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- 2021-06-04 发布
专题一 数学思想专项突破
1讲 函数与方程思想、数形结合思想
函数的思想是通过建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析、转化问题，从而使问题得到解决的思想；方程的思想就是建立方程或方程组，通过解方程或方程组或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决的思想．
应用一 函数与方程思想在函数、方程、不等式中的应用
[典例1] 已知f(x)是定义在R上的可导函数，且满足(x＋2)f(x)＋xf′(x)＞0，则( )
A．f(x)＞0 B．f(x)＜0
C．f(x)为减函数 D．f(x)为增函数
解析：(构造函数)
令g(x)＝x2f(x)ex，
g′(x)＝2xf(x)ex＋x2f′(x)ex＋x2f(x)ex
＝xex[(x＋2)f(x)＋xf′(x)]，
因为(x＋2)f(x)＋xf′(x)＞0，
所以当x＞0时，g′(x)＞0，函数g(x)单调递增，
当x＜0时，g′(x)＜0，函数g(x)单调递减，
故g(x)＝x2f(x)ex＞g(0)＝0，
即f(x)＞0.故选A.
答案：A
函数与方程思想在不等式中的应用
函数与不等式的相互转化，把不等式转化为函数，借助函数的图象和性质可解决相关的问题、常涉及不等式恒成立问题、比较大小问题．一般利用函数思想构造新函数，建立函数关系求解．
[应用体验]
1．(2018·山西三区八校二模)定义在R上的奇函数f(x)的导函数满足f′(x)＜f(x)，且f(x)·f(x＋3)＝－1，若f(2 015)＝－e，则不等式f(x)＜ex的解集为 ．
解析：因为f(x)·f(x＋3)＝－1，
所以f(x＋3)＝－，f(x＋6)＝－＝f(x)，
即f(x)的周期为6，
所以f(2 015)＝f(－1)＝－f(－1)＝－e，
因为f(x)是奇函数，所以f(1)＝e.
构造函数g(x)＝，则g′(x)＝＜0，
即g(x)在R上单调递减，
g(1)＝＝1，f(x)＜ex⇔＜1⇔g(x)＜1＝g(1)，
所以x＞1.
答案：(1，＋∞)
应用二 函数与方程思想在数列中的应用
[典例2] 设{an}是首项为a，公差为－1的等差数列，Sn为其前n项和，若S1，S2，S4成等比数列，则a1的值 ．
解析：∵{an}为等差数列，
则S4＝4a1＋6d＝4a1－6，S2＝2a1－1，S1＝a1.
又S＝S1·S4知，(2a1－1)2＝a1(4a1－6)，∴a1＝－.
答案：－
1．应用方程的思想求等差(或等比)数列中的通项时，根据题中的条件，列出关于首项和公差(或公比)的方程组，通过解方程组求出数列的首项和公差(或公比)，再根据等差(或等比)数列的通项公式写出an.
2．根据题目条件构造函数关系，把不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题是常用的解题思路．
[应用体验]
2．已知数列{an}满足a1＝33，an＋1－an＝2n，则的最小值为 ．
解析：an＝an－an－1＋an－1－an－2＋…＋a2－a1＋a1＝2(n－1)＋2(n－2)＋…＋2＋33＝2(1＋2＋…＋n－1)＋33＝(n－1)n＋33，故＝n＋－1.注意到对勾函数的单调性，易得n＝5或n＝6时，最小，而＝，＝，故最小值为.
答案：
数形结合思想，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想．数形结合思想的应用包括以下两个方面：
1．“以形助数”，把某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，揭示数学问题的本质；
2．“以数定形”，把直观图形数量化，使形更加精确．
应用三 利用数形结合研究函数零点
[典例3] 已知直线(1－m)x＋(3m＋1)y－4＝0所过定点恰好落在函数f(x)＝的图象上，若函数h(x)＝f(x)－mx＋2有三个不同的零点，则实数m的取值范围是( )
A. B．
C. D．(1，＋∞)
解析：由(1－m)x＋(3m＋1)y－4＝0，得x＋y－4－m(x－3y)＝0，∴由可得直线过定点(3，1)，∴loga3＝1，∴a＝3.令f(x)－mx＋2＝0，得f(x)＝mx－2，在同一坐标系上作出y1＝f(x)与y2＝mx－2的图象，易得＜m＜1.
