数学（理）卷·2018届湖南省株洲市二中高二下学期期中考试（2017-04） 9页

株洲市二中 2017 年上期高二数学期中考试理科 数学试题卷 时间 120 分钟，满分 150 分 一、选择题(本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合 题目要求的)‎ ‎ 10i ‎1．在复平面内，复数 ‎3＋i ‎‎ 对应的点的坐标为( )‎ A．(1,3) B．(3,1) C．(－1,3) D．(3，－1)‎ ‎[答案]A ‎ 1‎ ‎2．二项式(x－‎ x ‎‎ ‎)6 的展开式中常数项为 ( )‎ A．－15 B．15 C．－20 D．20‎ ‎ 1 －‎ ‎ 1 3 3‎ ‎[解析] 二项式(x－‎ ‎)6 的展开式的通项是 Tr＋1＝C r ·x6 r·(－‎ ‎)r＝Cr ·(－1)r·x6－‎ ‎r，令 6－ r＝0，得 r x x 2 2‎ ‎ 1‎ ‎＝4.因此，二项式(x－‎ ‎)6 的展开式中的常数项是 C4·(－1)4＝15，故选 B．‎ x ‎3、6 名同学安排到 3 个社区 A，B，C 参加志愿者服务，每个社区安排两名同学，其中甲同学必须到 A 社区，乙和丙同学均不能到 C 社区，则不同的安排方法种数为( ) A．12 B．9 C．6 D．5‎ 解析： 从甲、乙、丙以外的 3 人中选 2 人到 C 社区，共 C2种，剩余的 4 人中除去甲后任选一人到 A 社区共 C1种，剩余 2 人到 B 社区，共有 C2·C1＝9 种．‎ ‎3 3 3‎ ‎‎ (n＋3)(n＋4) ‎4．用数学归纳法证明等式 1＋2＋3＋„＋(n＋3)＝‎ 是 ( )‎ ‎(n∈N)时，验证 n＝1，左边应取的项 ‎2‎ A．1 B．1＋2‎ C．1＋2＋3 D．1＋2＋3＋4‎ ‎[解析] 当 n＝1 时，左＝1＋2＋„＋(1＋3)＝1＋2＋„＋4，故应选 D.‎ ‎5．三次函数当 x＝1 时有极大值 4，当 x＝3 时有极小值 0，且函数过原点，则此函数是 ( ) A．y＝x3＋6x2＋9x B．y＝x3－6x2＋9x C．y＝x3－6x2－9x D．y＝x3＋6x2－9x ‎[解析] 由条件设 f(x)＝ax3＋bx2＋ cx，则 f ′(x)＝3ax2＋2bx＋c＝3a( x－1)(x－3)，∴b＝－6a，c＝9a，‎ ‎∴f(x)＝ax3－6ax2＋9ax，∵f(1)＝4，∴a＝1.‎ ‎∴f(x)＝x3－6x2＋9 x，故选 B.‎ ‎→‎ ‎6．在复平面内，点 A 对应的复数为 1＋2i，AB＝(－2,1)，则点 B 对应的复数的共轭复数为 ( )‎ A．1＋3i B．1－3i C．－1＋3i D．－1－3i ‎→‎ ‎[解析] 由条件知 A(1,2)，又AB＝(－2,1)，‎ ‎∴B(－1,3)，∴点 B 对应复数 z＝－1＋3i，‎ ‎－‎ 故 z ＝－1－3i.‎ ‎7．已知函数 f(x)＝x2＋bx 的图象在点 A(1，f(1))处的切线 l 与直线 3x－y＋2＝0 平行，若数列{ 1 }的 f(n) 前 n 项和为 Sn，则 S2017 的值为 ( )‎ ‎2016‎ A.‎ ‎2017‎ ‎2015‎ B.2016‎ ‎2013‎ C.2014‎ ‎2014‎ D．