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- 2021-06-04 发布
重点强化训练(二) 平面向量
(对应学生用书第265页)
A组 基础达标
(建议用时：30分钟)
一、选择题
1．(2017·石家庄模拟)已知a，b是两个非零向量，且|a＋b|＝|a|＋|b|，则下列说法正确的是 ( )
A．a＋b＝0
B．a＝b
C．a与b共线反向
D．存在正实数λ，使a＝λb
D [因为a，b是两个非零向量，且|a＋b|＝|a|＋|b|.则a与b共线同向，故D正确．]
2．若a，b，c均为单位向量，且a·b＝0，(a－c)·(b－c)≤0，则|a＋b－c|的最大值为( ) 【导学号：79170149】
A．－1 B．1
C． D．2
B [因为|a|＝|b|＝|c|＝1，a·b＝0，所以|a＋b|2＝a2＋b2＋2a·b＝2，故|a＋b|＝.
展开(a－c)·(b－c)≤0，得a·b－(a＋b)·c＋c2≤0，
即0－(a＋b)·c＋1≤0，整理，得(a＋b)·c≥1.
而|a＋b－c|2＝(a＋b)2－2(a＋b)·c＋c2＝3－2(a＋b)·c，
所以3－2(a＋b)·c≤3－2×1＝1.
所以|a＋b－c|2≤1，即|a＋b－c|≤1.]
3．(2016·北京高考)设a，b是向量，则“|a|＝|b|”是“|a＋b|＝|a－b|”的( )
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
D [若|a|＝|b|成立，则以a，b为邻边的平行四边形为菱形．a＋b，a－b表示的是该菱形的对角线，而菱形的两条对角线长度不一定相等，所以|a＋b|＝|a－b|不一定成立，从而不是充分条件；反之，若|a＋b|＝|a－b|成立，则以a，b为邻边的平行四边形为矩形，而矩形的邻边长度不一定相等，所以|a|＝|b|不一定成立，从而不是必要条件．故“|a|＝|b|”是“|a＋b|＝|a－b|”的既不充分也不必要条件．]
4．在平面直角坐标系中，已知O是坐标原点，A(3,0)，B(0,3)，C(cos α，sin α)，若|＋|＝，α∈(0，π)，则与的夹角为( )
A． B．
C．π D．π
A [由题意，得＋＝(3＋cos α，sin α)，
所以|＋|＝
＝＝，
即cos α＝，
因为α∈(0，π)，所以α＝，C.
设与的夹角为θ，
则cos θ＝＝＝.
因为θ∈[0，π]，所以θ＝.]
5．已知直线ax＋by＋c＝0与圆O：x2＋y2＝1相交于A，B两点，且AB＝，则·的值是 ( )
A．－ B．
C．－ D．0
A [取AB的中点C，连接OC，AB＝，
则AC＝，又因为OA＝1，
所以sin＝sin∠AOC＝＝，
所以∠AOB＝120°，
则·＝1×1×cos 120°＝－.]
二、填空题
6．设O是坐标原点，已知＝(k,12)，＝(10，k)，＝(4,5)，若A，B，C三点共线，则实数k的值为________．
11或－2 [由题意得＝－＝(k－4,7)，
＝－＝(6，k－5)，
所以(k－4)(k－5)＝6×7，
k－4＝7或k－4＝－6，即k＝11或k＝－2.]
7．(2018·黄冈模拟)已知两个平面向量a，b满足|a|＝1，|a－2b|＝，且a与b的夹角为120°，则|b|＝________. 【导学号：79170150】
2 [由|a－2b|＝得a2－4a·b＋4b2＝21.
即1＋2|b|＋4|b|2＝21，解得|b|＝2或|b|＝－(舍)．]
8．已知点A，B，C满足||＝3，||＝4，||＝5，则·＋·＋·＝________.
－25 [由||2＋||2＝||2得∠B＝90°，cos C＝，cos A＝，·＝0，·＝4×5×＝－16，·＝5×3×＝－9，所以·＋·＋·＝－25.]
三、解答题
9．在直角坐标系xOy中，已知点A(1,1)，B(2,3)，C(3,2)，点P(x，y)在△ABC
三边围成的区域(含边界)上，且＝m＋n(m，n∈R)．
(1)若m＝n＝，求||；
(2)用x，y表示m－n，并求m－n的最大值．
[解] (1)∵m＝n＝，＝(1,2)，＝(2,1)，
∴＝(1,2)＋(2,1)＝(2,2)， 3分
∴||＝＝2. 5分
(2)∵＝m(1,2)＋n(2,1)＝(m＋2n,2m＋n)，
∴ 8分
两式相减，得m－n＝y－x.
令y－x＝t，由图知，当直线y＝x＋t过点B(2,3)时，t取得最大值1，故m－n的最大值为1. 12分
10．设向量a＝(sin x，sin x)，b＝(cos x，sin x)，x∈.
(1)若|a|＝|b|，求x的值；
(2)设函数f(x)＝a·b，求f(x)的最大值．
【导学号：79170151】
[解] (1)由|a|2＝(sin x)2＋(sin x)2＝4sin2x，
|b|2＝(cos x)2＋(sin x)2＝1，
及|a|＝|b|，得4sin2x＝1. 3分
又x∈，从而sin x＝，所以x＝. 5分
(2)f(x)＝a·b＝sin x·cos x＋sin2x
＝sin 2x－cos 2x＋＝sin＋， 8分
当x＝∈时，sin取最大值1.
所以f(x)的最大值为. 12分
B组 能力提升
(建议用时：15分钟)
1．(2018·兰州模拟)已知向量a，b的夹角为60°，且|a|＝2，|b|＝3，设＝a，＝b，＝ma－2b，若△ABC是以BC为斜边的直角三角形，则m＝( )
【导学号：79170152】
A．－4 B．3
C．－11 D．10
C [a·b＝2×3×cos 60°＝3，
＝－＝b－a，＝－OA＝(m－1)a－2B．
∵AB⊥AC，∴·＝0，
即(b－a)·[(m－1)a－2b]＝0，
∴(1－m)a2－2b2＋(m－1)a·b＋2a·b＝0，
即4(1－m)－18＋3(m－1)＋6＝0，
解得m＝－11.故选C．]
2．如图2，菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝60°，M为DC的中点，若N为菱形内任意一点(含边界)，则·的最大值为________．
图2
9 [由平面向量的数量积的几何意义知，·等于与在方向上的投影之积，所以(·)max＝·＝·(＋)＝2＋2＋·＝9.]
3．已知函数f(x)＝a·b，其中a＝(2cos x，－sin 2x)，b＝(cos x,1)，x∈R.
(1)求函数y＝f(x)的单调递减区间；
(2)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，f(A)＝－1，a＝，且向量m＝(3，sin B)与n＝(2，sin C)共线，求边长b和c的值．
[解] (1)f(x)＝a·b＝2cos2x－sin 2x＝1＋cos 2x－sin 2x＝1＋2cos， 2分
令2kπ≤2x＋≤2kπ＋π(k∈Z)，
解得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，
∴f(x)的单调递减区间为(k∈Z). 5分
(2)∵f(A)＝1＋2cos＝－1，
∴cos＝－1. 7分
又<2A＋<，∴2A＋＝π，即A＝. 9分
∵a＝，
由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A＝(b＋c)2－3bc＝7. ①
∵向量m＝(3，sin B)与n＝(2，sin C)共线，
∴2sin B＝3sin C．由正弦定理得2b＝3c， ②
由①②可得b＝3，c＝2. 12分