答案：B
利用数形结合探究方程解的问题应注意两点
1．讨论方程的解(或函数的零点)一般可构造两个函数，使问题转化为讨论两曲线的交点问题，但用此法讨论方程的解一定要注意图象的准确性、全面性，否则会得到错解．
2．正确作出两个函数的图象是解决此类问题的关键，数形结合应以快和准为原则，不是刻意去用数形结合．
[应用体验]
3．已知函数f(x)＝若函数g(x)＝f(x)－m有3个零点，则实数m的取值范围是 ．
解析：在坐标系内作出函数
f(x)＝的图象，如图所示；
可知当0＜m＜1时，函数f(x)的图象与直线y＝m有3个交点，即函数g(x)＝f(x)－m有3个零点．
答案：(0，1)
应用四 利用数形结合求解不等式、参数问题
[典例4] 设f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x＜0时，f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)＞0，且g(－3)＝0，则不等式f(x)g(x)＜0的解集是 ．
解析：设F(x)＝f(x)g(x)，由于f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，得F(－x)＝f(－x)·g(－x)＝－f(x)g(x)＝－F(x)，即F(x)在R上为奇函数．
又当x＜0时，F′(x)＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)＞0，
所以x＜0时，F(x)为增函数．
因为奇函数在对称区间上的单调性相同，
所以x＞0时，F(x)也是增函数．
因为F(－3)＝f(－3)g(－3)＝0＝－F(3)．
所以，由图象可知F(x)＜0的解集是(－∞，－3)∪(0，3)．
答案：(－∞，－3)∪(0，3)
1．本题利用了数形结合思想，由条件判断函数的单调性，再结合g(－3)＝0以及函数的奇偶性，利用图象求x的取值范围．
2．求参数范围或解不等式问题经常联系函数的图象，根据不等式中量的特点，选择适当的两个(或多个)函数，利用两个函数图象的上、下位置关系转化为数量关系来解决问题，往往可以避免烦琐的运算，获得简捷的解答．
[应用体验]
4．(2018·江苏南京模拟)当x∈(1，2)时，(x－1)2＜logax恒成立，则实数a
的取值范围是 ．
解析：由题意可知a＞1，在同一坐标系内作出y＝(x－1)2，x∈(1，2)及y＝logax的图象，若y＝logax过点(2，1)，得loga2＝1，所以a＝2.根据题意，函数y＝logax，x∈(1，2)的图象恒在y＝(x－1)2，x∈(1，2)的上方，所以1＜a≤2.
答案：(1，2]
应用五 利用数形结合解决最值问题
[典例5] 已知⊥，||＝，||＝t，若点P是△ABC所在平面内的一点，且＝＋，则·的最大值等于( )
A．13 B．15
C．19 D．21
解析：以点A为坐标原点，，的方向分别为x轴，y轴的正方向建立平面直角坐标系，如图所示．
则有A(0，0)，B，C(0，t)，由＝＋＝t＋(0，t)＝(1，0)＋(0，4)＝(1，4)．可得P(1，4)，
那么＝，＝(－1，t－4)，
故·＝·(－1，t－4)＝－－4t＋17≤－2 ＋17＝13，当且仅当＝4t，即t＝时等号成立．
答案：A
利用数形结合思想解决最值问题的一般思路利用数形结合的思想可以求与几何图形有关的最值问题，也可以求与函数有关的一些量的取值范围或最值问题．
1．对于几何图形中的动态问题，应分析各个变量的变化过程，找出其中的相互关系求解．
2．对于求最大值、最小值问题，先分析所涉及知识，然后画出相应图象，数形结合求解．
[应用体验]
5．已知抛物线的方程为x2＝8y，点F是其焦点，点A(－2，4)，在此抛物线上求一点P，使△APF的周长最小，此时点P的坐标为 ．
解析：因为(－2)2＜8×4，所以点A(－2，4)在抛物线x2＝8y的内部，如图，设抛物线的准线为l，过点P作PQ⊥l于点Q，过点A作AB⊥l于点B，连接AQ，由抛物线的定义可知△APF的周长为
|PF|＋|PA|＋|AF|＝|PQ|＋|PA|＋|AF|
≥|AQ|＋|AF|≥|AB|＋|AF|.
