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- 2021-06-04 发布
【基础巩固】
一、填空题
1．(2017·南京调研)对于直线l，m，平面α，m⊂α，则“l⊥m”是“l⊥α”成立的________条件(从“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”中选填一个)．
【答案】必要不充分
【解析】若m⊂α，l⊥m，则直线l与平面α垂直、相交、平行或直线l在平面α内都有可能，充分性不成立；若m⊂α，l⊥α，则l⊥m，必要性成立，所以“l⊥m”是“l⊥α”成立的必要不充分条件．
2．(2017·深圳四校联考)若平面α，β满足α⊥β，α∩β＝l，P∈α，P∉l，给出下列命题：
①过点P垂直于平面α的直线平行于平面β；
②过点P垂直于直线l的直线在平面α内；
③过点P垂直于平面β的直线在平面α内；
④过点P且在平面α内垂直于l的直线必垂直于平面β.
其中假命题为________(填序号)．
【答案】②
3．如图，已知PA⊥平面ABC，BC⊥AC，则图中直角三角形的个数为________．
【答案】4
【解析】∵PA⊥平面ABC，AB，AC，BC⊂平面ABC，
∴PA⊥AB，PA⊥AC，PA⊥BC，则△PAB，△PAC为直角三角形．由BC⊥AC，且AC∩PA＝A，∴BC⊥平面PAC，从而BC⊥PC，因此△ABC，△PBC也是直角三角形．
4．在正三棱锥(底面为正三角形且侧棱相等)P－ABC中，D，E分别是AB，BC的中点，有下列三个论断：①AC⊥PB；②AC∥平面PDE；③AB⊥平面PDE.其中正确论断的序号为________．
【答案】①②
【解析】如图，
∵P－ABC为正三棱锥，∴PB⊥AC；又∵DE∥AC，
DE⊂平面PDE，AC⊄平面PDE，
∴AC∥平面PDE.故①②正确．
5．(2017·苏北四市联考)已知α，β是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，l⊥α，m⊂β.给出下列命题：
①α∥β⇒l⊥m；②α⊥β⇒l∥m；③m∥α⇒l⊥β；④l⊥β⇒m∥α.
其中正确的命题是________(填序号)．
【答案】①④
6．如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD(只要填写一个你认为正确的条件即可)．
【答案】DM⊥PC(或BM⊥PC等)
【解析】由定理可知，BD⊥PC.
∴当DM⊥PC(或BM⊥PC)时，有PC⊥平面MBD.
又PC⊂平面PCD，∴平面MBD⊥平面PCD.
7．(2017·徐州检测)如图，以等腰直角三角形ABC的斜边BC上的高AD为折痕，把△ABD和△ACD折成互相垂直的两个平面后，某学生得出下列四个结论：
①BD⊥AC；
②△BAC是等边三角形；
③三棱锥D－ABC是正三棱锥；
④平面ADC⊥平面ABC.
其中正确的是________(填序号)．
【答案】①②③
【解析】由题意知，BD⊥平面ADC，且AC⊂平面ADC，故BD⊥AC，①正确；AD为等腰直角三角形斜边BC上的高，平面ABD⊥平面ACD，所以AB＝AC＝BC，△BAC是等边三角形，②正确；易知DA＝DB＝DC，又由②知③正确；由①知④错．
8．(2016·全国Ⅱ卷改编)α，β是两个平面，m，n是两条直线，有下列四个命题：
①如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β；
②如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n；
③如果α∥β，m⊂α，那么m∥β；
④如果m∥n，α∥β，那么m与α所成的角和n与β所成的角相等．
其中正确的命题有________(填序号)．
【答案】②③④
二、解答题
9．(2017·苏州调研)如图，△ABC和△BCD所在平面互相垂直，且AB＝BC＝BD＝2，∠ABC＝∠DBC＝120°，E，F，G分别为AC，DC，AD的中点．
(1)求证：EF⊥平面BCG；
(2)求三棱锥D－BCG的体积．
(1)证明 由已知得△ABC≌△DBC，
因此AC＝DC.
又G为AD的中点，所以CG⊥AD.
同理BG⊥AD，又BG∩CG＝G，因此AD⊥平面BCG.
又EF∥AD，所以EF⊥平面BCG.
(2)
10．(2017·盐城模拟)如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，AB＝2AD，PD⊥底面ABCD，E，F分别为棱AB，PC的中点．
(1)求证：EF∥平面PAD；
(2)求证：平面PDE⊥平面PEC.
证明 (1)如图1，取PD的中点G，连接AG，FG.
因为F，G分别是PC，PD的中点，
所以GF∥DC，且GF＝DC.
又E是AB的中点，所以AE∥DC，且AE＝DC，
所以GF∥AE，且GF＝AE，
所以四边形AEFG是平行四边形，故EF∥AG.
又AG⊂平面PAD，EF⊄平面PAD，
所以EF∥平面PAD.
图1
图2
【能力提升】
11．(2017·苏、锡、常、镇四市调研)设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面：
①若m⊥n，n∥α，则m⊥α；
②若m∥β，β⊥α，则m⊥α；
③若m⊥β，n⊥β，n⊥α，则m⊥α；
④若m⊥n，n⊥β，β⊥α，则m⊥α.
上述命题中为真命题的是________(填序号)．
【答案】③
【解析】①中，由m⊥n，n∥α可得m∥α或m与α相交或m⊂α，错误；②中，由m∥β，β⊥α可得m∥α或m与α相交或m⊂α，错误；③中，由m⊥β，n⊥β可得m∥n，又n⊥α，所以m⊥α，正确；④中，由m⊥n，n⊥β，β⊥α可得m∥α或m与α相交或m⊂α，错误．
12．(2017·南京师大模拟)如图，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，沿AE，AF，EF把正方形折成一个四面体，使B，C，D三点重合，重合后的点记为P，P点在△AEF内的射影为O，给出下列结论：
①O是△AEF的垂心；②O是△AEF的内心；
③O是△AEF的外心；④O是△AEF的重心．
其中结论正确的是________(填序号)．
【答案】①
【解析】
由题意可知PA，PE，PF两两垂直，
所以PA⊥平面PEF，从而PA⊥EF，
而PO⊥平面AEF，则PO⊥EF，因为PO∩PA＝P，
所以EF⊥平面PAO，
∴EF⊥AO，同理可知AE⊥FO，AF⊥EO，
∴O为△AEF的垂心．
13．如图，已知六棱锥P－ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，PA＝2AB，则下列结论中：①PB⊥AE；②平面ABC⊥平面PBC；③直线BC∥平面PAE；
④∠PDA＝45°.
其中正确的有________(填序号)．
【答案】①④
14．(2016·四川卷)如图，在四棱锥PABCD中，PA⊥CD，AD∥BC，∠ADC＝∠PAB＝90°，BC＝CD＝AD.
(1)在平面PAD内找一点M，使得直线CM∥平面PAB，并说明理由．
(2)证明：平面PAB⊥平面PBD.