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- 2021-06-04 发布
1
合肥市 2019 届高三第一次教学质量检测
数学试题(理科)
(考试时间：120 分钟 满分：150 分)
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12 小题，每小题5 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知i 为虚数单位， 4
1 iz
，则复数z 的虚部为（ ）
A． 2i B．2i C．2 D． 2
1．答案：D
解析： 4 4(1 i) 2 2i1 i (1 i)(1 i)z
，所以复数z 的虚部为 2 ．
2．集合 2{ | 2 }, { | 1 0}A x x x B x x ≤0 ，则 A B （ ）
A．{ | 1}x x B．{ | 1 1}x x ≤ C．{ | 2}x x ≤ D．{ | 2 1}x x ≤
2．答案：C
解析： 2{ | 2 } { | ( 1)( 2) 0} { | 1 2}, { | 1}A x x x x x x x x B x x ≤0 ≤ ≤ ≤ ，
所以 { | 2}A B x x ≤
3．执行如图所示的程序框图，则输出n 的值为（ ）
A．63 B．47 C．23 D．7
3．答案：C
解析： 7, 1n i 否 2 7 1 15 2n i 否，是 15 1 11 3n i 否，否
2 11 1 23 4n i 是，输出 23n ．
4．已知正项等差数列{ }na 的前n 项和为 nS (n N )， 2
5 7 6 0a a a ，则 11S 的值为（ ）
A．11 B．12 C．20 D．22
4．答案：D
解析： 2 2
5 7 6 6 62 0a a a a a ，又因为 6 0a ，所以 6 11 62, 11 22a S a ．
5．已知偶函数 ( )f x 在[0 ) ， 上单调递增，则对实数a b， ，“a b ”是“ ( ) ( )f a f b ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．答案：A
2
解析：因为偶函数 ( )f x 在[0 ) ， 上单调递增，所以 ( ) ( )f a f b a b ，
因为a b a b ，而 a b a b ，所以“a b ”是“ ( ) ( )f a f b ”的充分不必要条件．
6．某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、90 后从事互联网行业
者岗位分布条形图，则下列结论中不一定正确的是（ ）
注：90 后指1990 年及以后出生，80 后指1980-1989 年之间出生，80 前指1979 年及以前出生．
A．互联网行业从业人员中90 后占一半以上
B．互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的20%
C．互联网行业中从事运营岗位的人数90 后比80 前多
D．互联网行业中从事技术岗位的人数90 后比80 后多
6．答案：D
解析：互联网行业从业人员中90 后占56%，超过一半，A 正确；
90 后且从事技术岗位的人数占比为0.56 0.396 0.22176 0.2 ，故互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人
数的20%，B 正确；
90 后且从事运营岗位的占比为0.56 0.17 0.0952 0.03 ，所以互联网行业中从事运营岗位的人数90 后比80 前
多，C 正确；
90 后且从事技术岗位的人数占比为0.56 0.396 0.22176 0.41 ，所以D 错误．
7．平面 外有两条直线a ，b ，它们在平面 内的射影分别是直线m ，n ，则下列命题正确的是（ ）
A．若a b ，则m n B．若m n ，则a b
C．若 / /m n ，则 //a b D．若m 和n 相交，则a 和b 相交或异面
7．答案：D
解析：直线a 在过直线m 且垂直于平面 的平面内，直线b 在过直线n 且垂直于平面 的平面内，所以选项A，B，
C 显然错误，若m 和n 相交，则直线a 和b 分别在两个相交平面内，所以a 和b 相交或异面，D 正确．
8．若
61ax
x
展开式的常数项为60，则a 的值为（ ）
A．4 B． 4 C．2 D． 2
8．答案：D
解析：
61ax
x
展开式中的常数项为
4
4 2 2
6
1( ) 15 60C ax a
x
，解得 2a ．
