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- 2021-06-04 发布
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湖北省四校（襄州一中、枣阳一中、宜城一中、曾都一中)2018-2019学年高二下学期期中联考数学（文)试题
评卷人
得分
一、单选题
1．设命题：，，则命题的否定为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】A
【解析】
特称命题的否定为全称命题，所以命题：，的否定为，,故选A.
2．设存在导函数，且满足，则曲线上点处的切线斜率为( )
A．2 B． C．1 D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据导数的几何意义得到结果即可.
【详解】
根据题意得到：，
因为：
进而得到
故答案为：D.
【点睛】
本题考查了极限的定义的应用以及切线的斜率的几何意义.
3．下列命题中的说法正确的是（ ）
A．若向量，则存在唯一的实数使得；
B．命题“若，则”的否命题为“若，则”；
C．命题“，使得”的否定是：“，均有”；
D．命题“在中，是的充要条件”的逆否命题为真命题.
【答案】D
【解析】
【分析】
对于A由特例可知不正确；对于B，由否命题的写法可知，不正确；对于C，按照特称命题的写法可知选项不正确；对于D，将逆否命题转化为原命题的真假性的判断.
【详解】
对于A.若向量，则其中一个向量可以是零向量，另外一个是非零向量，此时不存在实数；对于B，“若，则”的否命题为“若，则”，故选项不正确；对于C，命题“，使得”的否定是：均有 对于D，原命题和逆否命题真假性相同，在中，，根据大角对大边得到,再由正弦定理得到反之，当，由正弦定理可得到，故选项正确.
故答案为：D.
【点睛】
这个题考查了命题真假的判断，涉及特称命题的否定的写法，以及原命题和逆否命题同真同假的应用.
4．设定点，动圆过点且与直线相切.则动圆圆心的轨迹方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据圆的定义知圆心到直线的距离等于圆心到点F的距离，进而得到轨迹是抛物线.
【详解】
动圆过点且与直线相切，根据圆的定义可得到圆心到直线的距离等于圆心到点F的距离，根据抛物线的定义可得到圆心的轨迹是焦点为的抛物线，即
故答案为：C.
【点睛】
这个题目考查了圆的定义，以及抛物线的定义，注意在应用抛物线的定义为：动点到定点的距离，等于动点到定直线的距离，且动点不在定直线上，此时动点轨迹是抛物线.
5．若双曲线的焦点到渐近线的距离是4，则的值是（ ）
A．2 B． C．1 D．4
【答案】D
【解析】
【分析】
求得双曲线的焦点和渐近线方程，运用点到直线的距离计算可得所求值．
【详解】
双曲线（m＞0）的焦点设为（c，0），
当双曲线方程为：时，
渐近线方程设为bx﹣ay＝0，可得：
db，
故，由题意可得b＝m＝4．
故选：D．
【点睛】
本题考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程，以及点到直线的距离公式，考查运算能力，属于基础题．
6．已知直线是曲线的一条切线，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
设出切点，对函数求导，得到，代入直线方程得到结果.
【详解】
设切点为，根据题意对函数求导得到
代入直线方程得到
故答案为：B.
【点睛】
这个题目考查了函数的导函数的求法，以及过某一点的切线方程的求法，其中应用到导数的几何意义，一般过某一点求切线方程的步骤为：一：设切点，求导并且表示在切点处的斜率；二：根据点斜式写切点处的切线方程；三：将所过的点代入切线方程，求出切点坐标；四：将切点代入切线方程，得到具体的表达式.
7．已知函数(，且），若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据函数表达式对函数求导，代入数值1，得到结果.
【详解】
函数, ,即
故答案为：A.
【点睛】
这个题目考查了基本初等函数的求导公式的应用，属于基础题.
8．已知椭圆，直线，则椭圆上的点到直线的最大距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
可设椭圆上任意一点为，根据点到直线的距离公式得到距离的表达式，进而得到最值.
【详解】
设椭圆上的点为：，
根据点到直线的距离公式得到 当三角函数值为1
时，取得最大值，得到
故答案为：C.
【点睛】
这个题目考查了椭圆参数方程的应用，参数方程的引入，能够使得二元问题转化为一元问题，参数方程主要用于求最值和范围问题.