当且仅当P，B，A三点共线时，△APF的周长取得最小值，即|AB|＋|AF|.因为点A(－2，4)，
所以不妨设△APF的周长最小时，点P的坐标为(－2，y0)，代入x2＝8y，得y0＝，
故使△APF的周长最小的抛物线上的点P的坐标为.
答案：
专项提能练(一)
限时40分钟，实际用时
分值64分，实际得分
一、选择题(本题共6小题，每小题5分，共30分)
1．已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x2＋2x，若f(2－a2)＞f(a)，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，－1)∪(2，＋∞)
B．(－1，2)
C．(－2，1)
D．(－∞，－2)∪(1，＋∞)
解析：选C.因为f(x)是奇函数，所以当x＜0时，－x＞0，∴f(－x)＝(－x)2＋2(－x)
∴－f(x)＝x2－2x，即f(x)＝－x2＋2x.
作出函数f(x)的大致图象(如图中实线所示)，结合图象可知f(x)是R上的增函数，由f(2－a2)＞f(a)，得2－a2＞a，解得－2＜a＜1.故选C.
2．若不等式x2＋ax＋1≥0对一切x∈恒成立，则a的最小值为( )
A．0 B．－2
C．－ D．－3
解析：选C.因为x2＋ax＋1≥0，
即a≥＝－.令g(x)＝－.
当0＜x≤时，g(x)＝－递增，g(x)max＝g＝－，故a≥－，即a的最小值为－.
3．记实数x1，x2，…，xn中最小数为min{x1，x2，…，xn}，则定义在区间[0，＋∞)上的函数f(x)＝min{x2＋1，x＋3，13－x}的最大值为( )
A．5 B．6
C．8 D．10
解析：选C.在同一坐标系中作出三个函数y＝x2＋1，y＝x＋3，y＝13－x的图象如图所示：
由图可知，在实数集R上，min{x2＋1，x＋3，13－x}为y＝x＋3上A点下方的射线，抛物线AB之间的部分，线段BC，与直线y＝13－x点C下方的部分的组合图．显然，在区间[0，＋∞)上，在C点时，y＝min{x2＋1，x＋3，13－x}取得最大值．
解方程组得点C(5，8)．
所以f(x)max＝8.
4．设0＜a＜1，e为自然对数的底数，则a，ae，ea－1的大小关系为( )
A．ea－1＜a＜ae B．ae＜a＜ea－1
C．ae＜ea－1＜a D．a＜ea－1＜ae
解析：选B.设f(x)＝ex－x－1，x＞0，则f′(x)＝ex－1，
∴f(x)在(0，＋∞)上是增函数，且f(0)＝0，f(x)＞0，
∴ex－1＞x，即ea－1＞a.
又y＝ax(0＜a＜1)在R上是减函数，得a＞ae，
从而ea－1＞a＞ae.
5．已知a，b是单位向量，a·b＝0.若向量c满足|c－a－b|＝1，则|c|的最大值为( )
A. －1 B．
C. ＋1 D． ＋2
解析：选C.∵|a|＝|b|＝1，且a·b＝0，∴可设a＝(1，0)，b＝(0，1)，c＝(x，y)．
∴c－a－b＝(x－1，y－1)．
∵|c－a－b|＝1，
∴ ＝1，
即(x－1)2＋(y－1)2＝1.
又|c|＝ .如图所示．
由图可知，当c对应的点(x，y)在点C处时，|c|有最大值，
为|c|＝ ＋1＝ ＋1.
