数学理卷·2018届山东省菏泽一中（菏泽市）高二下学期期中考试（2017-04） 8页

‎2016-2017学年度第二学期期中学分认定考试 高二理科数学试题(B)‎ 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1. 下列求导运算正确的是( )‎ A． B． C． D．‎ ‎2. 用反证法证明命题“设，为实数，则方程至少有一个实根”时，要做的假设是( )‎ A．方程没有实根 B．方程至多有一个实根 C．方程至多有两个实根 D．方程恰好有两个实根 ‎3. 复数的实部与虚部分别为( )‎ A．7，-3 B．7， C．-7,3 D． -7，‎ ‎4. 已知，若，则等于( )‎ A． B． C. D．‎ ‎5. 函数（为自然对数的底数）在区间[0,1]上的最大值是( )‎ A． B．1 C. D．‎ ‎6. 已知积分，则实数 ( )‎ A．2 B．-2 C.1 D．-1‎ ‎7. 在用数学归纳法证明不等式（）的过程中，当由推到时，不等式左边应( )‎ A．增加了 B．增加了 C. 增加了，但减少了 D．以上都不对 ‎8. 设曲线在其任一点（，）处切线斜率为，则函数的部分图象可以为( )‎ ‎ ‎ A B C D ‎9. 直线与抛物线所围成的图形面积是( )‎ A．20 B． C. D．‎ ‎10. 函数，则( )‎ A． B． C. D．，大小关系不能确定 ‎11. 已知函数，若函数在上是单调递增的，则实数的取值范围为( )‎ A． B． C. 或 D．或 ‎12. 设是上的可导函数，且满足，对任意的正实数，下列不等式恒成立的是( )‎ A． B． C. D．‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.已知函数.求曲线在点（‎ ‎）处的切线方程 ．‎ ‎14.观察下列等式：‎ ‎…‎ 照此规律，第个等式可为 ．‎ ‎15.在中，三边长分别为，，，则，将这个结论类比到空间：则在点引出的三条两两垂直的三棱锥中，则有 ．‎ ‎16.已知函数的定义域为[-1,5]，部分对应值如下表，的导函数的图象如图所示，下列关于的命题：‎ ‎-1‎ ‎0‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎2‎ ‎1‎ ‎ ‎ ‎①函数的极大值为0,4；‎ ‎②函数在[0,2]上是减函数；‎ ‎③如果当时，的最大值是2，那么的最大值为4；‎ ‎④当时，函数有4个零点.‎ 其中正确命题的序号是 ．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17. 已知复数（为虚数单位）.‎ ‎（1）设，求；‎ ‎（2）若，求实数的值.‎ ‎18. 在如图所示的几何体中，四边形为矩形，直线平面，，‎ ‎，，点在棱上.‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）若是的中点，求异面直线与所成角的余弦值；‎ ‎（3）若，求二面角的余弦值.‎ ‎19. 某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量（单位：千克）与销售价格（单位：元/千克）满足关系式，其中，为常数.已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）若该商品的成品为3元/千克，试确定销售价格的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大.‎ ‎20. 已知数列满足.‎ ‎（1）写出，，并推出的表达式；‎ ‎（2）若对，不等式恒成立，求的取值范围.‎ ‎21. 已知函数在与时都取得极值.‎ ‎（1）求，的值与函数的单调区间；‎ ‎（2）若对，不等式恒成立，求的取值范围.‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22.已知函数.‎ ‎（Ⅰ）当时，求曲线在处的切线方程；‎ ‎（Ⅱ）设函数，求函数的单调区间.‎ 高二理科数学试题答案 一、选择题 ‎1-5:DAABD 6-10:ACACC 11、12：BB 二、填空题 ‎13. 14. ‎ ‎15. 16.①②‎ 三、解答题 ‎17.解：（1）由复数，得.‎ 则，‎ 故；‎ ‎（2），‎ 由复数相等的充要条件得：‎ ‎，解得.‎ ‎18.解：（1）证明：因为平面，所以，又，所以 平面，又平面，故.‎ ‎（2）因为，所以，又由（1）得，，所以以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴，建立如图所示空间直角坐标系，‎ 则，，，.‎ 所以，，所以，‎ 所以异面直线与所成角的余弦值为.‎ ‎（3）因为平面，所以平面的一个法向量，由知为的三等分点且此时.在平面中，，，所以平面的一个法向量.‎ 所以，又因为二面角的大小为锐角，所以该二面角的余弦值为.‎ ‎19.解：（Ⅰ）因为时，，所以，‎ 故.‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，该商品每日的销售量，‎ 所以商场每日销售该商品所获得的利润为.‎ 从而，，‎ 于是，当变化时，、的变化情况如下表：‎ ‎（3,4）‎ ‎4‎ ‎（4,6）‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ 单调递增 极大值42‎ 单调递减 由上表可得，是函数在区间（3,6）内的极大值点，也是最大值点.‎ 所以，当时，函数取得最大值，且最大值等于42.‎ 答：当销售交个为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大.‎ ‎20.解：（1）当时，，‎ ‎∴，‎ 当时，，‎ ‎∴，‎ 同样令，则可求出，‎ ‎∴，，，‎ 猜测.‎ ‎（2）①由（1）已得当时，命题成立；‎ ‎②假设时，命题成立，即，‎ 当时，，‎ 且，‎ ‎∴，‎ ‎∴，即，‎ 即当时，命题成立.‎ 根据①②得，都成立.‎ ‎21.解：（1），，‎ 由，得，.‎ ‎，函数的单调区间如下表：‎ ‎1‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ 极大值 极小值 所以函数的递增区间是与，递减区间是；‎ ‎（2），，当时，，‎ 为极大值，而，则为最大值，要使，恒成立，则需要，得，或.‎ ‎22.解：（Ⅰ）当时，，，切点（1,1），‎ ‎∴，∴，‎ ‎∴曲线在点（1,1）处的切线方程为：，即.‎ ‎（Ⅱ），定义域，‎ ‎，‎ ‎①当，即时，令，‎ ‎∵，∴，‎ 令，∵，∴.‎ ‎②当，即时，恒成立，‎ 综上：当时，在上单调递减，在上单调递增.‎ 当时，在上单调递增.‎