9．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该几何体的体积为（ ）
A．2 5 4 2 10 B． 4
3 C．8
3 D．16
3
9．答案：C
3
解析：该几何体是一个三棱锥，其体积 1 1 8( 2 4) 23 2 3V ．
10．某商场进行购物摸奖活动，规则是：在一个封闭的纸箱中装有标号分别为1，2，3，4，5 的五个小球，每次摸奖
需要同时取出两个球，每位顾客最多有两次摸奖机会，并规定：若第一次取出的两球号码连号，则中奖，摸奖结束；
若第一次未中奖，则将这两个小球放回后进行第二次摸球．若与第一次取出的两个小球号码相同，则为中奖．按照这
样的规则摸奖，中奖的概率为（ ）
A． 4
5 B．19
25 C． 23
50 D． 41
100
10．答案：C
解析：第一次摸球中奖的概率为 1 2
5
4 2
5P C ，第一次不中奖而第二次中奖的概率为 2 2
5
3 1 3
5 50P C ，
所以所求概率 1 2
2 3 23
5 50 50P P P ．
11．设双曲线
2 2
2 2: 1x yC a b ( 0 0a b ， )的左、右焦点分别为 1 2F F， ，过 1F 的直线分别交双曲线左右两支于
点M N， ，连结 2 2MF NF， ，若 2 2 0MF NF
， 2 2MF NF
，则双曲线C 的离心率为（ ）
A． 2 B． 3 C． 5 D． 6
11．答案：B
解析：如图，设 1MF t ，则 2 2 12 , 2 , 4 , 4MF t a NF t a MF t a MN a ，因为 2MNF△ 是等腰
直角三角形，所以4 2( 2 )a t a ，解得 (2 2 2)t a ，在 1 2MF F△ 中，由余弦定理可得：
2 2 2
1 2 1 2 1 22 cos135F F MF MF MF MF ，即 2 2 2 2 24 (12 8 2) 8 (8 2 8) 12c a a a a ，
所以 3c a ，离心率 3ce a ．
M
F2F1 O
N
12．已知函数 2( ) 2 lnf x ax x x 有两个不同的极值点 1 2x x， ，若不等式 1 2( ) ( )f x f x 恒成立，则实数
的取值范围是（ ）
A．[ 3, ) B．(3, ) C．[ , )e D．( , )e
12．答案：A
解析：
21 2 2 1( ) 2 2 ( 0)ax xf x ax xx x
，因为 ( )f x 有两个不同的极值点 1 2,x x ，则方程
22 2 1 0ax x 有两个不同的正根，
4
则 1 2
1 2
4 8 0
1 10 0 2
1 02
a
x x aa
x x a
， 2 2
1 1 2 2
1 1,2 2ax x ax x ，
2 2
1 2 1 1 1 2 2 2 1 1 1 2 2 2
1 1( ) ( ) 2 ln 2 ln 2 ln 2 ln2 2f x f x ax x x ax x x x x x x x x
1 2 1 2
1 1( ) ln( ) 1 ln 2 1 ln 2 1x x x x a aa a
，
设 1 1( ) ln(2 ) 1 (0 )2g x x xx ，则 2 2
1 1 1( ) 0xg x x x x
，
所以 ( )g x 单调递减， 1( ) 32g x g
， 1 ln 2 1 3aa
，
因为 1 ln 2 1aa
恒成立，所以 的取值范围是[ 3, ) ．
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分．第13 题—第21 题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22 题、第23 题为选考
题，考生根据要求作答．
二、填空题：本大题共4 小题，每小题5 分．把答案填在答题卡上的相应位置．
13．设x y， 满足约束条件
0
0
1 0
3 0
x
y
x y
x y
，则 2z x y 的取值范围为 ．
13．答案：( 1,6)
解析：作可行域为如图所示的四边形OABC （不包含边界），其中 (3,0), (1,2), (0,1)A B C ，
因为 0, 6, 0, 1O A B Cz z z z ，所以z 的取值范围是( 1,6) ．
O A
B
C
x
y
14．若非零向量 , a b
满足 2a a b
，则
a b
b
．
14．答案：1
解析：因为 2a a b
，所以 22 2 0a a b a a b
，
5
则
2 2 22
2 2
2 1, 1
a b a ba a b b b
b bb b
．
15．在锐角 ABC△ 中， 2BC ，sin sin 2sinB C A ，则中线 AD 长的取值范围是 ．
15．答案： 133 2