6．已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1和两点A(－m，0)，B(m，0)(m＞0)．若圆C上存在点P，使得∠APB＝90°，则m的最大值为( )
A．7 B．6
C．5 D．4
解析：选B.根据题意，画出示意图，如图所示，则圆心C的坐标为(3，4)，半径r＝1，且|AB|＝2m.
因为∠APB＝90°，连接OP，易知|OP|＝|AB|＝m.
要求m的最大值，即求圆C上的点P到原点O的最大距离．
因为|OC|＝ ＝5，
所以|OP|max＝|OC|＋r＝6，即m的最大值为6.
二、填空题(本题共2小题，每小题5分，共10分)
7．若x，y满足约束条件则的最大值为 ．
解析：画出约束条件所满足的可行域，如图阴影部分所示，
＝表示可行域内的点和定点F(6，6)连线的斜率，
显然直线AF的斜率最大，
kAF＝＝3，
即的最大值是3.
答案：3
8．已知e为自然对数的底数，若对任意的x∈，总存在唯一的y∈[－1，1]，使得ln x－x＋1＋a＝y2ey成立，则实数a的取值范围是 ．
解析：设f(x)＝ln x－x＋1＋a，当x∈时，f′(x)＝≥0，f(x)是增函数，所以x∈
时，f(x)∈；设g(y)＝y2ey，则g′(y)＝eyy(y＋2)，则g(y)在(－1，0)单调递减，在[0，1]单调递增，且g(－1)＝＜g(1)＝e.因为对任意的x∈，存在唯一的y∈，使得f(x)＝g(y)成立，所以⊆，解得＜a≤e.
答案：
三、解答题(本题共2小题，每题12分，共24分)
9．已知等差数列{an}的公差d≠0，a1＋a4＝14，且a1，a2，a7成等比数列．
(1)求{an}的通项公式an与前n项和公式Sn；
(2)令bn＝，若{bn}是等差数列，求数列的前n项和Tn的最小值．
解：(1)a1＋a4＝2a1＋3d＝14，
由a1，a2，a7成等比数列得a1(a1＋6d)＝(a1＋d)2，整理得d2＝4a1d，
∵d≠0，∴d＝4a1，
由d＝4a1与2a1＋3d＝14联立，解得a1＝1，d＝4，
∴an＝a1＋(n－1)d＝4n－3，Sn＝＝2n2－n.
(2)由(1)知bn＝，∵{bn}为等差数列，
∴2b2＝b1＋b3，代入可解得k＝－或k＝0，
当k＝－时，bn＝2n，则＝，
∴Tn＝
＝，
又y＝＝在(0，＋∞)上是增函数，
∴当n＝1时，Tn有最小值.
当k＝0时，bn＝2n－1，
则＝＝，
∴Tn＝
＝.
又y＝＝在(0，＋∞)上是增函数，
∴当n＝1时，Tn取到最小值.
综上，当k＝－时，Tn的最小值为；
当k＝0时，Tn的最小值为.
10．设椭圆中心在坐标原点，A(2，0)，B(0，1)是它的两个顶点，直线y＝kx(k＞0)与AB相交于点D，与椭圆相交于E，F两点．
(1)若＝6，求k的值；
(2)求四边形AEBF面积的最大值．
解：(1)依题意得椭圆的方程为＋y2＝1，直线AB，EF的方程分别为x＋2y＝2，y＝kx(k＞0)(如图)，
设D(x0，kx0)，E(x1，kx1)，F(x2，kx2)，其中x1＜x2，且x1，x2满足方程(1＋4k2)x2＝4.
故x2＝－x1＝. ①
由＝6知x0－x1＝6(x2－x0)，
得x0＝(6x2＋x1)＝x2＝；
由D在AB上知x0＋2kx0＝2，
得x0＝.所以＝，
化简得24k2－25k＋6＝0，
解得k＝或k＝.
(2)根据点到直线的距离公式和①式知，点E，F到AB的距离分别为
h1＝＝，
h2＝＝.
又|AB|＝ ＝ ，
所以四边形AEBF的面积为
S＝|AB|(h1＋h2)
＝··＝
＝2 ＝2 ≤2 ，
当且仅当4k2＝1(k＞0)，即当k＝时，上式取等号．
所以S的最大值为2 .
