2018-2019学年贵州省遵义市凤冈二中高一下学期第一次月考数学试题（解析版） 13页

‎2018-2019学年贵州省遵义市凤冈二中高一下学期第一次月考数学试题 一、单选题 ‎1．在等差数列中，，，则（ ）‎ A．25 B．22 C．12 D．11‎ ‎【答案】A ‎【解析】由等差数列的性质有，，也成等差数列，则有=+，可得答案.‎ ‎【详解】‎ 在等差数列中，，，也成等差数列.‎ 所以=+，即 。‎ 则.‎ 故选：A ‎【点睛】‎ 本题考查等差数列的性质,观察出下标的关系是关键,属于基础题.‎ ‎2．在中，已知，则角为（ ）‎ A． B．或 C． D．或 ‎【答案】A ‎【解析】直接由余弦定理可得的值，根据角为的内角，可得答案.‎ ‎【详解】‎ 在中，由余弦定理有,‎ 又因为角为的内角，所以.‎ 故选: A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查余弦定理的直接应用，属于基础题.‎ ‎3．两数与的等差中项是（ ）‎ A． B． C．2 D．1‎ ‎【答案】B ‎【解析】由等差中项的定义:是的等差中项,则,可得答案.‎ ‎【详解】‎ 由等差中项的定义有：与的等差中项是：.‎ 故选: B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查等差数列的基本性质,是基础题.‎ ‎4．已知等差数列的前项和为，若，，则（ ）‎ A．45 B．90 C．120 D．75‎ ‎【答案】B ‎【解析】因为是等差数列，设公差为，在，解得，，故选B.‎ ‎5．在中，角，，的对边分别为若，，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据条件由正弦定理得出角,再算出角，即可得出边的值.‎ ‎【详解】‎ 由正弦定理有； .‎ 有.‎ 又,所以,‎ 所以,则.‎ 所以为直角三角形，则.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查正弦定理,在解三角形的相关问题中是正弦定理和余弦定理的综合应用,属于中档题.‎ ‎6．在中，分别为的对边，，这个三角形的面积为，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】依题意，解得，由余弦定理得.‎ ‎【点睛】本题主要考查三角形的面积公式，考查余弦定理的运用.题目所给已知条件包括一个角和一条边，还给了三角形的面积，由此建立方程可求出边的长，再用余弦定理即可求得边的长.利用正弦定理或者余弦定理解题时，主要根据题目所给的条件选择恰当的公式解列方程.‎ ‎7．已知为等差数列，++=105，=99，以表示的前项和则使得达到最大值的是（ ）‎ A．22 B．20 C．18 D．16‎ ‎【答案】B ‎【解析】由条件求出的通项公式，然后求出前项和的表达式，根据表达式求解最值，得到对应的的值.‎ ‎【详解】‎ 设等差数列的首项为 ，公差为.‎ 由++=105，得.‎ ‎=99，得.‎ 所以公差,则.‎ 所以.‎ 则当 时，有最大值.‎ 故选：B ‎【点睛】‎ 本题考查等数列的通项公式的求法，前项和的最大值,本题也可不求出的表达式，根据的符号进行分析,属于中档题.‎ ‎8．在中，，那么一定是（ ）‎ A．锐角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰三角形或直角三角形 ‎【答案】D ‎【解析】tanAsin2B=tanBsin2A即,化简得,得所以2A=2B或 即或所以△ABC是等腰或直角三角形，选D ‎9．在中，角，，的对边分别为，，，已知，那么这个三角形最大角的度数是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】利用边角互化思想得，利用大边对大角定理得出角是该三角形的最大内角，然后利用余弦定理求出的值，可得出角的值.‎ ‎【详解】‎ ‎，，设，则，.‎ 由大边对大角定理可知，角是最大角，由余弦定理得，‎ ‎，因此，，故选：C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查边角互化思想的应用，考查利用余弦定理解三角形，解题时要熟悉余弦定理所适用的基本类型，并根据已知元素的类型合理选择正弦、余弦定理来解三角形.‎ ‎10．在锐角中，角所对的边分别为，若，，则的值为（ ）‎ A．6 B．3 C．2 D．2或3‎ ‎【答案】D ‎【解析】试题分析：因为 ， 所以，又因为，所以又，由余弦定理得， ，可得，或，故选D.‎ ‎【考点】1、余弦定理；2、三角形面积公式.‎ ‎11．