，
解析： 2a ， 2 4b c a ，所以 4 (1 3)b c c ， 因为 ABC△ 是锐角三角形，所以
2 2 2
2 2 2
2 2 2
a b c
b c a
a c b
，
解得 3 5
2 2c ．
2 2 2
2 2 22( ) 1 ( ) 14 2
b c aAD b c ，
而 2 2 2 2 2 2 17(4 ) 2 8 16 2 2( 2) 8 8, 2b c c c c c x
，
所以 2 2 21 13( ) 1 3,2 4AD b c
，所以 133 2AD
， ．
16．在平面直角坐标系 xOy 中，点 12 ( )2
n
n
n
n nA n N
， ，记 2 1 2 2 1n n nA A A △ 的面积为 nS ，则
1
n
i
i
S
．
16．答案： 2 22 43 3
nn
解析： 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1
2 1 2 2 1 2 1 2 1(2 ,0), 2 ,2 , (2 ,0), 2 2 3 2n n n n n n
n n n n nA A n A A A
，
所以 2 1 11 3 2 2 6 42
n n
nS n n ，设数列{ }nS 的前n 项和为 nT ，则
2 2 1
2 3 1
6 12 4 18 4 6( 1) 4 6 4
6 4 12 4 18 4 6( 1) 4 6 4
n n
n
n n
n
T n n
T n n
①
4 ②
① ② ，得 2 1 6(1 4 )3 6 6 4 6 4 6 4 6 4 6 4 (2 6 ) 4 21 4
n
n n n n
nT n n n ，
所以 2 22 43 3
n
nT n
．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(本小题满分12 分)
已知函数 ( ) cos 2 sin 2 6f x x x
．
(Ⅰ)求函数 ( )f x 的最小正周期；
(Ⅱ)若 0 2
， ，
1( ) 3f ，求cos 2 ．
17．解析：(Ⅰ)∵ 3 1 3 1cos 2 sin 2 cos 2 sin 2 cos 2 sin 22 2 2 2 6f x x x x x x x
，
6
∴函数 f x 的最小正周期为T . …………………………5 分
(Ⅱ)由 1( ) 3f 可得， 1sin 2 6 3
. ∵ 0, 2
，∴ 72 6 6 6
， .
又∵ 1 10 sin 2 6 3 2x
，∴2 6 2
， ，
∴ 2 2cos 2 6 3
，
∴ 1 2 6cos 2 cos 2 cos 2 cos sin 2 sin6 6 6 6 6 6 6
.…………12 分
18．(本小题满分12 分)
在四棱锥P ABCD 中， 2 3BC BD DC ，
2AD AB PD PB ．
(Ⅰ)若点E 为PC 的中点，求证： //BE 平面PAD ；
(Ⅱ)当平面PBD 平面 ABCD 时，求二面角C PD B 的余弦值．
B
D
P
C
E
A
18．解析：(Ⅰ)取CD 的中点为M ，连结EM ，BM .
由已知得， BCD△ 为等边三角形，BM CD .
2AD AB ， 2 3BD ，
∴ 30ADB ABD ，
90 , //ADC BM AD .
又 BM 平面PAD ， AD 平面PAD ，
//BM 平面PAD .
∵E 为PC 的中点，M 为CD 的中点，∴ //EM PD .
又∵EM 平面PAD ，PD 平面PAD ，
//EM 平面PAD .
EM BM M ，∴平面 //BEM 平面PAD .
BE 平面BEM ， //BE 平面PAD . …………………………5 分
(Ⅱ)连结 AC ，交BD 于点O ，连结PO ，由对称性知，O 为BD 的中点，且 AC BD ，PO BD .
∵平面PBD 平面 ABCD ，PO BD ，
∴PO 平面 ABCD ， 1PO AO ， 3CO .
以O 为坐标原点，OC
的方向为x 轴正方向，建立空间直角坐标系O xyz .
则 (0, 3,0), (3,0,0), (0,0,1)D C P .
易知平面PBD 的一个法向量为 1 (1,0,0)n
.
设平面PCD 的法向量为 2 ( , , )n x y z
，
则 2n DC
， 2n DP
，∴ 2
2
0
0
n DC
n DP
，
∵ (3, 3,0), (0, 3,1)DC DP
，∴ 3 3 0
3 0
x y
y z
.
B
D
P
C
E
M A
7
令 3y ，得 1 3x z ， ，∴ 2 ( 1, 3, 3)n
，
∴ 1 2
1 2
1 2
1 13cos 1313
n nn n
n n
， .