即四边形AEBF面积的最大值为2 .
第2讲 分类与整合思想、转化与化归思想
分类与整合思想是当问题的对象不能进行统一研究时，就需要对研究的对象按某个标准进行分类，然后对每一类分别研究，给出每一类的结论，最终综合各类结果得到整个问题的答案．实质上分类与整合就是“化整为零，各个击破，再集零为整”的数学思想．
应用一 由概念、性质、运算引起的分类与整合
[典例1] 已知函数f(x)＝ax＋b(a＞0，a≠1)的定义域和值域都是[－1，0]，则a＋b＝ ．
解析：当a＞1时，函数f(x)＝ax＋b在[－1，0]上为增函数，由题意得无解．当0＜a＜1时，函数f(x)＝ax＋b在[－1，0]上为减函数，由题意得解得所以a＋b＝－.
答案：－
数学概念运算公式中常见的分类
1．由二次函数、指数函数、对数函数的定义，直线的倾斜角、向量的夹角的范围等引起分类讨论；
2．由除法运算中除数不为零，不等式两边同乘以(或除以)同一个数(或式)时的不等号等引起分类讨论；
3．由数学公式、定理、性质成立的条件等引起分类讨论．
[应用体验]
1．在等比数列{an}中，已知a3＝，S3＝，则a1＝ ．
解析：当q＝1时，a1＝a2＝a3＝，
S3＝3a1＝，显然成立；
当q≠1时，由题意，得
所以
由①②，得＝3，即2q2－q－1＝0，
所以q＝－或q＝1(舍去)．当q＝－时，a1＝＝6.
综上可知，a1＝或a1＝6.
答案：或6
应用二 由图形位置或形状引起的分类与整合
[典例2] 若双曲线＋＝1的渐近线方程为y＝±x，则m的值为( )
A．－1 B．
C. D．－1或
解析：选B.根据题意可分以下两种情况讨论：
①当焦点在x轴上时，则有
解得m＜1，
此时渐近线方程为y＝± x，
由题意＝，解得m＝，
②当焦点在y轴上时，则有解得m＞3，
此时渐近线方程为y＝± x，
由题意＝，解得：m＝；
综合以上可知m＝.故选B.
图形位置或形状的变化中常见的分类
圆锥曲线形状不确定时，常按椭圆、双曲线来分类讨论，求圆锥曲线的方程时，常按焦点的位置不同来分类讨论；相关计算中，涉及图形问题时，也常按图形的位置不同、大小差异等来分类讨论．
[应用体验]
2．已知实数x，y满足约束条件如果目标函数 ＝x＋ay的最大值为，则实数a的值为( )
A．3 B．
C．3或 D．3或－
解析：选D.先画出线性约束条件所表示的可行域，目标函数化为y＝－x＋ ，目标函数 ＝x＋ay的最大值只需直线的截距最大，
当a＞0时，－＜0，
①若－＜－＜0，即a＞2，最优解为A，
＝＋a＝，a＝3，符合题意；
②若－＜－，即a＜2，最优解为B，
＝3＋a＝，a＝，不符合题意舍去；
当a＜0时，－＞0，
③若0＜－＜1，即a＜－1，最优解为C(－2，－2)，
＝－2－2a＝，a＝－，符合题意；
④若－＞1，即－1＜a＜0，最优解为B，
＝3＋a＝，a＝，不符合题意舍去；
综上可知实数a的值为3或－.故选D.
应用三 由变量或参数引起的分类与整合
[典例3] 设函数f(x)＝x3－ax－b，x∈R，其中a，b∈R.求f(x)的单调区间．
解：由f(x)＝x3－ax－b，可得f′(x)＝3x2－a.
下面分两种情况：
①当a≤0时，f′(x)＝3x2－a≥0恒成立．
所以f(x)的单调递增区间为(－∞，＋∞)．
②当a＞0时，令f′(x)＝0，解得x＝或x＝－.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如表：
x
－
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
极大值
极小值
所以f(x)的单调递减区间为，单调递增区间为，.
