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- 2021-06-04 发布
专题 31 复数的解题策略
一．【学习目标】
1．理解复数的有关概念，掌握复数相等的充要条件，并会应用．
2．了解复数的代数形式的表示方法，能进行复数的代数形式的四则运算．
3．了解复数代数形式的几何意义及复数的加、减法的几何意义，会简单应用．
二．知识点与方法总结
1．复数的有关概念
(1)复数的概念
形如 a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中 a，b 分别是它的实部和虚部，若 b≠0，则 a＋bi 为虚数，若
a=0，则 a＋bi 为纯虚数，i 为虚数单位．
(2)复数相等：复数 a＋bi＝c＋di⇔a =c ,b=d (a，b，c，d∈R)．
(3)共轭复数：a＋bi 与 c＋di 共轭⇔a =c ,b=-d (a，b，c，d∈R)．
(4)复数的模
向量OZ→
的模 r 叫做复数 z＝a＋bi(a，b∈R)的模，记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|．
2．复数的四则运算
设 z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则
(1)加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；
(2)减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；
(3)乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；
(4)除法：
z1
z2＝
a＋bi
c＋di＝
（a＋bi）（c－di）
（c＋di）（c－di）
＝
（ac＋bd）＋（bc－ad）i
c2＋d2 ＝
ac＋bd
c2＋d2 ＋bc－ad
c2＋d2 i(c＋di≠0)．
3．两条性质
(1)i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，in＋in＋1＋in＋2＋in＋3＝0(其中 n∈N*)；
(2)(1±i)2＝±2i，
1＋i
1－i＝i，
1－i
1＋i＝－i.
4.方法规律总结
（1）.设 z＝a＋bi(a，b∈R)，利用复数相等的充要条件转化为实数问题是求解复数常用的方法.
（2）.实数的共轭复数是它本身，两个纯虚数的积是实数.
（3）.复数问题几何化，利用复数、复数的模、复数运算的几何意义，转化条件和结论，有效利用数和形的
结合，取得事半功倍的效果.
三．典例分析
（一）复数的概念
例 1．若复数 （为虚数单位）在复平面内对应的点在虚轴上，则实数 （ ）
A． B．2 C． D．
【答案】D
【解析】
复数在复平面内对应的点在虚轴上，则 ，
故选
练习 1．若复数 z＝（3﹣6i）（1+9i），则（ ）
A．复数 z 的实部为 21
B．复数 z 的虚部为 33
C．复数 z 的共轭复数为 57﹣21i
D．在复平面内，复数 z 所对应的点位于第二象限
【答案】C
练习 2．若复数 （为虚数单位），则复数在坐标平面内对应点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】z ，则复数 z 在复平面内对应点的坐标是：（1，-1）．
故选：B．
（二）复数的几何意义
例 2．已知复数 在复平面内对应的点分别为 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】∵复数 在复平面内对应的点分别为（1，1），（0， 1），
∴ ＝1+i， ＝i．∴ ．故选：D．
练习 1．复数 在复平面上对应的点位于
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【解析】因为
所以复数 z 在复平面所对应的点是（1,3）
练习 2．设复数满足 ，其中为虚数单位，则复数对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【解析】由（1+i）2•z＝2+i，得 2iz＝2+i，
∴ ，
∴复数 z 对应的点的坐标为（ ，﹣1），位于第四象限．
故选：D．
练习 3．已知 ，且 ，则实数 的值为（ ）
A．0 B．1 C． D．
【答案】C
【解析】∵ ，∴
∴ ＝3,得 ，则 ，
∴a= ，故选：C．
（三）复数的运算法则
例 3．计算 （i 为虚数单位），结果为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】 =(11+2i) =-20-15i
故选：A.
练习 1．复数 (i 为虚数单位)在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【解析】复数 .
在复平面内对应的点为(-1,2) 位于第二象限.
故选 B.
练习 2．已知复数 是纯虚数，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】依题意 ，由于为纯虚数，故 ，解得 ，
故选 A.