2015‎ ‎[解析] f ′(x)＝2x＋b，由 f ′(1)＝2＋b＝3，得 b＝1.‎ 则 f(x)＝x2＋x.‎ ‎ 1 ‎ 于是 f(n) ‎‎ ‎ 1 ‎ ‎＝‎ n2＋n ‎‎ ‎ 1 1‎ ‎＝ ＝ －‎ n(n＋1) n ‎‎ ‎ 1 ‎ ‎，‎ n＋1‎ ‎ 1 ‎ ‎‎ ‎ 1 ‎ ‎‎ ‎ 1 ‎ S2017＝f(1)＋f(2)＋„＋f(2017) ‎1 1 1‎ ‎ 1 1 ‎ ‎ 1 2016‎ ‎－ )＋( － )＋„＋( － )＝1－ ＝ .‎ ‎2 2 3 2016 2017 2017 2017‎ ‎＝(1‎ ‎8、盒子中装有形状、大小完全相同的 3 个红球和 2 个白球，从中随机取出一个记下颜色后放回，当 红球取到 2 次时停止取球．那么取球次数恰为 3 次的概率是 ( )‎ ‎ 18‎ A．‎ ‎125‎ ‎ 36‎ B．‎ ‎125‎ ‎ 44‎ C．‎ ‎125‎ ‎ 81‎ D．‎ ‎125‎ ‎3 3 2 3‎ ‎ 36‎ ‎[解析] 每次取到红球的概率为 ，所求概率为 C1× × × ＝‎ ‎.故选 B．‎ ‎5 2 5 5 5‎ ‎125‎ ‎9．曲线 y＝x3－3x 和 y＝x 围成图形的面积为 ( ) A．4 B．8‎ C．10 D．9‎ ìy＝x3－3x，‎ ‎[解析] 由í îy＝x，‎ ‎‎ ìx＝0， 解得í îy＝0，‎ ‎‎ ìx＝2， 或í îy＝2，‎ ‎‎ ìx＝－2， 或í îy＝－2.‎ ‎∵y＝x3－3x 与 y＝ x 都是奇函数，‎ ‎∴围成图形的面积为 S＝2õó2[x－(x3－3x)]dx＝2 õó2(4x－x3)dx＝ 2·(2x2－‎ ‎1x4) |2＝8，故选 B.‎ ‎0 0 4‎ ‎10．袋中有 4 只红球，3 只黑球，从袋中任取 4 只球，取到 1 只红球得 1 分，取到 1 只黑球得 3 分， 设得分为随机变量 X，则 P(X≤7)的值为( )‎ ‎11 13 16 7‎ ‎26‎ A. 30 B.35 C.35 D.‎ C ‎4‎ C ‎＋‎ 解析： 4 只球中黑球个数可能为 0,1,2,3，相应得分依次为 4,6,8,10.P(X≤7)＝P(X＝4)＋ P(X＝6)＝ 4‎ ‎7‎ C3 1 1‎ ‎12 13‎ ‎4C3‎ ‎＋ ＝ .‎ C4 ＝35‎ ‎‎ ‎35 35‎ ‎11．如图，第 n 个图形是由正 n＋2 边形“扩展”而来(n＝1,2,3，„)，则第 n 个图形中顶点个数为 ( )‎ A．(n＋1)(n＋2) B．(n＋2)(n＋3) C．n2 D．n ‎[解析] 第一个图形共有 12＝3×4 个顶点，第二个图形共有 20＝4×5 个顶点，第三个图形共有 30‎ ‎＝5×6 个顶点，第四个图形共有 42＝6×7 个顶点，故第 n 个图形共有(n＋2)(n＋3)个顶点．‎ ‎12．已知 a≥0，函数 f(x)＝(x2－2ax)ex，若 f(x)在[－1,1]上是单调减函数，则 a 的取值范围是( )‎ A.(0，3 )‎ ‎‎ B.(1 3 )‎ ‎‎ C.[3 ∞)‎ ‎‎ ‎(‎ ‎)‎ ‎1‎ D. 0，‎ ‎， ，＋‎ ‎4 2 4 4 2‎ ‎[解析] f′(x)＝(2x－2a)ex＋(x 2－2ax)e2＝[x2＋(2－2a)x－2a]ex，由题意当 x∈[－1,1]时，f′(x)≤0 恒成立，‎ ìg－ ， 即 x2＋(2－2a)x－2a≤0 恒成立．