几种常见的由参数变化引起的分类与整合
1．含有参数的不等式的求解．
2．含有参数的方程的求解．
3．对于解析式系数含参数的函数，求最值或单调性问题．
4．二元二次方程表示曲线类型的判定等．
5．直线与圆锥曲线位置关系的分类．
[应用体验]
3．函数f(x)＝ax2＋4x－3在x∈[0，2]上有最大值f(2)，则实数a的取值范围是 ．
解析：当a＝0时，f(x)＝4x－3在x∈[0，2]上为单调递增函数，最大值为f(2)，满足题意．
当a≠0时，函数f(x)＝ax2＋4x－3＝a－3－，其对称轴为x＝－.
当a＞0时，f(x)＝ax2＋4x－3在x∈[0，2]上为单调递增函数，最大值为f(2)，满足题意．
当a＜0时，只有当－≥2，即－1≤a＜0时，f(x)＝ax2＋4x－3在x∈[0，2]上为单调递增函数，最大值为f(2)，满足题意．
综上，当a≥－1时，函数f(x)＝ax2＋4x－3在x∈[0，2]上有最大值f(2)．
答案：[－1，＋∞)
转化与化归思想方法，就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而解决问题的一种方法．一般总是将复杂的问题通过变换转化为简单的问题，
将难解的问题通过变换转化为易解的问题，将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题．
应用四 特殊与一般的转化
[典例4] 已知函数f(x)＝(a－3)x－ax3在[－1，1]上的最小值为－3，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，－1] B．[12，＋∞)
C．[－1，12] D．
解析：当a＝0时，函数f(x)＝－3x，x∈[－1，1]，显然满足条件，故排除选项A，B；
当a＝－时，函数f(x)＝x3－x，f′(x)＝x2－＝(x2－1)，
当－1≤x≤1时，f′(x)≤0，所以f(x)在[－1，1]上单调递减，
所以f(x)min＝f(1)＝－＝－3，满足条件，故排除C.综上，选D.
答案：D
常用的“特殊元素”有特殊数值、特殊数列、特殊函数、特殊图形、特殊角、特殊位置等．对于选择题，在题设条件都成立的情况下，用特殊值探求正确选项，即通过对特殊情况的研究来判断一般规律；对于填空题，当结论唯一或题设条件中提供的信息暗示答案是一个定值时，可以用特殊值代替变化的不定量．
[应用体验]
4．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a，b，c成等差数列，则＝ ．
解析：令a＝b＝c，则△ABC为等边三角形，
且cos A＝cos C＝，
代入所求式子，得＝＝.
答案：
应用五 正与反的转化
[典例5] 若对于任意t∈[1，2]，函数g(x)＝x3＋x2－2x在区间(t，3)上总不为单调函数，则实数m的取值范围是 ．
解析：g′(x)＝3x2＋(m＋4)x－2，
若g(x)在区间(t，3)上总为单调函数，
则①g′(x)≥0在(t，3)上恒成立，
或②g′(x)≤0在(t，3)上恒成立．
由①得3x2＋(m＋4)x－2≥0，即m＋4≥－3x，
当x∈(t，3)时恒成立，∴m＋4≥－3t，t∈[1，2]恒成立，则m＋4≥－1，即m≥－5；
由②得3x2＋(m＋4)x－2≤0，即m＋4≤－3x，
当x∈(t，3)时恒成立，
则m＋4≤－9，即m≤－.
∴函数g(x)在区间(t，3)上总不为单调函数的m的取值范围为.
答案：
1．本题是正与反的转化，由于不为单调函数有多种情况，先求出其反面，体现“正难则反”的原则．
2．题目若出现多种成立的情形，则不成立的情形相对很少，从反面考虑较简单，因此，间接法多用于含有“至多”“至少”及否定性命题情形的问题中．
[应用体验]
5．由命题“存在x0∈R，使e|x0－1|－m≤0”是假命题，得m的取值范围是(－∞，a)，则实数a的取值是( )
A．(－∞，1) B．(－∞，2)
C．1 D．2
解析：选C.命题“存在x0∈R，使e|x0－1|－m≤0”是假命题，可知它的否定形式“任意x∈R，使e|x－1|－m＞0”是真命题，可得m的取值范围是(－∞，1)，而(－∞，a)与(－∞，1)为同一区间，故a＝1.
