值范围是[－1，＋∞)．‎ ‎(2)将代入x2＝4y，得t2cos2α－4tsinα－4＝0.‎ ‎∴Δ＝16sin2α＋16cos2α＝16>0，‎ 设方程t2cos2α－4tsinα－4＝0的两个根为t1，t2，‎ 则t1＋t2＝，t1t2＝，‎ ‎∴|AB|＝|t1－t2|＝＝≥4，当且仅当α＝0时，取等号．‎ 故当α＝0时，|AB|取得最小值4.‎ ‎[能力挑战]‎ ‎7．[2018·全国卷Ⅲ]在平面直角坐标系xOy中，⊙O的参数方程为(θ为参数)，过点(0，－)且倾斜角为α的直线l与⊙O交于A，B两点．‎ ‎(1)求α的取值范围；‎ ‎(2)求AB中点P的轨迹的参数方程．‎ 解析：(1)⊙O的直角坐标方程为x2＋y2＝1.‎ 当α＝时，l与⊙O交于两点．‎ 当α≠时，记tan α＝k，则l的方程为y＝kx－.l与⊙O交于两点当且仅当＜1，解得k＜－1或k＞1，即α∈或α∈.‎ 综上，α的取值范围是.‎ ‎(2)l的参数方程为 .‎ 设A，B，P对应的参数分别为tA，tB，tP，‎ 则tP＝，且tA，tB满足t2－2tsin α＋1＝0.‎ 于是tA＋tB＝2sin α，tP＝sin α.‎ 又点P的坐标(x，y)满足 所以点P的轨迹的参数方程是 .‎