9．函数是函数的导函数，且函数在点处的切线为，，如果函数在区间上的图像如图所示，且，那么（ ）
A．是的极大值点
B．是的极小值点
C．不是极值点
D．是极值点
【答案】B
【解析】
，
由图像可知，当时，随着的增大而减小，当时，随着的增大而增大，故先减后增，在处取得极小值。
10．设是定义域为的函数的导函数，，，则的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
构造函数对函数求导得到函数的单调性和零点，进而得到解集.
【详解】
构造函数，求导得到，故函数单调递减，
故 的解集为：
故答案为：B.
【点睛】
这个题目考查了导数在研究函数的单调性中的应用，属于基础题.题目考查了抽象函数的单调性的判断以及抽象函数不等式的求解，可以找一个特殊的满足题干条件的函数，也可以构造函数.
11．设双曲线的左焦点，圆与双曲线的一条渐近线交于点，直线交另一条渐近线于点，若，则双曲线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
由题意，yx与x2+y2＝c2联立，可得A（a，b），求出AF的斜率，利用，B为线段FA的中点，可得斜率之间的关系，即可求出双曲线的离心率,进而得到方程.
【详解】
由题意，yx与x2+y2＝c2联立，可得A（a，b），
∴AF的斜率为，
∵，
∴B为线段FA的中点，
∴OB⊥AF，
∴•（）＝﹣1，
∴e2﹣e﹣2＝0，
∵e＞1，
∴e＝2．
故得到双曲线的方程为：
故选：D．
【点睛】
本题考查了双曲线的几何意义的应用，涉及向量的线性表示的几何意义，属于基础题.
12．已知函数有两个极值点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
函数定义域为，函数有两个极值点，即导函数有两个大于0的变号零点，即
由两个变号的大于0的零点，根据韦达定理得到相应的表达式.
【详解】
对函数求导的到
函数定义域为，函数有两个极值点，即导函数有两个大于0的变号零点，即
由两个变号的大于0的零点，根据韦达定理得到
故答案为：D.
【点睛】
这个题目考查了极值点的概念以及应用，函数的极值点首先是导函数的变号零点，在变号零点附近函数单调性相反.
第II卷（非选择题)
请点击修改第II卷的文字说明
评卷人
得分
二、填空题
13．双曲线的虚轴长为___________
【答案】2
【解析】
【分析】
根据双曲线的虚轴的定义得到结果.
【详解】
双曲线,虚半轴为1.
虚轴长为：2.
【点睛】
这个题目考查了双曲线的方程的应用，虚轴的定义，属于简单题.
14．高台跳水运动员在秒时距水面高度 （单位：米），则该运动员的初速度为______(米/秒)
【答案】6.5
【解析】
【分析】
对函数表达式求导并赋值即可.
【详解】
根据其物理意义得，对高度求导，导数值指的就是速度.
对函数求导得到令,得到数值为：6.5.
故答案为：6.5.
【点睛】
本题考察了导数的物理意义，导数的基本运算，辨清位移函数与瞬时速度的关系是解决本题的关键.
15．正三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线上，则这个正三角形的边长为______.
【答案】
【解析】
【分析】
根据题干得到两点关于轴对称，设点，由三角形的几何关系得到解出进而得到边长.
【详解】
设三角形的顶点为，根据三角形的特点知两点关于轴对称，设点
线段和的交点为P点，根据几何关系得到，即
解得
三角形的边长为
故答案为：
【点睛】
这个题目考查了抛物线的图像的对称性以及正三角形的几何性质的应用，属于基础题.
16．函数在处有极值10，则_________.
【答案】
【解析】
【分析】
原题转化为导函数在1处有变号零点，对函数求导，，，联立可解参数，在进行检验即可.
【详解】
设函数在处有极值10，即导函数在1处有变号零点，对函数求导得到，
联立两式得到解得或3.检验当时，
,1不是变号根，故
故答案为：-4.
【点睛】
这个题目考查了极值点的概念以及应用，函数的极值点首先是导函数的变号零点，在变号零点附近函数单调性相反.
评卷人
得分
三、解答题
17．命题：方程有实数解，命题：方程表示焦点在轴上的椭圆．
(1) 若命题为真，求的取值范围；
(2) 若命题为真，求的取值范围．
【答案】（1）.（2）
【解析】
【分析】
（1）原题转化为方程有实数解，；（2）为真，即每个命题都为真，根据第一问得到参数范围，进而得到结果.
【详解】
（1）∵有实数解，∴
（2）∵椭椭圆焦点在轴上,所以，∴
∵为真，，.