令 g(x)＝x2＋(2－2a)x－2a，则有í îg ，‎ ì－12＋ －2a－ －2a≤0， 即í î12＋2－2a－2a≤0，‎ ‎‎ ‎3‎ 解得 a≥ .‎ ‎4‎ 二、填空题(本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分，把正确答案填在题中横线上)‎ ‎13、复数 (2 + i)i 的虚部是 ‎ 试题分析：由 (2 + i )i = 2i + i 2 = -1 + 2i ，则虚部是 2.‎ ‎14．已知 Cx ‎‎ ‎= C3x-2‎ ‎‎ ‎，则 x = ．‎ ‎10 10‎ ‎[答案]．1 或 3‎ ìlgx，x>0，‎ ‎15．设 f(x)＝í x＋õóa3t2dt，x≤0， 若 f(f(1))＝1，则 a＝ .‎ î 0‎ ‎[解析] ∵f(1)＝0，∴f(f(1))＝f(0)＝0＋ õóa3t2dt＝t3 |a＝a3＝1，∴a＝1.‎ ‎0‎ ‎16、已知 01，an＋1＝f(an)(n∈N＋)．‎ ‎(1)若{an}为常数列，求 a 的值；‎ ‎(2)判断 an 与 2 的大小，并证明你的结论．‎ 解析： (1)若{an}为常数列，则 an＝a.‎ 由 an＋1＝f(an)，得 a＝f(a)．‎ 因为 f(x)＝‎ ‎x2 a2‎ ‎，所以 a＝ .‎ ‎2(x－1) ‎2(a－1) 又 a>1，所以 a＝2(a－1)，解得 a＝2. (2)当 a＝2 时，由(1)知 an＝2.‎ ‎2‎ n 当 a≠2 时，因为 a1＝a，an＋1＝f(an)＝2(a －1)，‎ ‎2 a2‎ 所以 a2＝ ＝ .‎ ‎2(a1－1) a2‎ 所以 a2－2＝‎ ‎2(a－1) a2－4a＋4‎ ‎－2＝ ＝‎ ‎‎ (a－2)2‎ ‎‎ ‎>0，‎ 即 a2>2.‎ ‎2(a－1) ‎2‎ ‎2‎ ‎2(a－1) (a2－2)2‎ ‎2(a－1) 因为 a3－2＝‎ ‎2(a2－1) ‎－2＝‎ ‎2(a2－1) ‎>0，‎ 所以 a3>2.‎ 猜想当 n≥2 时，an>2.‎ 下面用数学归纳法证明：‎ ‎①n＝2 时，a2>2，显然猜想成立．‎ ‎②假设当 n＝k(k≥2)时，猜想成立，即 ak>2.‎ ‎2‎ k 当 n＝k＋1 时，ak＋1＝f(ak)＝ ，‎ a 2 k ‎ k －4a ＋4‎ ‎2(ak－1) (ak －2)2‎ 所以 ak＋1－2＝‎ ‎＝ .‎ ‎2(a －1) 2(a －1) k k 由 ak>2，知 ak＋1－2>0，所以 ak＋1>2.‎ 根据①和②可知，当 a≠2 时，对于一切不小于 2 的正整数 n 都有 an>2.‎ 综上所述，当 a＝2 时，an＝2；当 12(n≥2)；当 a>2 时，an>2‎ x2 y 2‎ ‎21．如图，椭圆 + a2 b2‎ ‎‎ = 1上的点 M 与椭圆右焦点 F2 的连线 MF2 与 x 轴垂直，且 OM（O 是坐标原点）‎ 与椭圆长轴和短轴端点的连线 AB 平行．‎ ‎（1）求椭圆的离心率；‎ p ‎（2）F1 是椭圆的左焦点，C 是椭圆上的任一点，证明： ÐF1CF2 £ ；‎ ‎2‎ ‎（3）过 F1 且与 AB 垂直的直线交椭圆于 P、Q，‎ 若 DPF1Q 的面积是 20 3 ，求此时椭圆的方程．