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- 2021-06-04 发布
永春一中2018-2019学年高二年上学期期末考数学(文)科试卷（2019.1）
考试时间：120分钟 试卷总分：150分
本试卷分第I卷和第II卷两部分
第I卷（选择题，共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求，每小题选出答案后，请把答案填写在答题卡相应位置上。
1．下列求导运算正确的是 （ ）
A．(x+ B．(log2x)′=
C．(3x)′=3xlog3e D．(x2cosx)′=－2xsinx
2．钱大姐常说“便宜没好货”，她这句话的意思是“不便宜”是“好货”的 （ ）
A．充分条件 B．必要条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
3．已知F1(－5,0)，F2(5,0)，动点P满足|PF1|－|PF2|=2a，当a分别为3和5时，
点P的轨迹分别为 （ ）
A．双曲线和一条直线 B．双曲线和一条射线
C．双曲线的一支和一条射线 D．双曲线的一支和一条直线
4. 下列说法错误的是 （ ）
A．命题：“”，则：“”
B．命题“若,则”的否命题是真命题
C．若为假命题，则为假命题
D．若是的充分不必要条件，则是的必要不充分条件
5．椭圆＋ =1与椭圆＋ =1有 （ ）
A．相同短轴 B．相同长轴
C．相同离心率 D．前三个答案都不对
6. 椭圆的焦点为，点在椭圆上，若，则的面积为
（ ）
A． B． C． D．
7．设函数，已知其导函数的图象如图所示，则 （ ）
A．在上为减函数 B．在处取极小值
C．在处取极大值 D．在上为减函数
8．抛物线的准线与双曲线的两条渐近线所围成的三角形的
面积等于 （ ）
A． B． C． D．
9．命题“∀x∈[1,2]，x2－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是 （ ）
A．a≥4 B．a≤4 C．a≥5 D．a≥3
10. 过双曲线的一个焦点作直线交双曲线于,两点，若，
则这样的直线有 （ ）
A．条 B．条 C．条 D．条
11．已知函数，则＝ （ ）
A．1 B．2 C．3 D．前三个答案都不对
12. 椭圆：与双曲线：焦点相同，为左焦点，曲线与在第一象限、第三象限的交点分别为、，且，则当这两条曲线的离心率之积最小时，双曲线有一条渐近线的方程是 （ ）
A． D． C. B．
第II卷（非选择题，共90分）
二、填空题 ：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填在答题卡的横线上。
13．若抛物线上一点M到焦点的距离为3，则点M到ｙ轴的距离为 ．
14．函数的图像在点处的切线的斜率 ．
15．已知a≥0，函数f(x)(x2－2ax)ex，若f(x)在[－1,1]上是单调减函数，则a的取值范围
是 ．
16．已知双曲线的中心在原点，焦点在坐标轴上，点到其渐近线的距离为；
若过点作斜率为的直线交双曲线于两点，交轴于点，且是与
的等比中项，则双曲线的焦距为 ．
三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
请在答题卡各自题目的答题区域内作答。
17. (本小题满分10分）
设命题：方程表示的图象是双曲线；
命题：函数在R上有极大值点和极小值点各一个．
求使“且”为真命题时，实数的取值范围．
18．(本小题满分12分）
已知函数在与时都取得极值.
（1）求的值与函数的单调区间；
（2）若对，不等式恒成立，求实数的取值范围。
19．(本小题满分12分）
已知双曲线的中心在原点，焦点在坐标轴上，离心率为，且过点（4，－）．
（1）求双曲线方程；
（2）若点在双曲线上，求证：点在以为直径的圆上；
（3）在（2）的条件下求的面积．
20．(本小题满分12分）
已知椭圆的两焦点为，，离心率．
（1）求此椭圆的方程；
（2）设直线，若与此椭圆相交于，两点，且等于椭圆的短轴长，
求的值.
21. (本小题满分12分）
已知抛物线的焦点为，为抛物线上一点，为坐标原点.
的外接圆与抛物线的准线相切，外接圆的周长为.
