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- 2021-06-04 发布
专题19 数列中的最值问题
数列中的最值问题在高考中出现的频率较高，注意考查：等差数列前n项和的最值问题和数列与函数、不等式的结合.等差数列前n项和的最值问题是高考考查的热点之一，考查形式为选择或填空小题，也可以是解答题的一个小题，是中档题；数列与函数、不等式的结合，是高考考查的重点和热点，重点考查利用数列的相关知识和函数、不等式知识求数列的最值或已知不等式成立求参数取值范围或是证明不等式，为解答题的一个小题，难度为中档偏上试题.
1 等差数列中的最值问题
求等差数列前n项和的最值问题的方法：
(1)二次函数法：将看成关于n的二次函数，运用配方法，借助函数的单调性及数形结合思想，使问题得到解决，注意项数n是正整数这一条件.
(2)通项公式法：若是等差数列，求前项和的最值时，
①若，，且满足，则前项和最大;
②若，，且满足，则前项和最小.
(3)不等式法：借助取最大值时，有，解此不等式组确定n的范围，进而确定n的值和对应的值(即为的最值).
例1、已知数列是等差数列，，则前项和中最大的是( )
A． B．或 C．或 D．
【答案】B.
【解析】由已知，，由
得，所以，，，所以是中的最大值．故选B．
例2、设等差数列的前项和为，，，若，，则数列的最小项是
A．第6项 B．第7项 C．第12项 D．第13项
【答案】B
【解析】由S12＞0，S13＜0得a1+a12=a6+a7＞0，a1+a13=2a7＜0，所以a6＞0，a6＞|a7|，所以|a7|最小．
例3.设等差数列的前n项和为，已知，当取得最小值是，( )
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】B
【解析】设等差数列的公差为，所以，因为，故，所以，令，得，所以当取得最小值时．
2.数列与函数、不等式的结合中的最值问题
(1)求数列的前n项和的最值，主要是两种思路：①研究数列的项的情况，判断的最值；②直接研究的通项公式，求的最值.
(2) 求数列的最值，主要有两种方法：①从函数角度考虑，利用函数的性质，求数列的最值；②利用数列离散的特点，考察或，然后判断数列的最值情况.
(3)对数列不等式相结合的最值问题，往往借助于函数的性质(如二次函数、“对号函数”、指数函数等)或基本不等式.
例1. 已知数列中满足，，则的最小值为( )
A．7 B． C．9 D．
【答案】D
【解析】由题意知，，，，将以上个式子相加，得，所以，
，令，，当时，，
当，，，，故最小最值，故答案为D．
例2、【四川省攀枝花市2020届高三统考】在等差数列中，已知，且公差，则其前项和取最小值时的的值为( )
A. B. 或 C. D.
【答案】B
【解析】等差数列中， 可得，则，当时， 最小，又，所以当n=8或n=7时前n项和取最小值，故选B．
例3、【四川省宜宾市第四中学2020届高三月考】正项等比数列中,，若, 则的最小值等( )
A．1 B． C． D．
【答案】C
【解析】∵正项等比数列{an}中，a2018＝a2016+2a2014，a2014q4＝a2014q2+2a2014，∵a2014＞0，∴q4＝q2+2解可得，
q2＝2，∴，∵，4，qm+n﹣2＝4，∴m+n＝6，
则()(m+n)，当且仅当且m+n＝6即m＝n＝3时取等号．
例4、等差数列{an}的首项a1>0，设其前n项和为Sn，且S5＝S12，则当n为何值时，Sn有最大值？
【解析】设等差数列{an}的公差为d，由S5＝S12得5a1＋10d＝12a1＋66d，d＝－a1<0.
法一：Sn＝na1＋d＝na1＋·＝－a1(n2－17n)＝－a12＋a1，
因为a1>0，n∈N*，所以当n＝8或n＝9时，Sn有最大值．
法二：设此数列的前n项和最大，则
即，解得即8≤n≤9，
又n∈N*，所以当n＝8或n＝9时，Sn有最大值．
法三：由于Sn＝na1＋d＝n2＋n，
设f(x)＝x2＋x，则函数y＝f(x)的图象为开口向下的抛物线，
由S5＝S12知，抛物线的对称轴为x＝＝(如图所示)，
由图可知，当1≤n≤8时，Sn单调递增；当n≥9时，Sn单调递减．
又n∈N*，所以当n＝8或n＝9时，Sn最大．
3、数列中最大项问题：
【例】已知数列{an}的通项公式是an＝(n＋1)n，试问该数列中有没有最大项？若有，求出最大项和最大项的序号；若没有，请说明理由．
【解析】法一：∵an＋1－an＝(n＋2)n＋1－(n＋1)n＝n×，
当n<9时，an＋1－an>0，即an＋1>an；
当n＝9时，an＋1－an＝0，即an＋1＝an；
当n>9时，an＋1－an<0，即an＋1