设二面角C PD B 的大小为 ，则 13cos 13 . ………………………12 分
19．(本小题满分12 分)
每年 3 月 21 日是世界睡眠日，良好的睡眠状况是保持身体健康的重要基础．为了做好今年的世界睡眠日宣传工作，
某社区从本辖区内同一年龄层次的人员中抽取了100 人，通过问询的方式得到他们在一周内的睡眠时间(单位：小时)，
并绘制出如右的频率分布直方图：
(Ⅰ)求这100 人睡眠时间的平均数x (同一组数据用该组区间的中点值代替，结果精确到个位)；
(Ⅱ)由直方图可以认为，人的睡眠时间t 近似服从正态分布 2( , )N ，其中 近似地等于样本平均数x ， 2 近似
地等于样本方差 2s ， 2 33.6s ．假设该辖区内这一年龄层次共有 10000 人，试估计该人群中一周睡眠时间位于区
间(39.2, 50.8)的人数．
附： 33.6 5.8 ．若 随 机变 量 Z 服 从 正 态 分 布 2( , )N ，则 ( ) 0.6826P Z ，
( 2 2 ) 0.9544P Z ．
19．解析：
(Ⅰ) 0.06 34 0.18 38 0.20 42 0.28 46 0.16 50 0.10 54 0.02 58 44.72 45x ；
…………………………5 分
(Ⅱ)由题意得， 39.2 50.8 ， ， 39.2 50.8 0.6826P t ，
所以估计该人群中一周睡眠时间在区间 39.2 50.8， 的人数约为10000 0.6826 6826 (人)；
…………………………12 分
20．(本小题满分12 分)
设椭圆
2 2
2 2: 1x yC a b ( 0a b )的离心率为 2
2
，圆 2 2: 2O x y 与x 轴正半轴交于点 A ，圆O 在点 A 处
的切线被椭圆C 截得的弦长为2 2 ．
(Ⅰ)求椭圆C 的方程；
(Ⅱ)设圆O 上任意一点P 处的切线交椭圆C 于点M N， ，试判断 PM PN 是否为定值？若为定值，求出该定值；
若不是定值，请说明理由．
20．解析：(Ⅰ)设椭圆的半焦距为c ，由椭圆的离心率为 2
2
知， 2b c a b ， ，
∴椭圆C 的方程可设为
2 2
2 2 12
x y
b b .
易求得 ( 2,0)A ，∴点( 2 2)， 在椭圆上，∴ 2 2
2 2 12b b ，
8
解得
2
2
6
3
a
b
，∴椭圆C 的方程为
2 2
16 3
x y . …………………………5 分
(Ⅱ)当过点P 且与圆O 相切的切线斜率不存在时，不妨设切线方程为 2x ，由(Ⅰ)知，
( 2, 2) ( 2, 2)M N ， ，
( 2, 2) ( 2, 2) 0OM ON OM ON
， ， ，∴OM ON .
当过点P 且与圆O 相切的切线斜率存在时，可设切线的方程为 y kx m ， 1 1 2 2( , ), ( , )M x y N x y ，
∴
2
2
1
m
k
，即 2 22( 1)m k .
联立直线和椭圆的方程得 2 22( ) 6x kx m ，
∴ 2 2 2(1 2 ) 4 2 6 0k x kmx m ，得
2 2 2
1 2 2
2
1 2 2
(4 ) 4(1 2 )(2 6) 0
4
2 1
2 6
2 1
km k m
kmx x k
mx x k
.
∵ 1 1 2 2( , ), ( , )OM x y ON x y
，
∴ 1 2 1 2 1 2 1 2OM ON x x y y x x kx m kx m
，
2
2 2 2 2
1 2 1 2 2 2
2 6 4(1 ) ( ) (1 ) 2 1 2 1
m kmk x x km x x m k km mk k
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2
(1 )(2 6) 4 (2 1) 3 6 6 3(2 2) 6 6 02 1 2 1 2 1
k m k m m k m k k k
k k k
，
∴OM ON .
综上所述，圆O 上任意一点P 处的切线交椭圆C 于点M N， ，都有OM ON .
在Rt OMN△ 中，由 OMP△ 与 NOP△ 相似得， 2 2OP PM PN 为定值.
…………………………12 分
21．(本小题满分12 分)
已知函数 ( ) ln( 1)xf x e x (e 为自然对数的底数)．
(Ⅰ)求函数 ( )f x 的单调区间；
(Ⅱ)若 ( ) ( )g x f x ax ，a R ，试求函数 ( )g x 极小值的最大值．
21．解析：(Ⅰ)易知 1x ，且 1( ) 1
xf x e x
.
