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- 2021-06-04 发布
2017-2018学年广东省普宁市华美实验学校高二下学期第一次月考数学（文）试题
第I卷（选择题）
一、选择题（本题共13道小题，每小题0分，共0分）
1.集合A={x|﹣2＜x＜3}，B={x∈Z|x2﹣5x＜0}，则A∩B=（ ）
A．{1，2} B．{2，3} C．{1，2，3} D．{2，3，4}
2.已知复数z满足（1+i）z=1+i，则|z|=（ ）
A． B． C． D．2
3.已知向量=（1，2），=（x，﹣2），且⊥，则|+|=（ ）
A．5 B． C．4 D．
4.已知A（2，0），B（3，3），直线l∥AB，则直线l的斜率为（ ）
A．﹣3 B．3 C．﹣ D．
5.已知数列{an}满足an=17﹣3n，则使其前n项的和Sn取最大值时n的值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
6.在中，内角所对的边分别为，若成等差数列，且满足，则的形状为（ ）
A．等腰直角三角形 B．直角非等腰三角形 C.等边三角形 D．等腰钝角三角形
7.执行如图所示的程序框图，输出的s值为（ ）
A．﹣10 B．﹣3 C．4 D．5
8.设点F1为双曲线的左右焦点，点P为C右支上一点，点O为坐标原点，若△OPF1是底角为30°等腰三角形，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
9.抛物线y=2x2的准线方程是（ ）
A． B． C． D．
10.如图为某几何体的三视图，则其体积为（ ）
A． B． C． D．
11.正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为（ ）
A． B．16π C．9π D．
12.设x，y满足约束条件，则的最大值为 （ ）
A．0 B． C．1 D．2
二、填空题（本题共2道小题，每小题0分，共0分
13.命题的否定是
14. sinα= ,cos(3+α)=
15.已知数列{an}满足a1=33，an+1﹣an=2n，则的最小值为 ．
16.定义在R上的函数f（x），如果存在函数g（x）=ax+b（a，b为常数），使得f（x）≥g（x）对一切实数x都成立，则称g（x）为函数f（x）的一个承托函数．给出如下命题：
①函数g（x）=﹣2是函数f（x）=的一个承托函数；
②函数g（x）=x﹣1是函数f（x）=x+sinx的一个承托函数；
③若函数g（x）=ax是函数f（x）=ex的一个承托函数，则a的取值范围是[0，e]；
④值域是R的函数f（x）不存在承托函数；
其中，所有正确命题的序号是 ．
三、 解答题．
17.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足=2+2cos（A+B）．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若a=1，c=，求△ABC的面积． 12分
18,某学习小组对春季昼夜温差大小与某花卉种子发芽多少之间的关系进行研究，他们分别记录了3月11日至3月15日的每天昼夜温差与实验室每天每100颗种子浸泡后的发芽数，得到如下资料：
日期
3月11日
3月12日
3月13日
3月14日
3月15日
昼夜温差()
10
11
13
12
8
发芽数(颗)
23
25
30
26
16
（1）从3月11日至3月15日中任选2天，记发芽的种子数分别为，求事件“均不小于25”的概率；
（2）请根据3月12日至3月14日的三组数据，令昼夜温差为，发芽数为，求出关于的线性回归方程；
（3）若由线性回归方程得到的估计数据与所需要检验的数据误差均不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试用3月11日与3月15日的两组数据检验，问（2）中所得的线性回归方程是否可靠？ 12分
（参考公式：或，
19.如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．
（Ⅰ）证明：PB∥平面AEC；
（Ⅱ）设AP=1，AD=，三棱锥P﹣ABD的体积V=，求A到平面PBC的距离．12分
20.已知椭圆C的左、右焦点分别为（﹣）、（），且经过点（）．
（ I）求椭圆C的方程：
（ II）直线y=kx（k∈R，k≠0）与椭圆C相交于A，B两点，D点为椭圆C上的动点，且|AD|=|BD|，请问△ABD的面积是否存在最小值？若存在，求出此时直线AB的方程：若不存在，说明理由．
21已知函数f(x)＝ln x＋a(1－x)．
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)当f(x)有最大值，且最大值大于2a－2时，求a的取值范围．12分
22.已知圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ，直线l的参数方程为（t为参数，t∈R）．
（Ⅰ）求直线l的普通方程和圆C的直角坐标方程；
（Ⅱ）求直线l与圆C相交的弦长．10分
试卷答案
1.A 2.A 3.A 4.B 5.B 6.C 7.A 8.A 9.D 10.D 11.A 12.D
13,x(0,+),lnx>
14.