在中，分别为的对边，如果成等差数列，，的面积为，那么（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】试题分析：由余弦定理得，又面积 ‎，因为成等差数列，所以，代入上式可得，整理得，解得，故选B．‎ ‎【考点】余弦定理；三角形的面积公式．‎ ‎12．已知数列满足，，则使成立的最大正整数的值为 A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】通过前项的计算可发现该数列为周期数列且周期为3，故可以计算其前项和、前项和、前项和和前项和后得到最大正整数的值．‎ ‎【详解】‎ 因为，，所以，，，，……故数列是周期为的周期数列，且每个周期内的三个数的和为，所以当时，‎ ‎，‎ 故，‎ ‎，‎ ‎，‎ 故使成立的最大正整数的值为，故选C．‎ ‎【点睛】‎ 若数列的递推关系比较复杂，我们可以先计算该数列的前若干项，通过前若干项归纳出数列的通项或数列具有的性质（如周期性、单调性等），然后再进行通项公式的推导或数列性质的证明．‎ 二、填空题 ‎13．在等差数列中，已知，则=_______.‎ ‎【答案】15‎ ‎【解析】由条件求出的通项公式，再求.‎ ‎【详解】‎ 设等差数列的首项为 ，公差为.‎ 由有：.‎ 解得：,则.‎ 所以.‎ 故答案为：15.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查等差数列的通项公式的求法,本题也可由等差数列的性质有直接求出答案,考查等差数列的性质,属于基础题.‎ ‎14．在中，若,那么角C=______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】利用三角形面积公式整理，即可得到，问题得解。‎ ‎【详解】‎ 因为，‎ 所以，即：‎ 所以，又，‎ 所以 ‎【点睛】‎ 本题主要考查了余弦定理及计算能力，属于基础题 ‎15．如图所示的三角形数组是我国古代数学家杨辉发现的，称为杨辉三角形，根据图中的数构成的规律，推测第10行的第3个数字为_______．‎ ‎【答案】45‎ ‎【解析】将每一行中的第三个数抽出来排成一列，观察其规律，计算出其通项公式，从而求出答案.‎ ‎【详解】‎ 将每一行中的第三个数抽出来排成一列1,3,6,10……‎ 该数列的递推关系为：.‎ ‎ ‎ ‎==.‎ 又第10行的第3个数字为该数列的第9项：.‎ 故答案为：45.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了杨辉三角中数的排列规律，解题时要通过观察、分析和归纳，发现其中的规律，从而解决问题.本题还可以由组合数的性质解决,属于中档题.‎ ‎16．已知数列满足：，若，则=_________；‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】通过列举法,可以根据数列的前几项确定数列的周期,再根据周期即可求得.‎ ‎【详解】‎ 因为数列中,满足 所以 所以数列是以3为周期的周期数列 所以 故答案为: ‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了数列递推公式的应用,周期数列的简单应用,属于中档题.‎ 三、解答题 ‎17．已知是一个等差数列且．‎ ‎（1）求的通项公式；‎ ‎（2）求的前n项和．‎ ‎【答案】(1); (2) ‎ ‎【解析】(1)由条件，将通项公式代入，得到关于 的方程，解出即可得到答案. (2)由等差数列的前项和公式将代入即可.‎ ‎【详解】‎ ‎(1)设等差数列的首项为 ，公差为.‎ 由有：.‎ 解得：,则.‎ 所以的通项公式.‎ ‎(2)由等差数列的前项和公式有：‎ ‎.‎ 所以的前n项和.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查等差数列的通项公式和数列的前项和的求法，属于基础题.‎ ‎18．设锐角三角形的内角、、的对边分别为、、，.‎ ‎(1)求角的大小.‎ ‎(2)若，，求.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】本试题主要是考查了解三角形的运用。‎ ‎（1）第一问中利用正弦定理，化边为角，然后化为但一三角函数，解方程得到。‎ ‎（2）再结合第一问中的结论，运用余弦定理，得到第三边的求解。‎ 解：（1）B=300…………………5分 ‎(2)b=……………………5分（多解扣1分）‎ ‎19．设等差数列的前ｎ项的和为S n ,且S 4 =－62, S 6 =－75,求：‎ ‎（1）的通项公式a n 及前ｎ项的和S n ；‎ ‎（2）|a 1 |+|a 2 |+|a 3 |+……+|a 14 |.‎ ‎【答案】（1）an=3n-23；(2) 147.