数学理卷·2018届山东省德州一中（德州市）高三上学期期中考试（2017 10页

山东省德州市2018届高三上学期期中考试 数学（理）试题 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知命题，则（ ）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎2.设函数的定义域为，函数的定义域为，则（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎3.若，则（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎4.已知且，则下列不等式恒成立的是（ ）‎ A． B． C. D． ‎ ‎5.设为所在平面内一点，，则（ ）‎ A． B． ‎ C. D．‎ ‎6.函数在处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为（ ）‎ A．2 B．4 C. D． ‎ ‎7.函数的部分图象大致为 A． B．‎ C. D．‎ ‎8. 已知函数，将的图象上所有的点的横坐标缩短为原来的倍(纵坐标不变），再把所得的图象向右平移个单位长度，所得的图象关于原点对称，则的最小值是（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎9. 已知函数关于直线对称，且对任意有，则使得成立的的取值范围是（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎10.已知是第四象限角，且，则（ ）‎ A． B． C. D． ‎ ‎11. 已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则函数的零点个数为（ ）‎ A．2 B．4 C. 6 D．8‎ ‎12．已知函数，关于的不等式只有1个整数解，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C. D． ‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13. 已知角是的内角，则“”是“”的 条件(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要条件”、“既不充分又不必要”之一).‎ ‎14.已知向量与的夹角为，且，若，且 ‎，则实数的值是 ．‎ ‎15.已知实数满足约束条件，则的最小值是 ．‎ ‎16.在中，分别为内角的对边，，则面积的最大值为 ．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17. 命题实数满足,命题函数的定义域为，若命题为假， 为真，求实数的取值范围.‎ ‎18. 已知向量.‎ ‎（1）当时，求的值；‎ ‎（2）当时，(为实数），且，试求的最小值.‎ ‎19.已知中，角的所对的边分别是，，且（为面积).‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）若，求的长度.‎ ‎20.已知函数.‎ ‎（1）若，求函数的极值；‎ ‎（2）当 时，判断函数在区间上零点的个数.‎ ‎21.水培植物需要一种植物专用营养液，已知每投放（且）个单位的营养液，它在水中释放的浓度(克/升）随着时间(天)变化的函数关系式近似为，其中 ‎，若多次投放，则某一时刻水中的营养液浓度为每次投放的营养液在相应时刻所释放的浓度之和，根据经验，当水中营养液的浓度不低于4(克/升)时，它才能有效.‎ ‎（1）若只投放一次2个单位的营养液，则有效时间最多可能达到几天？‎ ‎（2）若先投放2个单位的营养液，3天后再投放个单位的营养液，要使接下来的2天中，营养液能够持续有效，试求的最小值.‎ ‎22.已知函数.‎ ‎（1）求的单调区间；‎ ‎（2）设的两个不同的零点是，求证.‎ 试卷答案 一、选择题 ‎1-5: DCBCB 6-10: AACAD 11、12：BD 二、填空题 ‎13. 充分不必要 14. 15. 16. ‎ 三、解答题 ‎17. 解：真，，解得或；‎ 假， ‎ 真，对任意恒成立，‎ 当时满足题意 ‎ 当时，，解得, ‎ 所以， ‎ 假， 或 ‎ 由为假，为真，则真假或假真 ‎ ‎①真假，，解得 或 ‎ ‎②假真，，解得 ‎ 综上:实数的取值范围是或或 ‎ ‎18．解:（1）由，则， ‎ 即，解得或 ‎ ‎（2）由得，‎ 即 ‎ 当时，，‎ 式化简得 ‎ 所以，故当时，的最小值是.‎ ‎19.解：（1）∵，‎ ‎∴‎ ‎∵‎ ‎∴ ‎ ‎∵‎ 得 ‎∴ ∴是钝角 又 ‎∴ ‎ ‎ ‎ ‎（2）∵ ‎ ‎∴ ∴‎ 由得 又 ∴ ‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎20.解：（1），‎ 因为，所以，‎ ‎1‎ ‎0‎ ‎0‎ 递增 极大值 递减 极小值 递增 所以的极大值为，极小值为.‎ ‎（2）①当时，，在上单调递增，在上递减 又因为 所以在上有两个零点 ‎ ‎②当时，，在上单调递增，在上递减，在上递增，又因为 所以在上有且只有一个零点，在上没有零点，所以在上有且只有只有一个零点.‎ 综上:当时，在上有两个零点；当时，在上有且只有一个零点.‎ ‎21. 解：（1）营养液有效则需满足，则或，‎ 即为或， ‎ 解得，‎ 所以营养液有效时间最多可达3天； ‎ ‎（2）解法一:设第二次投放营养液的持续时间为天，‎ 则此时第一次投放营养液的持续时间为天，且；‎ 设为第一次投放营养液的浓度，为第二次投放营养液的浓度，为水中的营养液的浓度；‎ ‎∴，‎ ‎，‎ 在上恒成立，‎ ‎∴在上恒成立，‎ 令，则，‎ 又，‎ 当且仅当，即时，取等号；‎ 因为 所以的最小值为.‎ 答:要使接下来的2天中，营养液能够持续有效，的最小值为.‎ 解法二:设两次投放营养液后的持续时间为天，‎ 则第一次投放营养液的持续时间为天，‎ 第二次投放营养液的持续时间为天，且，‎ 设为第一次投放营养液的浓度，为第二次投放营养液的浓度，为水中的营养液的浓度；‎ ‎∴，‎ 在上恒成立 ‎∴在上恒成立 则 又，‎ 当且仅当即时，取等号；‎ 因，所以.‎ 答:要使接下来的2天中，营养液能够持续有效，的最小值为.‎ ‎22. 解：（1） ‎ ‎（1）当时，在上为减函数 ‎（2）当时,令得 当时，为减兩数 时，为增函数 ‎ 综上：当时，减区间为，无增区间 当时，增区间为，减区间为 ‎（2）因为有两个不同零点 ‎∴得 ‎ ‎∴ ‎ 两式相减得，解得 要证: ‎ 即证：‎ 即证 ‎ 不妨设，令 只需证 设 ‎∴ ‎ 令 ‎∴ ‎ ‎∴在上单减 ‎∴‎ ‎∴ ‎ ‎∴在为减函数 ‎∴‎ 即在恒成立 ‎∴原不等式成立，即.‎