‎ b2 b2‎ ‎b b2 b c 2‎ ‎21．（1）易得 M (c, ), k = ‎, k = ‎, = Þ b = c Þ a = ‎2c,e = = .‎ a OM ‎ac AB ‎a ac a a 2‎ ‎„„„„„„„„„„„4 分 ‎（2）证：由椭圆定义得： | F1C | + | F2C |= 2a, cos ÐF1CF2‎ ‎‎ ‎1 2 1 2‎ ‎| F C |2 + | F C |2 - | F F |2‎ = ‎2 | F1C || F2C |‎ ‎4a2 - 4c2 - 2 | F C || F C | 2b2‎ = 1 2‎ ‎= -1.‎ ‎2 | F1C || F2C | | F1C || F2C |‎ ‎| F C || F C |£ (| F1C | + | F2C |)2 = a2 ,cos ÐF CF ‎³ 2b ‎2 2c2‎ -1 = ‎‎ -1 = 0,ÐF CF ‎£ p .‎ ‎1 2 2‎ ‎1 2 a2‎ ‎2c2‎ ‎1 2 2‎ ‎„„„„„„„„„„„8 分 ‎（3）解：设直线 PQ 的方程为 y = - a ( x - c),即y = - b ‎‎ ‎2 ( x - c)‎ ‎‎ ‎．代入椭圆方程消去 x 得：‎ ‎(1 - ‎1 y + c)2‎ ‎2‎ y2‎ + = 1‎ ‎‎ ‎， 整 理 得 ：‎ a2 b2‎ ‎5 y2 - 2 2cy - 2c2 = 0, y + y ‎= 2 2c , y × y ‎= - 2c .‎ ‎1 2 5 1 2 5‎ ‎∴‎ ‎2 2 2‎ ‎( y - y )2 = ( 2 2c )2 + 8c ‎= 48c .S ‎= 1 × 2c× | y - y ‎|= 4 3c ‎‎ = 20 3, c2 = 25,‎ ‎1 2 5 5 25‎ ‎DPF2Q 2‎ ‎1 2 5‎ x2‎ 因此 a2＝50，b2＝25，所以椭圆方程为 ‎y2‎ + = 1.‎ ‎‎ ‎„„„„„„„„„„„12 分 ‎50 25‎ ‎22．(本题满分 12 分)已知函数 f(x)＝ln x－‎ ‎(1)求函数 f(x)的单调递增区间；‎ ‎(2)证明：当 x>1 时，f(x)1，当 x∈(1，x0)时，恒有 f(x)>k(x－1)．‎ ‎[解析] (1)f ′(x)＝‎ ‎1 －x2＋x＋1‎ ‎－x＋1＝‎ x x ‎‎ ‎，x∈(0，＋∞)．‎ ìx>0， 由 f ′(x)>0 得í î－x2＋x＋1>0.‎ ‎1＋ 5‎ 解得 01 时，F(x)1 时，f( x)1 满足题意．‎ 当 k>1 时，对于 x>1，有 f(x)1 满足题意． 当 k<1 时，令 G(x)＝f(x)－k(x－1)，x∈(0，＋∞)，‎ ‎1‎ 则有 G′(x)＝ －x＋1－k＝‎ x ‎－x2＋(1－k)x＋1‎ x .‎ 由 G′(x)＝0 得，－x2＋(1－k)x＋1＝0.‎ ‎1－k－ (1－k)2＋4‎ 解得 x1＝‎ ‎2 <0，‎ ‎1－k＋ (1－k)2＋4‎ x2＝‎ ‎2 >1.‎ 当 x∈(1，x2)时，G′(x)>0，故 G(x)在[1，x2)内单调递增． 从而当 x∈(1，x2)时，G(x)>G(1)＝0，即 f(x)>k(x－1)， 综上，k 的取值范围是(－∞，1)．‎