练习 3．定义 ，若 展开式中 一次项的系数为 ，则 等于（为虚数单
位）（ ）
A． B． C．1 D．-1
【答案】B
（四）复数的模及几何意义
例 4．若复数 ， ，其中是虚数单位，则 的最大值为( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由复数的几何意义可得，复数 对应的点为 ，复数 对应的点为
，所以
，
其中 ，
故选 C
练习 1．已知复数 ，则
A． B． C．1 D．
【答案】B
【解析】 ，
，则 ，
故选：B．
练习 2．已知复数 z1，z2 在复平面内对应的点分别为 A(－2，1)，B(a，3)．
(1)若|z1－z2|＝ ，求 a 的值；
(2)复数 z＝z1·z2 对应的点在第一、三象限的角平分线上，求 a 的值．
【答案】（1）a＝－3 或 a＝－1。（2）a＝1。
【解析】(1)由复数的几何意义可知，z1＝－2＋i，z2＝a＋3i，
∵|z1－z2|＝|－a－2－2i|＝ ＝ ，
∴a＝－3 或 a＝－1.
(2)z＝z1·z2＝(－2＋i)·(a＋3i)＝(－2a－3)＋(a－6)i，
依题意可知点(－2a－3，a－6)在直线 y＝x 上，
∴a－6＝－2a－3，
解得 a＝1.
练习 3．已知复数 z 满足|z|= ,z2 的虚部为-2,且 z 在复平面内对应的点在第二象限.
(1)求复数 z;
(2)若复数 ω 满足|ω-1|≤ ,求 ω 在复平面内对应的点的集合构成的图形的面积.
【答案】（1） ；（2）
【解析】(1)设 z=x+yi(x,y∈R),则 z2=x2-y2+2xyi,
由|z|= ,z2 的虚部为-2,且 z 在复平面内对应的点在第二象限,
得 解得
∴z=-1+i.
(2)由(1)知,z=-1+i,
∴ = = = =-+i,
∴ = = ,
∴复数 ω 满足|ω-1|≤ .
由复数的几何意义,得
ω 在复平面内对应的点的集合构成的图形是以(1,0)为圆心, 为半径的圆面,
∴其面积为 π· = .
（五）共轭复数
例 5．若复数 ，则的共轭复数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
则的共轭复数是-1+i,故选：C
练习 1．设复数 （是虚数单位），则 ( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】 ，故选 B.
练习 2．下面是关于复数 的四个命题：
； ； 的虚部为 2； 的共轭复数为 .
其中真命题为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
练习 3．已知下列 4 个命题：
（2）若复数是方程 的一个根，求实数 ， 的值.
【答案】（1） ；（2）4，10
练习 2．已知 1＋i 是实系数方程 x2＋ax＋b＝0 的一个根．
(1)求 a，b 的值；
(2)试判断 1－i 是否是方程的根．
【答案】（1）a，b 的值分别为－2，2；（2）1－i 是方程的一个根．
【解析】(1)∵1＋i 是方程 x2＋ax＋b＝0 的根，
∴(1＋i)2＋a(1＋i)＋b＝0，即(a＋b)＋(a＋2)i＝0，
∴ ∴
∴a，b 的值分别为－2，2.
(2)由(1)知，实系数方程为 x2－2x＋2＝0，把 1－i 代入方程，
左边＝(1－i)2－2(1－i)＋2＝－2i－2＋2i＋2＝0，显然方程成立，
∴1－i 也是方程的一个根．
练习 3．对于 n 个复数 z1，z2，…，zn，如果存在 n 个不全为零的实数 k1，k2，…，kn，使得 k1z1＋k2z2＋…
＋knzn＝0，就称 z1，z2，…，zn 线性相关．若要说明复数 z1＝1＋2i，z2＝1－i，z3＝－2 线性相关，则可取
{k1，k2，k3}＝________．(只要写出满足条件的一组值即可)
【答案】 (或{2，4，3}等)
【解析】由 k1z1＋k2z2＋k3z3＝0，得 k1(1＋2i)＋k2(1－i)＋k3×(－2)＝0，
即(k1＋k2－2k3)＋(2k1－k2)i＝0，
∴
∴k1∶k2∶k3＝1∶2∶ ，
故答案为 或{2，4，3}等．