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- 2021-06-04 发布
高三第一学期承智班第2次考试数学试题
一、选择题
1. 已知满足，则的取值范围是 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由约束条件画出可行域，如下图。目标函数变形为y=x-z，所以直线的截距为-z,由图可知当直线过点C（-1,0）时截距最大，z取最小值-1，当直线与圆相切时，截距最小，z取最大值。选D.
【点睛】线性规划或规划问题一定要根据约束条件画出正确的可行域，再由几何意义求得最优解，一定不能用偷懒的办法认为最优解一定在交点（端点）处。
2. 定义在上的函数满足，当时， ，则下列不等式一定成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】函数的周期为， 当时， 时， ，故函数在上是增函数， 时， ，故函数在上是减函数，且关于 轴对称，又定义在上的满足，故函数的周期是，所以函数在上是增函数，在上是减函数，且关于 轴对称，观察四个选项选项中 ，，故选A.
3. 若函数恰有4个零点，则的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
当 仅与轴交于时，与轴有三个交点，满足题意，此时与满足；当 与轴有两个交点，与轴有两个时，满足题意，此时满足；当 与轴有三个交点，与轴有一个时，满足题意，此时满足；故选C。
点睛： 与在 与轴的交点都是三个，本题的分段函数与轴交点为四个，需分情况讨论：与轴交点个数：0，1，2，3四种情况即可得结论。本题难度较大，主要考查了的图象。
4. 如图，在中, ， ，等边三个顶点分别在的三边上运动，则面积的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】设的边长为t,,则，，所以，
=，，即求的最大值，，
的最大值为1，所以，。选D.
【点睛】
本题的关键是引进了角做变量，把边化为角的函数，注意角的范围。
5. 函数，则函数的零点个数为（ ）
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
【答案】D
【解析】
函数h（x）=f（x）﹣log4x的零点个数⇔函数f（x）与函数y=log4x的图象交点个数．
画出函数f（x）与函数y=log4x的图象（如上图），其中=的图像可以看出来，
当x增加个单位，函数值变为原来的一半，即往右移个单位，函数值变为原来的一半；依次类推；根据图象可得函数f（x）与函数y=log4x的图象交点为5个．
∴函数h（x）=f（x）﹣log4x的零点个数为5个．
故选：D
点睛：此题较好的考查了函数零点问题，将函数零点问题转化为图像交点问题，也可以转化为方程的根的问题；这个题目转化为函数f（x）与函数y=log4x的图象交点个数，其中
时的图像，可以求整个定义域上的解析式观察规律，也可以通过直接观察出来自变量增大
函数值变为原来的一半，直接画出定义域上的图像.
6. 已知坐标平面上的凸四边形满足，那么的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由题意可得，由于是凸四边形，所以AC与BD相交于点O，如下图,设OA=x,OB=y,
== ，选C.
7. 以方程的两根为三角形两边之长，第三边长为，则实数的取值范围是（ ）
A. B. 或 C. D.
【答案】D
【解析】由题意可知，由三角形三边，记另一边，得
所以，所以选D.
8. 的值域为，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由值域为，可知取遍上的所有实数，
当时，能取遍上的所有实数，只需定义域满足
当时，要保证能取遍上的所有实数，只需，解得
，所以，选D.
【点睛】
本题要注意定义域是R,与值域是为的两个题型的区别，
值域为，可知取遍上的所有实数，
定义域是R，是 恒成立。
9. 已知函数，则方程的根的个数不可能为（ ）
A. 6 B. 5 C. 4 D. 3
【答案】D
【解析】作函数的图象如图，
∵2x2+x=2（x+）2﹣；
故当a=f（﹣）时，方程f（2x2+x）=a有一个负根﹣，
再由|lg（2x2+x）|=f（﹣）得，2x2+x=，
故还有四个解，故共有5个解；
当a＞1时，方程f（2x2+x）=a有四个解，
当f（﹣）＜a＜1时，方程f（2x2+x）=a有6个解；
故选D．
10. 设是椭圆长轴的两个端点，若上存在点满足，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】分焦点在x轴上和y轴上两种情况：
①0＜k＜4时，C上存在点P满足∠APB=120°，
假设M位于短轴的端点时，∠AMB取最大值，
要使椭圆C上存在点M满足
∠AMB=120°，
∠AMB≥120°，∠AMO≥60°，
tan∠AMO= ≥tan60°，
解得：0＜k≤．
②当椭圆的焦点在y轴上时，k＞4，
同理可得：k≥12，
∴m的取值范围是（0，]∪[12，+∞）
故选：A．
点睛：这个题目并没有说明椭圆的焦点位置，因此分两种情况，且在这些三角形中，当p点在上顶点M时，角最大，因此：0＜k＜4时，C上存在点P满足∠APB=120°，即∠AMB≥120°，即∠AMO≥60°，在直角三角形中tan∠AMO=≥tan60°，解得k，同理k＞4时也可以这样做．
11. 已知函数为增函数，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
∴f′(x)=(2x+1)ex+2ax⩾0,化为，
令,则，
可得：时,函数g(x)取得极大值即最大值,.
∴.
∴a的取值范围是.
本题选择A选项.
12. 定义为个正数的“均倒数”，若已知数列的前项的“均倒数”为，又，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】结合题意可知：，
则：，即：，
当时，，
当时，，
且时，，
据此可得：，
据此可得：，
本题选择C选项.