【点睛】
由简单命题和逻辑连接词构成的复合命题的真假可以用真值表来判断，反之根据复合命题的真假也可以判断简单命题的真假．假若p且q真，则p 真，q也真；若p或q真，则p，q至少有一个真；若p且q假，则p，q至少有一个假．（2）可把“p或q”为真命题转化为并集的运算；把“p且q”为真命题转化为交集的运算．
18．已知函数．
(1)若，当时，求证：．
(2)若函数在为增函数，求的取值范围.
【答案】（1）见证明；（2）
【解析】
【分析】
(1)时，设,对函数求导得到函数的单调性，得到函数的最值进而得证；（2）原函数单调递增，即恒成立，变量分离，转化为函数最值问题.
【详解】
（1）时，设．
则，
在单调递增
．
即.
(2)恒成立，
即对恒成立．
∵时，（当且仅当取等号）
∴
【点睛】
这个题目考查了不等式证明问题以及恒成立求参的问题，不等式的证明，常见的方法是，构造函数，转化为函数最值问题；恒成立求参，常采用的方法是变量分离，转化为函数最值问题.
19．如图，轴，点在的延长线上，且.当点在圆上运动时，、
（1）求点的轨迹方程.
（2）过点作直线与点的轨迹相交于、两点，使点被弦
平分，求直线的方程．
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】
（1）设，,所以，,，，代入圆的方程得到轨迹方程，抠掉不满足题意的点即可；（2）设出直线的方程为，联立直线和椭圆，根据韦达定理列式即可.
【详解】
（1）解析:设，则,,，
∵,所以
∵∴①
∵在圆上，∴，代入①得
,∴,
∴.
（2）
由题意知直线的斜率存在，过点，
设直线的方程为，设，联立得，
∵点在椭圆内部，∴不论取何值，必定有.由韦达定理知
∵的中点是，∴，即，解得，
∴直线的方程为.
【点睛】
本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用．
20．将半径为的圆形铁皮剪去一个圆心角为的扇形，用剩下的扇形铁皮制成一个圆锥形的容器，该圆锥的高记为，体积为.
（1）求体积有关的函数解析式.
（2）求当扇形的圆心角多大时，容器的体积最大.
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】
（1）根据圆锥的体积公式求解即可；（2）对求导，得到，此时，根据扇形的弧长公式得到得解.
【详解】
（1）底面半径为：
根据圆锥的体积公式得到，化简得到：
（2）∵，
，
令，.令，.
∴当，递增，当，递减.
当.
设圆锥底面圆的半径为,
.∵.
所以当时，该圆锥的体积最大
【点睛】
本题考查圆锥与扇形展开图的关系，体积的计算，考查计算能力，导数的应用，必须注意函数的单调性与最值的关系．
21．已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)若在上为单调函数，求实数的取值范围.
【答案】（1）在单调递增，在单调递减；（2）
【解析】
【分析】
(1)对函数求导，分情况讨论函数的单调性；（2）当时，在单调递增，符合要求，时，在单调递减，则.
【详解】
(1)的定义域为，
.若，则，在单调递增；
若，则当时，，当时，，
所以在单调递增，在单调递减．
(2)由(1)知，当时，在单调递增，符合要求；.
当时，在单调递减，则，即.
∴实数的取值范围是..
【点睛】
这个题目考查了导数在研究函数的单调性中的应用，导函数的正负能反应原函数的单调性，导函数的单调性可以反映原函数的图像的变化快慢.
22．已知椭圆的左、右焦点分别为，，过的直线与椭圆交于两点，的周长为.
（1）求椭圆的方程；
（2）如图，点,分别是椭圆的左顶点、左焦点，直线与椭圆交于不同的两点、（、都在轴上方）．且．证明：直线过定点，并求出该定点的坐标.
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】
（1）由题意，知，可知 由椭圆的定义知,的周长为，进而求解；（2）设直线和椭圆联立得到二次方程，，∴，进而转化为代数关系，整理可得根据韦达定理，整理上式得到，从而求解.
【详解】
（1）设椭圆的焦距为，由题意，知，可知，
由椭圆的定义知,的周长为，∴，故
∴椭圆的方程为
（2）由题意知，直线的斜率存在且不为0。设直线
设，
把直线代入椭圆方程，整理可得,，即
∴，，
∵，
∵、都在轴上方．且，∴，
∴，即,代入
整理可得，
即，整理可得，
∴直线为，∴直线过定点
【点睛】
本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用．