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- 2021-06-04 发布
专题24+平面向量的概念及其线性运算
1.设a是非零向量，λ是非零实数，下列结论中正确的是( )
A.a与λa的方向相反 B.a与λ2a的方向相同
C.|－λa|≥|a| D.|－λa|≥|λ|·a
2.如图，在正六边形ABCDEF中，＋＋＝( )
A.0 B. C. D.
解析 由图知＋＋＝＋＋＝＋＝.
答案 D
3.设a，b不共线，＝2a＋pb，＝a＋b，＝a－2b，若A，B，D三点共线，则实数p的值为( )
A.－2 B.－1 C.1 D.2
解析 ∵＝a＋b，＝a－2b，
∴＝＋＝2a－b.
又∵A，B，D三点共线，∴，共线.
设＝λ，∴2a＋pb＝λ(2a－b)，
∴2＝2λ，p＝－λ，∴λ＝1，p＝－1.
答案 B
4.如图所示，已知AB是圆O的直径，点C，D是半圆弧的两个三等分点，＝a，＝b，则
eq o(AD,sup6(→))＝( )
A.a－b B.a－b
C.a＋b D.a＋b
解析 连接CD，由点C，D是半圆弧的三等分点，得CD∥AB且＝＝a，
所以＝＋＝b＋a.
答案 D
5.已知点O，A，B不在同一条直线上，点P为该平面上一点，且2＝2＋，则( )
A.点P在线段AB上
B.点P在线段AB的反向延长线上
C.点P在线段AB的延长线上
D.点P不在直线AB上
解析 因为2＝2＋，所以2＝，所以点P在线段AB的反向延长线上，故选B.
答案 B
6.O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足：＝＋λ，λ∈[0，＋∞)，则P的轨迹一定通过△ABC的( )
A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心
解析 作∠BAC的平分线AD.
∵＝＋λ，
∴＝λ＝λ′·(λ′∈[0，＋∞))，∴＝·，
∴∥.∴P的轨迹一定通过△ABC的内心.
答案 B
7.若点O是△ABC所在平面内的一点，且满足|－＝|＋－2|，则△ABC的形状为________.
8.向量e1，e2不共线，＝3(e1＋e2)，＝e2－e1，＝2e1＋e2，给出下列结论：①A，B，C共线；②A，B，D共线；③B，C，D共线；④A，C，D共线，其中所有正确结论的序号为________.
解析 由＝－＝4e1＋2e2＝2，且与不共线，可得A，C，D共线，且B不在此直线上.
答案 ④
9.已知△ABC和点M满足＋＋＝0，若存在实数m使得＋＝m成立，则m
＝________.
解析 由已知条件得＋＝－，如图，延长AM交BC于D点，则D为BC的中点.延长B M交AC于E点，延长CM交AB于F点，同理可证E、F分别为AC、AB的中点，即M为△ABC的重心，∴＝＝(＋)，即＋＝3，则m＝3.
答案 3
10.已知向量a＝2e1－3e2，b＝2e1＋3e2，其中e1，e2不共线，向量c＝2e1－9e2，问是否存在这样的实数λ，μ，使向量d＝λa＋μb与c共线？
解 ∵d＝λ(2e1－3e2)＋μ(2e1＋3e2)
＝(2λ＋2μ)e1＋(－3λ＋3μ)e2，
要使d与c共线，则应有实数k，使d＝kc，
即(2λ＋2μ)e1＋(－3λ＋3μ)e2＝2ke1－9ke2，
即得λ＝－2μ.
故存在这样的实数λ，μ，只要λ＝－2μ，就能使d与c共线.
11.如图所示，在△ABC中，D、F分别是BC、AC的中点，＝，＝a，＝b.
(1)用a、b表示向量，，，，；
(2)求证：B，E，F三点共线.
(1)解 延长AD到G，使＝，连接BG，CG，得到▱ABGC，所以＝a＋b，＝＝(a＋b)，
＝＝(a＋b)，＝＝b，
＝－＝(a＋b)－a＝(b－2a).
＝－＝b－a＝(b－2a).
(2)证明 由(1)可知＝，
又因为，有公共点B，所以B，E，F三点共线.
12.已知O，A，B是不共线的三点，且＝m＋n(m，n∈R).
(1)若m＋n＝1，求证：A，P，B三点共线；
(2)若A，P，B三点共线，求证：m＋n＝1.
证明 (1)若m＋n＝1，
则＝m＋(1－m)＝＋m(－)，
∴－＝m(－)，
即＝m，∴与共线.
又∵与有公共点B，则A、P、B三点共线，