15.
16.②③
17
【解答】解：（Ⅰ）∵，
∴sin（2A+B）=2sinA+2sinAcos（A+B），
∴sin[A+（A+B）]=2sinA+2sinAcos（A+B），
∴sin（A+B）cosA﹣cosAsin（A+B）=2sinA，…
∴sinB=2sinA，…
∴b=2a，∴．… 5
（Ⅱ）∵，，∴b=2，
∴，∴．…
∴，
即△ABC的面积的．… 12
（1）的所有取值情况有（23，25），（23，30），（23，26），（23，16），（25，30），（25，26），（25，16），（30，26），（30，16），（26，16），共有10个 ……………2分
设“均不小于25”为事件A，则包含的基本事件有（25，30），（25，26），（30，26）所以，故事件A的概率为 ………4分
（2）由数据得， ，，，
…………6分
由公式，得，，
所以关于的线性回归方程为 ………………8分
（3）当时，，|22-23|，当时， |17-16|
所以得到的线性回归方程是可靠的。 ……………12分
19.
【解答】解：（Ⅰ）证明：设BD与AC 的交点为O，连结EO，
∵ABCD是矩形，
∴O为BD的中点
∵E为PD的中点，
∴EO∥PB．
EO⊂平面AEC，PB⊄平面AEC
∴PB∥平面AEC； 4
（Ⅱ）∵AP=1，AD=，三棱锥P﹣ABD的体积V=， 5
∴V==，
∴AB=，PB==． 7
作AH⊥PB交PB于H，
由题意可知BC⊥平面PAB，
∴BC⊥AH，
故AH⊥平面PBC． 10
又在三角形PAB中，由射影定理可得：
A到平面PBC的距离． 12
20
【解答】解：（I）由题意可知：椭圆的焦点在x轴上，设椭圆的标准方程为：（a＞b＞0），
则c=，b2=a2﹣c2=3，
将点（）代入椭圆方程：，即，
解得：a2=4，b2=1，
∴椭圆C的方程：… 4
（II）D在AB的垂直平分线上，
∴OD：．… 5
由，可得（1+4k2）x2=4， 5
|AB|=2|OA|=2=4，…
同理可得|OC|=2，…
则S△ABC=2S△OAC=|OA|×|OC|=．… 8
由于，…
∴S△ABC=2S△OAC≥， 10
当且仅当1+4k2=k2+4（k＞0），即k=1时取等号．
∴△ABD的面积取最小值，直线AB的方程为y=x．… 12
解 (1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－a. 1分
若a≤0，则f′(x)＞0，所以f(x)在(0，＋∞)单调递增．2
若a＞0，则当x∈时，f′(x)＞0； 3
当x∈时，f′(x)＜0.所以f(x)在单调递增，在单调递减． 5
(2)由(1)，当a≤0时，f(x)在(0，＋∞)无最大值；当a＞0时，f(x)在x＝取得最大值，最大值为f＝ln ＋a＝－ln a＋a－1.
因此f＞2a－2等价于ln a＋a－1＜0. 8
令g(a)＝ln a＋a－1，则g(a)在(0，＋∞)单调递增，g(1)＝0.
于是，当0＜a＜1时，g(a)＜0；当a＞1时，g(a)＞0. 11
因此，a的取值范围是(0,1)． 12
22,(1)y=x-2 4
(2)
(2+)+=2(2+)
所以弦长= 10