应用六 主与次的转化
[典例6] 已知函数f(x)＝x3＋3ax－1，g(x)＝f′(x)－ax－5，其中f′(x)是f(x)的导函数．对满足－1≤a≤1的一切a的值，都有g(x)＜0，则实数x的取值范围为 ．
解析：由题意，知g(x)＝3x2－ax＋3a－5，
令φ(a)＝(3－x)a＋3x2－5，－1≤a≤1.(主次转化)
对－1≤a≤1，恒有g(x)＜0，即φ(a)＜0，
∴
即
解得－＜x＜1.
故当x∈时，对满足－1≤a≤1的一切a的值，都有g(x)＜0.
答案：
函数、方程与不等式相互转化的应用
函数、方程与不等式就象“一胞三兄弟”，解决方程、不等式的问题需要函数帮助，解决函数的问题需要方程、不等式的帮助，因此借助于函数、方程、不等式进行转化与化归可以将问题化繁为简，一般可将不等关系问题转化为最值(值域)问题，
从而求出参变量的范围．
[应用体验]
6．对于满足0≤p≤4的所有实数p，使不等式x2＋px＞4x＋p－3成立的x的取值范围是 ．
解析：设f(p)＝(x－1)p＋x2－4x＋3，
则当x＝1时，f(p)＝0.所以x≠1.
f(p)在0≤p≤4上恒为正，等价于
即解得x＞3或x＜－1.
答案：(－∞，－1)∪(3，＋∞)
限时规范训练(二十四)
限时40分钟，实际用时
分值64分，实际得分
一、选择题(本题共6小题，每题5分，共30分)．
1．“(m－1)(a－1)＞0”是“logam＞0”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选B.(m－1)(a－1)＞0等价于或而logam＞0等价于或所以条件具有必要性，但不具有充分性，比如m＝0，a＝0时，不能得出logam＞0.
2．若关于x的不等式(a－2)x2＋2(a－2)·x－4＜0对一切x∈R恒成立，则a的取值范围是( )
A．(－∞，2] B．[－2，2]
C．(－2，2] D．(－∞，－2)
解析：选C.当a－2＝0即a＝2时，不等式为－4＜0，恒成立，所以a＝2；
当a－2≠0时，则a满足解得－2＜a＜2，所以a的取值范围是{a|－2＜a≤2}．
3．已知中心在坐标原点，焦点在坐标轴上的双曲线的渐近线方程为y＝±x，则该双曲线的离心率为( )
A. B．
C.或 D．或
解析：选C.当焦点在x轴上时，＝，此时离心率e＝＝；当焦点在y轴上时，＝，此时离心率e＝＝，故选C.
4．若正数x，y满足x2＋3xy－1＝0，则x＋y的最小值是( )
A. B．
C. D．
解析：选B.由x2＋3xy－1＝0可得y＝，
所以x＋y＝x＋＝＋≥
.
5．过抛物线y＝ax2(a＞0)的焦点F，作一直线交抛物线于P，Q两点．若线段PF与FQ的长度分别为p，q，则＋等于( )
A．2a B．
C．4a D．
解析：选C.抛物线y＝ax2(a＞0)的标准方程为x2＝y(a＞0)，焦点F.
过焦点F作直线垂直于y轴，则|PF|＝|QF|＝，
∴＋＝4a.
6．已知AB为圆O：(x－1)2＋y2＝1的直径，点P为直线x－y＋1＝0上任意一点，则·的最小值为( )
A．1 B．
C．2 D．2
解析：选A.由·＝(＋)·(＋)＝2＋·(＋)＋·＝2－r2，即为d2－r2，其中d为点P与圆心O之间的距离，r为圆的半径，因此当d取最小值时，·取值最小，
可知d的最小值为＝，故·的最小值为1，故选A.