（1）求抛物线的方程；
（2）已知不与轴垂直的动直线与抛物线有且只有一个公共点，且分别交抛物线的准线
和直线于、两点，试求的值．
22. (本小题满分12分）
已知函数，.
（1）当时，求的最小值；
（2）当时，若存在，使得对任意的，都有
恒成立，求的取值范围.
高二年上学期期末考数学(文)科试卷（2019.1）参考答案
一、选择题：（每题5分，满分60分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
B
B
C
C
D
A
D
A
C
C
B
A
二、填空题：（每题5分，满分20分）
13．2 ； 14． ； 15．a≥ ； 16．或.
三、解答题：（满分70分）
17.(本小题满分10分）
18．(本小题满分12分）
（1）f（x）＝x3＋ax2＋bx＋c，f¢（x）＝3x2＋2ax＋b
由f¢（）＝， f¢（1）＝3＋2a＋b＝0得
a＝，b＝－2 ……………4分
f¢（x）＝3x2－x－2＝（3x＋2）（x－1），函数f（x）的单调区间如下表：
x
（－¥，－）
－
（－，1）
1
（1，＋¥）
f¢（x）
＋
0
－
0
＋
f（x）
极大值
¯
极小值
所以函数f（x）的递增区间是（－¥，－）与（1，＋¥），递减区间是（－，1）
……………8分
（2）f（x）＝x3－x2－2x＋c，xÎ（－1，2），
当x＝－时，f（x）＝＋c为极大值，
而f（2）＝2＋c，则f（2）＝2＋c为最大值。 ……………10分
要使f（x）f（2）＝2＋c
解得c<－1或c>2． ……………12分
19．(本小题满分12分）
（1）解 ∵离心率e＝，∴双曲线为等轴双曲线，
可设其方程为x2－y2＝λ（λ≠0）， ……………2分
则由点（4，－）在双曲线上，可得λ＝42－（－）2＝6，
∴双曲线方程为x2－y2＝6． ……………4分
（2）证明 ∵点M（3，m）在双曲线上，∴32－m2＝6，∴m2＝3，
又双曲线x2－y2＝6的焦点为F1（－2，0），F2（2，0），
∴·＝（－2－3，－m）·（2－3，－m）
＝（－3）2－（2）2＋m2＝9－12＋3＝0，
∴MF1⊥MF2， ……………9分
∴点M在以F1F2为直径的圆上．
（3） ＝×4×|m|＝6． ……………12分
20．(本小题满分12分）
（1）设椭圆方程为，则，，
所求椭圆方程为．……………4分
（2）由，消去y，得，…………6分
则得 （*） …………7分
设，则，，……………8分
，
…………10分
解得，满足（*）， ……………12分
21. (本小题满分12分）
（1）∵的外接圆的圆心必在线段的中垂线上
且外接圆与准线相切，外接圆的周长为,∴外接圆的半径
即
∴抛物线的方程为 ……………4分
（2）解法一：由题知直线的斜率存在且不为0 ，∴可设：
由消去得……………6分
∵直线与抛物线只有一个公共点，,
∴，即 ……………8分
∵直线：与准线交于
∴即， 同理……………10分
∴……………12分[]
解法二：由题知直线不与坐标轴垂直∴可设：
由消去得
∵直线与抛物线只有一个公共点 ∴即
∵直线：与准线交于 ∴即
同理
∴
解法三：设切点为, 则：
令得即
令得即
∴
22. (本小题满分12分）
（1）因为的定义域为，.……1分
①当时，因为，，所以在上为增函数，
； ………2分[]
②当时，在上为减函数，在上为增函数，
； ………3分
③当时，在上为减函数，
. ………4分
综上 . ………5分
（2）当时，若存在，使得对任意的
都有恒成立，则. ………7分
由（1）知，当时，.
因为，令，则，
令，得；令，得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
，所以在上单调递增.
所以， ………10分
则，
解得， ………11分
又，，
所以，即实数的取值范围是. ………12分