令 1( ) 1
xh x e x
，则 2
1( ) 0( 1)
xh x e x
，
∴函数 1( ) 1
xh x e x
在 ( 1 )x ， 上单调递增，且 (0) (0) 0h f .
可知，当 ( 1,0)x 时， ( ) ( ) 0h x f x ， ( ) ln( 1)xf x e x 单调递减；
当 (0, )x 时， ( ) ( ) 0h x f x ， ( ) ln( 1)xf x e x 单调递增.
∴函数 ( )f x 的单调递减区间是( 1,0) ，单调递增区间是(0, ) .…………………………5 分
(Ⅱ)∵ ( ) ( ) ln( 1)xg x f x ax e x ax ，∴ ( ) ( )g x f x a .
由(Ⅰ)知， ( )g x 在 ( 1 )x ， 上单调递增，
当 1x 时， ( )g x ；当x 时， ( )g x ，则 ( ) 0g x 有唯一解 0x .
可知，当 0( 1, )x x 时， ( ) 0g x ， ( ) ln( 1)xg x e x ax 单调递减；
9
当 0( )x x ， 时， ( ) 0g x ， ( ) ln( 1)xg x e x ax 单调递增，
∴函数 ( )g x 在 0x x 处取得极小值 0
0 0 0( ) ln( 1)xg x e x ax ，且 0x 满足 0
0
1
1
xe ax
.
∴ 0
0 0 0
0
1( ) (1 ) ln( 1) 1 1
xg x x e x x
.
令 1( ) (1 ) ln( 1) 1 1
xx x e x x
，则 2
1( ) ( 1)
xx x e x
.
可知，当 ( 1,0)x 时， ( ) 0x ， ( )x 单调递增；
当 (0, )x 时， ( ) 0x ， ( )x 单调递减，
∴ max( ) (0) 1x .
∴函数 ( )g x 极小值的最大值为1. …………………………12 分
请考生在第 22、23 题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答
时，请用2B 铅笔在答题卡上，将所选题号对应的方框涂黑．
22．(本小题满分10 分)选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy 中，曲线 1C 的方程为
cos
sin
x
y
( 为参数)．以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极
坐标系，曲线 2C 的极坐标方程为 =2cos ．
(Ⅰ)求 1C 、 2C 交点的直角坐标；
(Ⅱ)设点 A 的极坐标为
3
4， ，点B 是曲线 2C 上的点，求 AOB△ 面积的最大值．
22．解析：(Ⅰ) 2 2
1 : 1C x y ， 2 : =2cosC ，∴ 2 =2 cos ，∴ 2 2 2x y x .
联立方程组得
2 2
2 2
1
2
x y
x y x
，解得
1
1
1 2
3
2
x
y
，
2
2
1 2
3
2
x
y
，
∴所求交点的坐标为 1 3 2 2
， ， 1 3 2 2
， .………………………5 分
(Ⅱ)设 ( , )B ，则 =2cos .
∴ AOB△ 的面积 1 1sin 4 sin 4cos sin2 2 3 3S OA OB AOB
2cos 2 36
∴当 23
12
时， max 2 3S . ………………………10 分
23．(本小题满分10 分)选修4-5：不等式选讲
设函数 ( ) 1f x x ．
(Ⅰ)若 ( ) 2 2f x x ，求实数x 的取值范围；
(Ⅱ)设 ( ) ( ) ( )g x f x f ax ( 1a )，若 ( )g x 的最小值为1
2
，求a 的值．
23．解析：(Ⅰ) ( ) 2 2f x x ，即 1 >2 2x x 1 0
1>2 2
x
x x
≥
或 1 0
1 2 2
x
x x
1
3x ，
10
∴实数x 的取值范围是 1 3
， . ………………………5 分
(Ⅱ)∵ 1a ，∴ 11 a ，∴
( 1) 2 ( 1)
1( ) (1 ) 1
1( 1) 2
a x x
g x a x x a
a x x a
， ，
， ，
， ，
，
易知函数 ( )g x 在 1x a
， 时单调递减，在 1x a
， 时单调递增，
∴ min
1 1( ) 1g x g a a
.
∴ 1 11 2a ，解得 2a . ………………………10 分