二、填空题(本题共2小题，每小题5分，共10分)
7．已知函数f(x)＝若f(1)＋f(a)＝2，则a的所有可能值为 ．
解析：f(1)＝e0＝1，即f(1)＝1.
由f(1)＋f(a)＝2，得f(a)＝1.
当a≥0时，f(a)＝1＝ea－1，所以a＝1.
当－1＜a＜0时，f(a)＝sin(πa2)＝1，
所以πa2＝2kπ＋(k∈ )．
所以a2＝2k＋(k∈ )，k只能取0，此时a2＝.
因为－1＜a＜0，所以a＝－.故a＝1或－.
答案：1或－
8．已知变量x，y满足的不等式组表示的是一个直角三角形围成的平面区域，则实数k＝ ．
解析：当k＝0时，不等式组表示的可行域如图①(阴影部分)所示，由图②可知，若不等式组表示的平面区域是直角三角形，只有直线y＝kx＋1与直线x＝0或y＝2x垂直时平面区域才是直角三角形．
结合图形可知斜率k的值为0或－.
答案：0或－
三、解答题(本题共2小题，每小题12分，共24分)
9．已知a，b，c分别是△ABC的内角A，B，C所对的边，且c＝2，C＝.
(1)若△ABC的面积等于，求a，b；
(2)若sin C＋sin(B－A)＝2sin 2A，求A的值．
解：(1)因为c＝2，C＝，
所以由余弦定理得4＝a2＋b2－2abcos ＝a2＋b2－ab，
因为△ABC的面积等于，
所以absin C＝ ，所以ab＝4，
联立解得a＝2，b＝2.
(2)因为sin C＋sin(B－A)＝2sin 2A，
所以sin(B＋A)＋sin(B－A)＝4sin Acos A，
所以sin Bcos A＝2sin Acos A，
①当cos A＝0时，A＝；
②当cos A≠0时，sin B＝2sin A，
由正弦定理得b＝2a，
联立解得a＝，b＝，
所以b2＝a2＋c2，因为C＝，所以A＝.
综上所述，A＝或A＝.
10．设a＞0，函数f(x)＝x2－(a＋1)x＋a(1＋ln x)．
(1)求曲线y＝f(x)在(2，f(2))处与直线y＝－x＋1垂直的切线方程；
(2)求函数f(x)的极值．
解：(1)由已知，得x＞0，
f′(x)＝x－(a＋1)＋，
又因为y＝f(x)在(2，f(2))处切线的斜率为1，
所以f′(2)＝1，即2－(a＋1)＋＝1，
所以a＝0，此时f(2)＝2－2＝0，
故所求的切线方程为y＝x－2.
(2)f′(x)＝x－(a＋1)＋＝
＝.
①当0＜a＜1时，若x∈(0，a)，则f′(x)＞0，函数f(x)单调递增；
若x∈(a，1)，则f′(x)＜0，函数f(x)单调递减；
若x∈(1，＋∞)，则f′(x)＞0，函数f(x)单调递增．
此时x＝a是f(x)的极大值点，x＝1是f(x)的极小值点，
函数f(x)的极大值是f(a)＝－a2＋aln a，
极小值是f(1)＝－.
②当a＝1时，f′(x)＝≥0，
所以函数f(x)在定义域(0，＋∞)内单调递增，
此时f(x)没有极值点，故无极值．
③当a＞1时，若x∈(0，1)，则f′(x)＞0，函数f(x)单调递增；
若x∈(1，a)，则f′(x)＜0，函数f(x)单调递减；
若x∈(a，＋∞)，则f′(x)＞0，函数f(x)单调递增．
此时x＝1是f(x)的极大值点，x＝a是f(x)的极小值点，
函数f(x)的极大值是f(1)＝－，
极小值是f(a)＝－a2＋aln a.
综上，当0＜a＜1时，f(x)的极大值是－a2＋aln a，极小值是－；
当a＝1时，f(x)没有极值；
当a＞1时，f(x)的极大值是－，极小值是－a2＋aln a．