‎ ‎【解析】试题分析：（1）由S4=-62，S6=-75，可得到等差数列{an}的首项a1与公差d的方程组，‎ 解之即可求得{an}的通项公式an 及前n项的和Sn；‎ 由（1）可知an，由an＜0得n＜8，‎ 从而|a1|+|a2|+|a3|+…+|a14|=S14-2S7，计算即可．‎ 试题解析：（1）设等差数列{an}的公差为d，依题意得 ,‎ 解得a1=-20，d=3．‎ ‎∴an=-20+（n-1）×3=3n-23；‎ Sn=.‎ ‎（2）∵an=3n-23，‎ ‎∴由an＜0得n＜8，‎ ‎∴|a1|+|a2|+|a3|+…+|a14|=-a1-a2-…-a7+a8+…+a14‎ ‎=S14-2S7=‎ ‎=7（42-43）-7（21-43）‎ ‎=-7-7×（-22）‎ ‎=147．‎ ‎【考点】数列的求和；等差数列的前n项和．‎ ‎20．某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上，在小艇出发时，轮船位于港口的O北偏西30°且与该港口相距20海里的A处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶.假设该小艇沿直线方向以v海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇．‎ ‎（I）若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？‎ ‎（II）为保证小艇在30分钟内（含30分钟）能与轮船相遇，试确定小艇航行速度的最小值．‎ ‎【答案】（Ⅰ）30海里/时 （Ⅱ）10海里/时 ‎【解析】试题分析：（1）先假设相遇时小艇的航行距离为S，根据余弦定理可得到关系式S=‎ 整理后运用二次函数的性质可确定答案．‎ ‎（2）先假设小艇与轮船在某处相遇，根据余弦定理可得到（vt）2=202+（30t）2-2•20•30t•cos（90°-30°），再由t的范围可求得v的最小值．‎ ‎（I）设相遇时小艇的航行距离为S海里，则 ‎, 故t=1/3时，Smin=，‎ 答:希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇的航行时间为1/3小时.‎ ‎（Ⅱ）设小艇与轮船在B处相遇 由题意可知，（vt）2=202+（30 t）2-2·20·30t·cos（90°-30°），‎ 化简得：‎ 由于0＜t≤1/2，即1/t ≥2‎ 所以当=2时，取得最小值，‎ 即小艇航行速度的最小值为海里/小时。‎ ‎【考点】本试题主要考查了解三角形、二次函数等基础知识，考查推理论证能力，抽象概括能力、运算求解能力、应用意识，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归思想 点评：解决该试题的关键是能结合余弦定理和函数与不等式的思想求解最值。‎ ‎21．在中，角，，的对边分别为，，，已知向量，，且．‎ ‎（1）求角的值；‎ ‎（2）若为锐角三角形，且，求的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】（1）根据和正弦定理余弦定理求得.(2)先利用正弦定理求出R=1,再把化成，再利用三角函数的图像和性质求解.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）因为，所以，‎ 由正弦定理化角为边可得，‎ 即，由余弦定理可得，又，所以．‎ ‎（2）由（1）可得，设的外接圆的半径为，‎ 因为，，所以，‎ 则 ‎，‎ 因为为锐角三角形，所以，即，‎ 所以，所以，‎ 所以，故的取值范围为．‎ ‎【点睛】‎ ‎(1)本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形，考查三角函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 对于复合函数的问题自然是利用复合函数的性质解答，求复合函数的最值，一般从复合函数的定义域入手，结合三角函数的图像一步一步地推出函数的最值.‎ ‎22．已知数列中，，数列满足 ‎．‎ ‎（Ⅰ）求证：数列是等差数列；‎ ‎（Ⅱ）求数列中的最大项和最小项，说明理由．‎ ‎【答案】（I）证明见解析；（II）当时，取得最小值，当时，取得最大值.‎ ‎【解析】试题分析：（I）因为，，即可得到 ‎，得到证明；（II）由（Ⅰ）知，则，设，利用函数的单调性，即可得到结论.‎ 试题解析：（Ⅰ）证明：因为，‎ 所以 又 所以数列是以为首项，1为公差的等差数列 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，‎ 则 设，则f（x）在区间和上为减函数．‎ 所以当时，取得最小值－1，当时，取得最大值3‎ ‎【考点】等差数列的概念；数列的单调性的应用.‎