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- 2021-06-04 发布
福州文博中学2016-2017学年
高二年级下学期期中考试数学科（理）题目卷
命题人：池哲进 审核人：余光亮
（完卷时间：120分钟，总分：150分）
一、 选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案的序号填在答题纸上．）
1、复数（为虚数单位）的共轭复数为（ ）
A． B． C． D．
2、根据定积分的定义知=（ ）
A． B． C. D、
3、设命题甲：的解集是实数集；命题乙：，则命题甲是命题乙成立的（ ）
A．充分不必要条件 B．充要条件 C.必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
4、下列等于1的积分是（ ）
A． B． C. D、
5、函数的单调递减区间是（ ）
A． B． C． D．
6、设曲线在点处的切线与直线垂直，则等于 ( )
A．2 B．－2 C. D．－
7、等差数列中，是一个与无关的常数，则该常数的可能值的集合为（ ）
A． B． C. D．
8、在棱长为的正方体中，则平面与平面间的距离 （ ）
A． B． C ． D．
9、用数学归纳法证明，从到，左边需要增乘的代数式为（ ）
A． B． C． D．
10、在中，角所对边分别为, 且，, ，则的面积为( )
A. B． C. D.
11、设点P是双曲线（a＞0，b＞0）与圆＝在第一象限的交点， F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，且｜PF1｜＝3｜PF2｜，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
12、定义表示实数中的较大的数．已知数列满足 ，若，记数列的前项和为，则的值为（ ）
A．7254 B．7255 C．7256 D．7257
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分。在答题卡作答）.
13、 ．
14、某圆锥曲线是椭圆或双曲线，若其中心为坐标原点，对称轴为坐标轴，且过点，，则圆锥曲线是 ．
15、已知ABCD为平行四边形，且A(4,1,3)、B(2，－5,1)，C(3,7，－5)，则顶点D的坐标为________．
16、已知函数＝，其导函数记为，则＝ .
三、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17、（本小题满分10分）在△ABC中，a、b、c分别是角A，B，C的对边，且=-.
（1）求角B的大小； （2）若b=，a+c=4，求△ABC的面积.
18、（本小题满分12分）如图，已知矩形ABCD所在平面外一点P，PA⊥平面ABCD，AB=1,BC=2,PA=2,E、F分别是AB、PC的中点．
（1）求证：EF∥平面PAD；
（2）求证：CD⊥EF
（3）求EF与平面ABCD所成的角的大小．
19、（本小题满分12分）
已知抛物线上一点M (,8) 到焦点F的距离是．
（Ⅰ）求抛物线的方程；
（Ⅱ）过F的直线与抛物线交于两点．是否存在一个定圆与以为直径的圆内切，若存在，求该定圆的方程；若不存在，请说明理由．
20、（本小题满分12分）请您设计一个帐篷。它下部的形状是高为1m的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3m的正六棱锥（如右图所示）。试问当帐篷的顶点O到底面中心的距离为多少时，帐篷的体积最大？
21．（本小题满分12分）
如图，直三棱柱中，，，D是AB中点．
（Ⅰ）记平面平面，在图中作出，并说明画法；
（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值．
22、（本小题满分12分）已知函数,．
（Ⅰ）若曲线在点处的切线斜率为1，求实数的值；
（Ⅱ）当时，证明：.
福州文博中学2016-2017学年
高二年级下学期期中考试理科数学（答题卷）
（完卷时间：120分钟，总分：150分）
题号
一
二
三
总分
17
18
19
20
21
22
得分
评卷教师
一、选择题：（本大题共12小题，每小题 5分，共 60分）
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
A
D
C
C
B
B
D
B
A
D
D
A
二、填空题：（本题共4小题，每小题5 分，共20分）
13、 14、 双曲线
15、 16、 2
三、解答题：（本大题共6小题，共70分）
17. （本小题满分10分）
1）由余弦定理知：cosB=，cosC=.
将上式代入=-得:·=-
整理得:a2+c2-b2=-ac∴cosB== =-
∵B为三角形的内角，∴B=.………………6分
（2）将b=,a+c=4,B=代入b2=a2+c2-2accosB,得b2=(a+c)2-2ac-2accosB
∴b2=16-2ac,∴ac=3.∴S△ABC=acsinB=.………………12分
18.（本小题满分12分）
19．（本小题满分12分）
18、略
19、考查抛物线的定义与焦半径的知识，焦点弦的性质，利用待定系数方法探究存在性问题，可以较好的考察学生的数学思维能力，数形结合能力及逻辑运算能力。
解法一：
（Ⅰ）由抛物线定义得 又 …………………… 2分
， 在抛物线上，， …………………………3分
解得（舍去）或， 所以抛物线的方程为. …………………………4分
（Ⅱ）当直线的斜率存在，设直线的方程为,
与抛物线交于点，
联立化简得 ，……………………………………5分
显然，…………………………………………………………………6分
设的中点为,则， ………………7分
，……………………………………………………………………8分
设圆的方程为，
，………………………………………………9分
，
…………………………………………………10分
定圆的方程为，……………………………………………………………11分
当直线的斜率不存在，以为直径的圆的方程为，
该圆也与定圆内切.
综上所求定圆的方程为. …………………………………………………12分
解法二：
（Ⅰ）同解法一；
（Ⅱ）设直线的方程为 ，与抛物线交于点.
，化简得，……………………………………………6分
显然， ……………………………………………………………7分
设的中点为,则 , ……8分
，…………………………………………………………9分
由抛物线的对称性可知，若定圆存在其圆心必在轴上，
设圆的方程为，
，…………………………………………10分
，
……………………………………………… 11分
所以定圆的方程为.……………………………………………………12分
解法三：
（Ⅰ）同解法一；
（Ⅱ）当直线的斜率存在，设直线的方程为,与抛物线交于点，
化简得，………………………………5分
显然，………………………………………………………6分
设的中点为,则，…… 7分
，由抛物线的对称性可知，若定圆存在其圆心必在轴上，
设圆的方程为，，……9分
，
………………………………………………10分
定圆的方程为 ， …………………………………………………11分
当直线的斜率不存在，以为直径的圆的方程为，
该圆也与定圆内切，
综上所求定圆的方程为. ………………………………………12分
20、分析：本题应该先建立模型，再求体积的最大值。选择适当的变量很关键，设的长度会比较简便。
解：设,则由题设可得正六棱锥底面边长为（单位：m）。
于是底面正六边形的面积为（单位：m2）：
。
帐篷的体积为（单位：m3）：
求导数，得；
令解得x=-2(不合题意，舍去),x=2。
当1