点睛：使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的．
二、填空题
13. 已知函数是定义在上的偶函数，对于，都有成立，当且时，都有给出下列四个命题：
①②直线是函数的图象的一条对称轴；
③函数在上为减函数；④函数在上有四个零点.
其中所有正确命题的序号为________.
【答案】①②③④
14. 已知函数且函数在处有极值10，则实数的值为________.
【答案】-11
【解析】,,解得或，代入检验时,x=1不是极值点，不符。所以填-11.
【点睛】对于连续可导函数，导数等于零是在该点取极值必要条件，所以当我们用必要条件做题时，需要检验。
15. 若函数满足且；函数，则的零点有_____ 个
【答案】8
【解析】
画出函数与函数在区间上图像如图，结合图像可以看出：两个函数的图像有八个交点，即函数的有八个零点，应填答案8。
16. 已知抛物线焦点为，直线过焦点且与抛物线交于两点， 为抛物线准线上一点且，连接交轴于点，过作于点，若，则__________．
【答案】
【解析】设 ，直线的方程为 代入抛物线方程可得
可得
联立可得
故答案为．
点睛：本题考查抛物线的方程与性质，考查直线与抛物线的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．
三、解答题
17. （1）若函数的图象在处的切线垂直于直线，求实数的值及直线的方程；
（2）求函数的单调区间；
（3）若，求证： .
【答案】(1) ;(2) 当时， 的单调递增区间是；当时， 的单调递增区间是，单调递减区间是;(3)见解析.
【解析】试题分析：（1）求出函数的导数，根据切线的斜率求出的值，从而求出函数的切点，点斜式求出切线方程即可；（2）求出，分别令 得增区间，得减区间；（3）由时，，在上单调递减，得到，从而证明结论.
试题解析：（1）∵（），定义域为，∴
∴函数的图象在处的切线的斜率
∵切线垂直于直线，∴，∴
∴，，∴切点为
∴切线的方程为，即.
（2）由（1）知：，
当时，，此时的单调递增区间是；
当时，
若，则；若，则
此时的单调递增区间是，单调递减区间是
综上所述：
当时，的单调递增区间是；
当时，的单调递增区间是，单调递减区间是.
（3）由（2）知：当时，在上单调递减
∴时，
∴时，，即.
【方法点睛】本题主要考查利用导数求切线斜率及利用导数研究函数的单调性，属于难题. 应用导数的几何意义求切点处切线的斜率，主要体现在以下几个方面：(1) 已知切点求斜率,即求该点处的导数；(2) 己知斜率求切点即解方程；(3) 巳知切线过某点(不是切点) 求切点, 设出切点利用求解.
18. 在直角坐标系中， 已知定圆，动圆过点且与圆相切，记动圆圆心的轨迹为曲线.
（1）求曲线的方程；
（2）设是曲线上两点，点关于轴的对称点为 (异于点)，若直线分别交轴于点，证明: 为定值.
【答案】(1) ,(2)见解析.
【解析】试题分析：（1）由两圆关系得等量关系，再根据椭圆定义确定轨迹形状及标准方程，（2）解析几何中定值问题，往往通过计算给予证明，先设坐标，列直线方程，求出与轴交点坐标，再利用点在椭圆上这一条件进行代入消元，化简计算为定值 .
试题解析：
解：(1)因为点在内，所以圆内切于圆，则，由椭圆定义知，圆心的轨迹为椭圆，且，则，所以动圆圆心的轨迹方程为.
(2)设，则，由题意知.则，直线方程为，令，得，同理，于是，
又和在椭圆上，故，则
.
所以.
19. 已知圆，定点为圆上一动点，线段的垂直平分线交线段于点，设点的轨迹为曲线；
（Ⅰ）求曲线的方程；
（Ⅱ）若经过的直线交曲线于不同的两点，（点在点, 之间），且满足，求直线的方程.
【答案】（1）曲线方程： ；（2）直线的方程为： .
【解析】试题分析：(1)是线段的垂直平分线，，轨迹方程；（2）设直线的方程为：，联立方程得：，，由,得，巧借韦达定理建立的方程，解之即可.
试题解析：
（Ⅰ）设点的坐标为，
是线段的垂直平分线，,
又点在上，圆，半径是
点的轨迹是以为焦点的椭圆，
设其方程为，则
曲线方程：
（Ⅱ）设
当直线斜率存在时，设直线的斜率为
则直线的方程为：,
,整理得：,
由，解得： ------①
又,
由,得，结合①得
，即,
解得
直线的方程为：,
当直线斜率不存在时，直线的方程为与矛盾.
直线的方程为：
20. 已知函数， .
（1）若对任意的，均有，求的取值范围；
（2）若对任意的，均有，求的取值范围.
【答案】(1)m的范围是(2)的范围是
【解析】试题分析：（1）求出的最小值为，的最大值，使得成立即可；（2）利用分离参数思想，将其转化为恒成立，故可求得其结果.
试题解析：（1），
由，得.，当时，，要使恒成立，只需，解得.
当时，，要使恒成立，只需，矛盾.
综上的取值范围是.
（2）
，
要使恒成立，只需，
则，因为，，
所以只需恒成立，则所求的的取值范围为.
点睛：本题主要考查了恒成立问题，常见的问题有两种形式即任意的恒成立和任意恒成立，对于第一种形式应转化为求其最大值和最小值，正确分离参数是关键，也是常用的一种手段．通过分离参数可转化为或恒成立，即或即可，利用导数知识结合单调性求出或即得解.